2021-2022年高考数学临考冲刺卷一理

2021年高考数学临考冲刺卷一理
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．为虚数单位，则复数（）
A．B．C．D．
【答案】A
A．
2．已知集合，集合，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】{}()|02102,12x x =<-<=，，所以，选C ．
3．如图，四边形是边长为2的正方形，曲线段所在的曲线方程为，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】根据条件可知，，阴影部分的面积为
(
)2
2112
2
11122ln | 22ln 2ln 32ln 222dx x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰
，
所以，豆子落在阴影部分的概率为．故选A ．
4．在中，角，，所对应的边分别为，，．若角，，依次成等差数列，且，．则（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】∵，，依次成等差数列，∴，∴由余弦定理得：，得：，∴由正弦定理得：，故选C ． 5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【答案】B
【解析】几何体如图，则体积为，选Ｂ．
6．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的最大值是（ ） A ．1 B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则=， 又由在区间上单调递增，则在上递减， 则，
则有，解可得，即的最大值是，故选D ．
7．在平面直角坐标系中，若不等式组22
12 10x y x ax y +≥⎧≤≤-+≥⎪
⎨⎪⎩
（为常数）表示的区域面积等于1，则
抛物线的准线方程为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】由题意得
111121122a a ⎛⎫
⨯⨯+-++= ⎪⎝⎭
，
，，即准线方程为，选D ． 8．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为（ ） A ．50 B ．70 C ．90 D ．120
【答案】C
【解析】在中，令得，即展开式中各项系数和为；又展开式中的二项式系数和为．由题意得，解得．
故二项式为，其展开式的通项为()
3552
1553r
r
r
r
r r r T C x C x x --+==，
．令得．所以的系数为．选C ．
9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中的单位为钱，则输出的，分
别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】设好田为，坏田为，则100 500
300100007x y x y ⎧=+=⎪
⎨⎪⎩
+，， A 中；B 中正确；C 中，；D 中，所以选B ．
10．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>，若集合含有4个元素，则实数的取值范围是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】由题得，，，解得：或， 所以或，
设直线与在上从左到右的第四个交点为A ，第五个交点为B ，则()3π2π
12A x k ωω
=
+=此时，()π4π
26B x k ωω
=
+=此时．
由于方程在上有且只有四个实数根， 则，即，解得，故选D ．
11．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
点为，则平面，连接，则为直线与平面所成的角，，，，故选A ．
12．设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ． C ．2或3 D ．或
【答案】D
【解析】∵，分别为双曲线的左、右焦点， ∴，，∵，
∴点在双曲线的右支，的内切圆半径为12212222
F F PF PF c a
c a +--==-．
设，则．∵，即， ∴，即的外接圆半径为．
∵的外接圆半径是其内切圆半径的倍， ∴，即．∴ ∴或，故选D ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知，，，若与平行，则__________． 【答案】-3
【解析】已知，，若与平行则，故答案为：-3．
14．已知点，若点是圆上的动点，则面积的最小值为__________． 【答案】
【解析】将圆化简成标准方程，
圆心，半径，因为，，所以，
要求面积最小值，即要使圆上的动点到直线的距离最小，而圆心到直线的距离为，所以的最小值为
min 11
222222
AB d ⋅⋅
=⨯⨯=，故答案为．
15．
cos85sin 25cos30cos 25︒+︒︒
=︒
_____________．
【答案】 【解析】
()cos 6025sin 25cos30cos85sin 25cos30cos 25cos 25︒+︒+︒︒
︒+︒︒=
︒︒
， 133
cos 25sin 25sin 251222cos 252
︒-︒+︒
==︒，故答案为．
16．记表示实数，，的平均数，表示实数，，的最大值，设11ave 2,,122A x x x ⎧⎫
=-
++⎨⎬⎩⎭
，
11max 2,,122M x x x ⎧⎫
=-++⎨⎬⎩⎭
，若，则的取值范围是__________．
【答案】．
【解析】作出112122M max x x x ⎧⎫
=-
++⎨⎬⎩⎭
，的图象如图所示
由题意，故031 0x x A x x x -<⎧-==⎨≥⎩
，，，，
当时，，得， 当时，，得，舍去， 当时，，得，舍去，
当时，，恒成立，
综上所述，的取值范围是．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（I ）当时，有，解得．……1分 当时，有，则
()()1144
1133
n n n n n a S S a a --=-=
---，……3分 整理得：，……4分
数列是以为公比，以为首项的等比数列．……5分
()
1*444n n n a n -=⨯=∈N ，
即数列的通项公式为：．……6分
（2）由（1）有22log log 42n
n n b a n ===，……7分 则
()()
()()1
1
