江西省兴国县将军中学2014届高三数学上学期第二次大考试题 理

将军中学2014届高三上学期第二次大考数学（理）试题
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集}6,5,4,3,2,1,0{=U ,集合{1,2}A =,}5,2,0{=B ,则集合()
U C A B =（ ）
A ．{}6,4,3
B ．{}5,3
C ．{}5,0
D ．{}4,2,0。

2. 如果复数2
(32)(1)z a a a i =-++-为纯虚数,则实数a 的值为 ( ) A. 1 B.2
C. 1或2
D. 不存在
3．p ：|x|＞2是q ：x ＜﹣2的（ ） A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4．若函数y=x 2
﹣3x ﹣4的定义域为[0，m]，值域为25
[,4]4-
-，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,4]
B ．25
[,4]4
-
-
C ．3[,3]2
D ．3
[,)2
+∞
5．函数sin()(0,0,||)2
y A x A π
ωφωφ=+>><
的图象如图所示，则y 的表达式为（ ）
A ．102sin(
)116
x y π
=+ B ． 102sin(
)116
x y π
=- C ．2sin(2)3
y x π
=+
D ．2sin(2)3y x π
=-
6．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序， 则输出的S 的值是（ ） A ．39 B ．21 C ．81
D ．102
7．已知实数x ，y 满足1
40
x x y ax by c ≥⎧⎪
+≤⎨⎪++≤⎩
，且目标函数z=2x+y 的最大值为6，最小值为1，其中b≠0，则
c b 的值为（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
8．若数列{}n a 满足1112,()1n
n n
a a a n N a *++==∈-，则该数列的前2014项的乘积123
20132014a a a a a =
（ ）
A ．3
B ．﹣6
C ．2
D ．1
9．抛物线2
11:(0)2C y x p p
=>的焦点与双曲线222:
13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M 若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =（ ）
A ．
316
B ．
38
C ．
233 D ．43
3
10．如图所示，在矩形纸片ABCD
中，AB ＝6，AD ＝43，将矩形纸片的右下角折起，
使角的顶点B 落在矩形的边AD 上，且折痕MN 的两端点M 、N 分别位于边AB 、BC 上，记sin MNB x ∠=,线段MN 的长度为()F x ,则函数()y F x =的图象大致为（ ）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上． 11．函数2
12
log (65)y x x =-+-的单调递减区间是
12.已知AB 与AC 的夹角为120°，且||3AB =，||2AC =，若AP AB AC λ=+且AP BC ⊥，则实数
λ的值为
13．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为 ．
14．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位．现在安排甲、乙2人就座，规定前排中间的3个座位
不能坐，并且甲、乙不能左右相邻，则一共有不同安排方法多少种？ ．（用数字作答）． （考生注意：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做第一题计分。

） 15. （坐标系与参数方程选做题）（1）已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 6=,曲线2C 的极坐标方程为
4
π
θ=
（)R ∈ρ，曲线1C 、曲线2C 的交点为B A 、，则弦AB 长为 .
（2）（Ⅱ）（不等式选讲选做题）设函数()|4|||f x x x a =-+- a (＞1），且()f x 的最小值为3，若
()5f x ≤，则x 的取值范围
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =+。

（1）求函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的零点；
（2）设2()()g x f x x =-，求函数()g x 的图像的对称轴方程。

17. （本题满分12分） 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球,至少投进4个球且最后
2个球都投进者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是
23
. (1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X 的分布列及数学期望; (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.
18．（本题满分12分）已知直角梯形PBCD ，A 是PD 边上的中点（如图甲），2
D C π
∠=∠=
，
2BC CD ==，4PD =，将△PAB 沿AB 折到△SAB 的位置，使SB BC ⊥，点E 在SD 上，且
1
3
SE SD =，（如图乙） （1）求证：SA ⊥平面ABCD ；
（2）求二面角E AC D --的余弦值。

19．（本题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=，a n+1=S n +
（n ∈N *
，t 为常数）．
（1）若数列{a n }为等比数列，求t 的值；
（2）若t ＞﹣4，b n =lga n+1，数列{b n }前n 项和为T n ，当且仅当n=6时T n 取最小值，求实数t 的取值范围．
20．（本题满分13分）已知定点(3,0)G -，S 是圆2
2
:(3)72C x y -+=（C 为圆心）上的动点，SG 的垂
直平分线与SC 交于点E .设点E 的轨迹为M.
(1)求M 的方程；
(2)是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）已知函数1ln ()x
f x x
+=。

（1）若函数在区间1,2t t ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
（其中0t >）上存在极值，求实数t 的取值范围； （2）如果当1x ≥时，不等式()1
a
f x x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围。

