九年级数学期末试题(顺义期末)

顺义区2007——2008学年度第一学期期末九年级教学质量检测
数学试卷
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请把对应题目答案的相应字母填在括号内．
1．如果a 与－2互为相反数，那么a 等于（ ） A ．－2 B ．2 C ．12-
D ．12
2．据报道，参加2008年奥运会开幕式表演的人员将超过40 000人，将40 000用科学记数
法表示应为（ ） A ．3
1040⨯ B ．3
104⨯ C ．4
104⨯ D ．5
104.0⨯ 3．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则cos A 的值是（ ） A ．
54 B ．53 C ．43 D ．3
4 4．随机抛掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（ ） A ．1 B ．
21 C ．31 D ．4
1
5．在ABC △的三个顶点(23)(45)(32)A B C ----，，，，，中，一定不在反比例函数
(0)k
y k x
=
<的图象上的点是 ( ) A ．点A B ．点B C ．点C D ．点A 和点C
6．将抛物线2
3x y =沿x 轴方向向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A ．2
)2(3+=x y B ．2
)2(3-=x y C ．232
+=x y D ．232
-=x y 7．如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于
点P ，若α=∠DPB ，那么AB
CD
等于（ ）
A ．αsin
B ．αcos
C ．αtan
D ．
α
tan 1
8．如图，AD 是⊙O 的直径，弦BC ⊥AD ，垂足为点E ，∠BAC= 120°，有下列4个结论：①BD=CD ；②△BCD 是等边三角形； ③四边形ABOC 是菱形；④图中与△BDE 相似但不全等的三角形共有6个．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
A
C
O
A
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
9．当x = 时，式子3
21
x -无意义． 10．已知：如图，D A ∠=∠，6=AB ，8=DB ，
则=∆∆DBE ABC S S : ．
11．已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，
则点()P a bc ，在第 象限．
12．如图，△ABC 中，∠A=30°，2
3tan =
B ， 32=A
C ，则AB= ．
三、解答题（共10个小题，共50分） 13．计算：︒+︒--︒⨯-60tan )13(45cos )2
1(21
14．解不等式组：⎪⎩⎪
⎨⎧->+>-.62
334,02x x x
15．计算：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛
++2213111a a a a
y
B A C
16．如图，在△ABC 中，∠C=90°，在AB 边上取一点D ，使BD=BC ，过点D 作DE ⊥AB
交AC 于E ，若AC=8，BC=6，求DE 的长．
17．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=5，∠BOC=60°，OE ⊥AC ，垂足为E ． （1）求OE 的长；
（2）求劣弧AC 的长．
18．将抛物线562
++=x x y 化为k h x a y +-=2
)(的形式，并指出它的顶点坐标．
19．不透明的口袋里装有白、黄两种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个．第一次任意摸一个球（不放回），第二次再任意摸一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到的都是白球的概率．
B
A
E
A
B C D
20．已知抛物线32
-+=bx ax y 的对称轴是1=x ，并且经过点A （4，5）． （1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x 轴交于点B 、点C ，求△ABC 的面积．
21．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=
的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围．
22．如图，在△ABC 中，AD 是边BC 的高，E 是边AC 的中点，BC=14，AD=12，sin B=5
4． （1）求线段DC 的长； （2）求cos ∠EDC 的值．
E
D C
A
B
四、解答题（共3个小题，共22分）
23．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠， (1) 求证：AC=BD ； (2) 若12
sin 13
C =
，BC =12，求AB 的长．
24．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E 、F 分别在线段AD 、
DC 上（点E 与点A 、D 不重合），且∠BEF=120°．设AE=x ，DF=y ． （1）求y 与x 的函数关系式；
（2）当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？
F E D C
B
A
25．如图，△OAB 是边长为2+的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B 在y 轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A 落在边OB 上，记为A ′，折痕为EF . （1）当A ′E //x 轴时，求点A ′和E 的坐标； （2）当A ′E //x 轴，且抛物线2
16
y x bx c =-
++经过点A ′和E 时，求抛物线与x 轴的交点的坐标；
(3)当点A ′在OB 上运动，但不与点O 、B 重合时，能否使△A ′EF 成为直角三角形？若能，请求出此时点A ′的坐标；若不能，请你说明理由.
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数学参考答案及评分参考
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9．2； 10．16:9； 11．三； 12．5．
三、解答题（共10个小题，每小题5分，共50分） 13．解：︒+︒--︒⨯-60tan )13(45cos )
2
1(21
31)2
2(22
+-⨯= ············································· ····························· 4分 314
2
2+-⨯= 3=
····························································································· 5分
14．解：⎪⎩⎪
⎨⎧->+>-.62
334,02x x x
解不等式①，得 ,2<x ………………………………………………………………2分 解不等式②，得 .1->x ………………………………………………………………4分
原不等式组的解集是 .21<<-x ……………………………………………………5分
15．解：2231111a a a a ⎛⎫⎛
⎫+÷- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭
2
2211411a a a a +-=÷+- …………………………………………………………………2分 22211114a a a a +-=+-· ……………………………………………………………………3分 21(1)(1)
1(12)(12)
a a a a a a +-+=
+-+· …………………………………………………………4分 112a
a
-=
- ……………………………………………………………………………5分
① ②
16．解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴10682222=+=+=
BC AC AB ． …………………………………1分
∵BD=BC=6，
∴AD=AB-BD=4．………………………………………………………………2分 ∵DE ⊥AB ，
∴∠ADE=∠C=90°． 又∵∠A=∠A ，
∴△ADE ∽△ACB ．……………………………………………………………3分
∴
AC BC
AD DE =
． ∴8
64=DE ．
∴3=DE ．……………………………………………………………………5分
17．解：(1) ∵OE ⊥AC ，垂足为E ，
∴AE=EC ，…………………………………………………………………1分 ∵AO=BO ， ∴OE=
12BC=2
5
． …………………………………………………………2分 (2) ∵OB=OC ，∠BOC=60°，
∴△OBC 是等边三角形．
∴OB=OC=BC=5． ………………………………………………………3分 ∵∠AOC=180°-60°=120°， ………………………………………………4分 ∴弧AC 的长=
12010
1803
ππ⋅⋅=5． …………………………………………5分
18．解：59962
+-++=x x y ………………………………………………………1分 4)3(2
-+=x ………………………………………………………………3分
∴顶点坐标为)4,3(--．………………………………………………………5分
19．解：
两次摸到乒乓球的所以可能结果有6个： ………………………………………3分 （白1，白2） （白1，黄） （白2，白1） （白2，黄） （黄，白1） （黄，白2） 每个结果发生的可能性都相同，其中两次摸到的都是白球的结果有2个，所以
P （两次摸到的都是白球）3
1
62==
． ………………………………………5分
20．解：（1）依题意，得
⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-
.