111=11212122121n n b b n n n n ⎛⎫
=
- ⎪+-+--+⎝⎭
，……8分
()()
1111
1335572121n T n n =
+++⋅⋅⋅+
⨯⨯⨯+- 11111111121335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
……10分 ，故得证．……12分
18．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户．
若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；
若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．
（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率； （2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布列和数学期望；
（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）． 【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，……1分 所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为．……3分
（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，……4分
的可能值为0，1，2，3．从而……5分
()3
6310201
01206C
P C ξ====，……6分
()1246310601
11202
C C P C ξ====，……7分
()2146310363
212010C C P C ξ====，……8分
()3431041
312030
C P C ξ====．……9分
所以的分布列为：
故的数学期望()1131120123 1.262103010
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯==．……10分 （3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差．……12分
19．如图，在直三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，为的中点，侧棱，点在上，点在上，且，．
（1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）∵是等边三角形，为的中点， ∴，∴平面，得．①……2分 在侧面中， ，， ∴，，
∴90BCE FDC CFD FDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴．②……4分 结合①②，又∵，∴平面，……5分 又∵平面，∴平面平面，……6分 （2）如图建立空间直角坐标系．
则，，． 得，，，……7分 设平面的法向量，则， 即得取．……9分
同理可得，平面的法向量，……10分
……11分 则二面角的余弦值为．……12分
20．已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析． 【解析】（1）设动点，则，， ，即．……3分 化简得：，……4分
由已知，故曲线的方程为．……5分 （2）由已知直线过点， 设的方程为，则联立方程组， 消去得，
设，
……7分 直线与斜率分别为，，
()()
12
1111SP SP y y k k my s my s =
+-+-
()()()
12
2
2
121211y y m y y m s y y s =
+-++-．……10分
当时，；
当时，()28
118
91SP SP k k s -⋅==--． 所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值．……12分
21．设，已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）试判断函数在上是否有两个零点，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）函数没有两个零点．
【解析】（1），……1分
()()
22'0220f x x a x a x a >⇔+>⇔+-+>，
()()22'0220f x x a x a <⇔+-+<，
设()()22
22g x x a x a =+-+，则， ①当时，，，即，
∴在上单调递增；……3分
②当时，，
由得12x a =
=-- ，
可知，由的图象得：
在和上单调递增；
在上单调递减．……5分
（2）假设函数有两个零点，由（1）知，，
因为，则，即，
由知，所以，
设，则（＊），……8分
由()221,4x a =-+，得，
设，得，
所以在递增，得，即，……11分
这与（＊）式矛盾，所以上假设不成立，即函数没有两个零点．…12分
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）
22．在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）求已知曲线和曲线交于，两点，且，求实数的值．
【答案】（1），；（2）或．
【解析】（1）的参数方程，消参得普通方程为，……2分
的极坐标方程为两边同乘得222
cos 4cos 0ρθρθρ+-=即；……5分 （2
）将曲线的参数方程2 1x a y ⎧⎪⎪⎨=+=⎪⎪⎩
（为参数，）代入曲线，得，……6分
由(()2141402
a ∆=-⨯->，得，……7分 设，对应的参数为，，由题意得即或，…8分
当时，()121212
2 214t t t t t t a =+==-⎧⎪⎨⎪⎩，解得，……9分
当时，()121212
2 214t t t t t t a =⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得，
综上：或．……10分
23．选修4-5：不等式选讲
已知，使不等式成立．
（1）求满足条件的实数的集合；
（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．
【答案】（1）；（2）18．
【解析】（1
……2分
则，……4分
由于使不等式成立，有．……5分
（2）由（1）知，，
从而，当且仅当时取等号，……7分
再根据基本不等式，当且仅当时取等号．所以的最小值为6．……10分。