（3）证明：[]2(1)!n +＞2*
(1)()n n e n N -+⋅∈。

将军中学2013～2014学年度第一学期高三
第二次大考数学（理）参考答案
1—5 CBCCD 6—10 DABDA 11.（1，3） 12.
7
12
13. 14. 346
15.(1)3283≤≤x 16．（本小题满分12分）
解：（1）令()0f x =，得sin (3cos )0x x x +=， …………………………（2分） 所以sin 0,x =3
tan 3
x =. …………………………………………………（4分）
由πsin 0,,π2x x ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
，得πx =， ……………………………………………（5分）
由3tan 3x =，π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 得5π6
x =
， ……………………………………………………………………（6分）
综上，()f x 的零点为πx =或5π6
x =. ………………………………………（7分）
（2）1
()sin cos sin 22
g x x x x ==， …………………………………………（9分）
由π2π()2x k k =+∈Z 得ππ
()24
k x k =+∈Z ， …………………………………（11分）
即函数()g x 的图象的对称轴方程为：ππ
()24
k x k =+∈Z . …………………（12分）
17、解：（1）X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
依条件可知2
~(6,).3
X B
6621
()()()(0,1,2,3,4,5,6)33
k k k P X k C k -===……………………3分
X
0 1 2 3 4 5 6
P
1729 12729 60729 160729 240729
192
729 64729
12916(01112260316042405192664)4729729
EX =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== 或因为2~(6,),3X B 所以2
643EX =⨯= 即X 的数学期望为4……………………7分
（2）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，
则2241
56441
212232
()()()()()333
3381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+=
……………………11分
答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32
.81
…………………………12分
18．（本小题满分12分）
（1）证明：在题图中，由题意可知，
BA PD ⊥，ABCD 为正方形，所以在图乙中，,2SA AB SA =⊥，
四边形ABCD 是边长为2的正方形，
因为,SB BC AB BC ⊥⊥，且SB AB B =，
所以BC ⊥平面SAB ， …………………………………（3分） 又SA ⊂平面SAB ，所以,BC SA SA AB ⊥又⊥，且BC
AB B =，
所以SA ⊥平面ABCD. ………………………………（6分） （2）解：以A 为原点建立空间直角坐标系，如图乙， (0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C D
24(0,0,2),0,,33S E ⎛⎫
⎪⎝⎭
， …………………………（7分）
易知平面ACD 的法向量为AS =(0,0,2)， 设平面EAC 的法向量为(,,)n x y z =，
24(2,2,0),0,,33AC AE ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，………………（9分）
由0,0,n AC n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以0,20,x y y z +=⎧⎨+=⎩ 可取2,2,1,x y z =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
所以(2,2,1)n =-， ……………………………………………………（11分） 所以21
cos ,233
n AS n AS n AS
=
=
=⨯<>， 所以二面角E −AC −D 的余弦值为1
3
．
………………………………………（12分）
∵数列{b n }前n 项和为T n ，当且仅当n=6时，T n 取最小值，∴b 6＜0且b 7＞0…（10分）
可得0＜a 7＜1且a 8＞1，… ∴0＜8+2t ＜1且16+2t ＞1，
图乙
157
42
t ∴-
<<-…………12分 20.解：（1）由题知EG ES =
，所以EG EC ES EC +=+=
又因为6GC =<E 的轨迹是以,G C
为焦点，长轴长为的椭圆，
动点E 的轨迹方程为22
1189
x y +=.…………4分
(2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，其方程为y x m =+，
由22,1,189
y x m x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩消去y ，化简得22342180x mx m ++-=．
因为直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点， 所以2
2
1612(218)0m m ∆=-->， 化简得227m <
，解得m -<<．…………6分
所以1243
m
x x +=-，2122(9)3m x x -⋅=．
因为以线段AB 为直径的圆恰好经过原点，
所以0=⋅OB OA ，所以02121=+y y x x ．…………8分 又2
12121212()()()y y x m x m x x m x x m =++=+++，
2
121212122()x x y y x x m x x m +=+++22
24(9)4033
m m m -=-+=，
解得m =±． …………11分
由于(±-，
所以符合题意的直线l 存在，所求的直线l
的方程为y x =+
或y x =-．……13分 21．（本小题满分12分）
解：（1）因为1ln ()x f x x +=
，0x >，则2ln ()x
f x x
'=-， ……………………（1分） 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.
所以()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减，
所以函数()f x 在1x =处取得极大值. …………………………………………（2分）
因为函数()f x 在区间1,(0)2t t t ⎛
⎫+> ⎪⎝
⎭其中上存在极值，
所以1,
11,2
t t <⎧⎪
⎨+>⎪⎩ 解得1 1.2t <<
………………………………………………（4分）
（2）不等式(),1a f x x +≥即为(1)(1ln ),x x a x ++≥ 记(1)(1ln )
()x x g x x
++=
， 所以22
[(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x x
g x x x '++-++-'=
=
. ……………………（5分）
令()ln h x x x =-，则1
()1h x x
'=-
，1x ∵≥，()0h x '∴≥，()h x ∴在[1,)+∞上单调递增， min [()](1)10h x h ==>∴，从而()0g x '>，
故()g x 在[1,)+∞上也单调递增，所以min
[()](1)2,g x g ==
所以2a ≤.
………………………………………………………………（9分）
（3）由上述知2()1f x x +≥
恒成立，即122
ln 1111x x x x x
-=->-++≥， 令(1)x n n =+，则2
ln[(1)]1(1)
n n n n +>-+，
∴ 2ln(12)112⨯>-
⨯，2ln(23)123⨯>-⨯，2ln(34)134⨯>-⨯，…， 2
ln[(1)]1(1)
n n n n +>-+， ………………………………………………………（11分）
叠加得222111ln[123(1)]21223(1)n n n n n ⎡⎤
⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+>-++⋅⋅⋅+⎢⎥⨯⨯+⎣⎦ 12121n n n ⎛⎫=-->- ⎪+⎝⎭
则2222123(1)n n n e -⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+>，
所以22[(1)](1)()n n n e n -*+>+⋅∈N ！
． ………………………………………（14分）。