53416,12b a a b
解得
⎩⎨
⎧-==.
2,
1b a …………………………2分 ∴抛物线的解析式为322
--=x x y ． ………………………………3分
（2）令0=y ，即0322
=--x x ．
∴3,121=-=x x ．………………………………………………………4分
不妨设抛物线与x 轴的交点坐标分别为B （-1，0），C （3，0）， ∴4)1(3=--=BC ．
∴10542
1
=⨯⨯=
∆ABC S ． ………………………………………………5分 21．解：（1）∵点(21)A -，在反比例函数m
y x
=的图象上，
(2)12m =-⨯=-∴．
∴反比例函数的解析式为2
y x
=-． ……………………………………1分
∵点(1)B n ，也在反比例函数2
y x
=-的图象上，
2n =-∴，即(12)B -，
．…………………………………………………2分 把点(21)A -，，点(12)B -，代入一次函数y kx b =+中，得
212k b k b -+=⎧⎨
+=-⎩，
， 解得 11k b =-⎧⎨
=-⎩，
．
∴一次函数的解析式为1y x =--． ……………………………………3分
（2）x 的取值范围是：02<<-x 或1>x ．………………………………5分 22．解：(1)∵AD 是BC 上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵sin B=
5
4
，AD=12， ∴AB=15，9=BD ． …………………………………………………1分
∵BC=14，
DC=BC -BD=14-9=5． …………………………………………………2分 (2) ∵AD=12，DC=5，∠ADC=90°， ∴AC=13．
∴5
cos 13
DC DCA AC ∠=
=．………………………………………………3分 ∵E 是边AC 的中点，
∴AC EC DE 2
1
=
=． ∴DCA EDC ∠=∠． ……………………………………………………4分
∴5
cos cos 13
EDC DCA ∠=∠=． ……………………………………5分
23．解：(1) ∵AD 是BC 上的高，
∴∠ADB =90°，∠ADC =90°． 在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，
∵tan B =AD BD ，cos DAC ∠=AD
AC
， ……………………………………2分 又已知tan cos B DAC =∠， ∴AD BD =AD AC
．∴AC=BD ． ……………………………………………3分
(2)在Rt △ADC 中， 12
sin 13
C =，故可设A
D =12k ，AC =13k ．
∴CD k ．
∵BC=BD+CD ，又AC=BD ，
∴BC=13k+5k=18k ．……………………………………………………………4分
由已知BC=12， ∴18 k=6．∴k=1
3
． ∴AD=12k=1213⨯= 4，BD=AC=13k=3
13
．…………………………………6分
∴3
313
)313(
42
222=+=+=
BD AD AB ． ……………………7分 24．解：（1）在梯形ABCD 中，AD BC ∥，
6AB DC AD ===，60ABC =∠，
∴120A D ==∠∠，
∴18012060AEB ABE +=-=∠∠． ∵120BEF =∠，
∴18012060AEB DEF +=-=∠∠，
∴ABE DEF =∠∠．
∴ABE DEF △∽△．………………………………………………………2分 ∴
AE AB
DF DE
=
． ………………………………………………………………3分
∵AE x =，DF y =， ∴66x y x
=-．………………………………………………………………4分 ∴y 与x 的函数关系式是211(6)66
y x x x x =
⋅-=-+；………………5分 （2）216y x x =-+213(3)62
x =--+．………………………………………6分 ∴当3x =时，y 有最大值，最大值为32．………………………………7分 25．解：（1）由已知可得∠A ′OE=60o ，A ′E=AE ，
由A ′E // x 轴，得△OA ′E 是直角三角形，
设A ′的坐标为（0，b ），
AE=A ′
,OE=2b
22b +=+
所以b=1，A ′、E 的坐标分别是（0，1
1）………………2分
（2）因为A ′、E 在抛物线上，所以
21116c c =⎧⎪⎨=-⋅++⎪⎩
所以
16c b =⎧⎪⎨=⎪⎩
，
函数关系式为2116y x x =-++ ………………4分
由211066
x x -++=，得
12x x == 与x
轴的两个交点坐标分别是（，0
）与（0）…………………6分
（3）不可能使△A ′EF 成为直角三角形．
∵∠F A ′E=∠F AE=60°，若△A ′EF 成为直角三角形，
只能是∠A ′EF=90°或∠A ′FE=90°
若∠A ′EF=90°，利用对称性，则∠AEF=90°，A ′、E 、A 三点共线，O 与A 重合，与已知不符；
同理若∠A ′FE=90°也不可能．
所以不能使△A ′EF 成为直角三角形． ……………………………………8分.。