2019届高考数学二轮复习专题一函数第3讲分段函数与绝对值函数课时训练

第3讲 分段函数与绝对值函数
1.若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（13）x （x≤0），log3x （x>0），则f (f (1
9
))＝______．
答案：9
解析：因为f (1
9)＝log 319
＝－2， 所以f (f (19))＝f (－2)＝(13
)－2
＝9.
2. (2018·徐州一中)设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ，x∈（－∞，a ），
x2，x∈[a，＋∞）.若f (2)＝4，则a 的取值范围是________．
答案：(－∞，2]
解析：因为f (2)＝4，所以2∈[a ，＋∞)，所以a ≤2，则a 的取值范围是(－∞，2]． 3. 若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________． 答案：－6
解析：由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2
，＋∞)，令－a 2
＝3，所以a ＝－6. 4. (2018·姜堰、泗洪调研测试)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧log2x （x>0），
log 12
（－x ）（x<0）.若f (a )>f (－a )，则实数a 的
取值范围是______.
答案：(－1，0)∪(1，＋∞)
解析：(解法1)当a >0时，f (a )>f (－a )可化为log 2a >log 12
a ，a >1a
，a >1；当a <0时，f (a )>f (－a )可
化为log 12
(－a )>log 2(－a )，
1
－a
>－a ，－1<a <0.综上a ∈(－1，0)∪(1，＋∞)． (解法2)函数为奇函数，将f (a )>f (－a )转化为f (a )>0，由数形结合可得a ∈(－1，0)∪(1，＋∞)．
5. 若函数f (x )＝a |2x －4|
(a >0，a ≠1)满足f (1)＝1
9
，则f (x )的单调递减区间是________．
答案：[2，＋∞)
解析：由f (1)＝1
9
，得a 2
＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝(13
)|2x －4|
.由于y ＝|2x －4|在(－∞，
2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．
6. 已知奇函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧f （x ），x>0，g （x ），x<0.如果f (x )＝a x
(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝
________．
答案：－2
x
解析：依题意，f (1)＝12，所以a ＝12，所以f (x )＝(12
)x
，x >0.当x <0时，－x >0，所以g (x )＝－f (－x )
＝－(12
)－x ＝－2x
.
7.设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案：[－1，＋∞)
解析：如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．
8. (2018·苏州调研)若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x ＋8，x≤2，
logax ＋5，x>2(a >0，a ≠1)的值域为[6，＋∞)，则实数a 的取
值范围是______．
答案：(1，2]
解析：当x ≤2时，f (x )∈[6，＋∞)，所以当x >2时，f (x )的取值集合A ⊆[6，＋∞)．当0<a <1时，A ＝(－∞，log a 2＋5)，不符合题意；当a >1时，A ＝(log a 2＋5，＋∞)，若A ⊆[6，＋∞)，则有log a 2＋5≥6，解得1<a ≤2.
9.已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧3x －m ，x≤2，
－x －2m ，x>2.若f (2－m )＝f (2＋m )，则m ＝________．
答案：8或－
8
3
解析：当m >0时，2－m <2，2＋m >2，所以3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ，所以m ＝8；当m <0时，2－m >2，2＋m <2，所以3(2＋m )－m ＝－(2－m )－2m ，所以m ＝－83
.
10. 对于函数y ＝f (x )(x ∈R )，下列命题正确的是________．(填序号) ①函数y ＝f (x )和函数y ＝－f (－x )的图象关于原点对称； ②函数y ＝f (1－x )与y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝0对称；
③若f (1－x )＝f (x －1)，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ④若f (1＋x )＝f (x －1)，则函数y ＝f (x )是周期函数；
⑤若f (x －1)＋f (1－x )＝0，则函数y ＝f (x )的图象关于原点(0，0)对称． 答案：①④⑤
解析：对于①，因为函数y ＝f (－x )与函数y ＝－f (x )的图象关于原点对称，所以函数y ＝－f (－x )与
函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，故①正确；对于②，令f (x )＝x ，则y ＝f (1－x )＝1－x ，y ＝f (x －1)＝x －1，两图象关于x 轴对称，不关于直线x ＝0对称，故②错误；对于③，因为f (1－x )＝f (x －1)，令1－x ＝t ，得x －1＝－t ，所以f (t )＝f (－t )．故函数y ＝f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，故③错误；对于④，若f (1＋x )＝f (x －1)，令x －1＝t ，则f (t ＋2)＝f (t )．故函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，故④正确；对于⑤，若f (x －1)＋f (1－x )＝0，则f (x －1)＝－f (1－x )，令x －1＝－t ，得1－x ＝t ，则f (－t )＝－f (t )，故函数y ＝f (x )是奇函数，其图象关于坐标原点对称，故⑤正确．综上，所有正确命题的序号是①④⑤.
11. 求函数f (x )＝－x 2
＋|x |的单调区间，并求函数y ＝f (x )在[－1，2]上的最大、最小值．
答案：解：因为f (x )＝－x 2
＋|x |＝⎩
⎪⎨
⎪⎧－x2＋x （x≥0），
－x2－x （x ＜0），
即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －12）2＋1
4
（x≥0），－（x ＋12）2＋1
4
（x ＜0）， 作出其在[－1，2]上的图象如图所示：
由图象可知，f (x )的增区间为[－1，－12]和[0，12]，减区间为[－12，0]和[12
，2]． 由图象知，当x ＝－12或12时，f (x )max ＝1
4
，当x ＝2时，f (x )min ＝－2.
12. 对于函数f (x )(x ∈D )，若存在正常数T ，使得对任意的x ∈D ，都有f (x ＋T )≥f (x )成立，我们称函数f (x )为“T 同比不减函数”．
(1)求证：对任意正常数T ，f (x )＝x 2
都不是“T 同比不减函数”；
(2)是否存在正常数T ，使得函数f (x )＝x ＋|x －1|－|x ＋1|为“T 同比不减函数”？若存在，求出T
的取值范围；若不存在，请说明理由．
(1)证明：任取正常数T ，存在x 0＝－T ，所以x 0＋T ＝0.
因为f (x 0)＝f (－T )＝T 2
>f (0)＝f (x 0＋T )， 即f (x )≤f (x ＋T )不恒成立，
所以f (x )＝x 2
不是“T 同比不减函数”．
(2)解：设函数f (x )＝x ＋|x －1|－|x ＋1|是“T 同比不减函数”，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x －2（x≥1），－x （－1＜x ＜1），
x ＋2（x≤－1），
当x ＝－1时，因为f (－1＋T )≥f (－1)＝1＝f (3)成立， 所以－1＋T ≥3，所以T ≥4. 而另一方面，若T ≥4， ①当x ∈(－∞，－1]时，
f (x ＋T )－f (x )＝x ＋T ＋|x ＋T －1|－|x ＋T ＋1|－(x ＋2)＝T ＋|x ＋T －1|－|x ＋T ＋1|－2. 因为|x ＋T －1|－|x ＋T ＋1|≥－|(x ＋T －1)－(x ＋T ＋1)|＝－2， 所以f (x ＋T )－f (x )≥T －2－2≥0，所以有f (x ＋T )≥f (x )成立． ②当x ∈(－1，＋∞)时，
f (x ＋T )－f (x )＝x ＋T －2－(x ＋|x －1|－|x ＋1|)＝T －2－|x －1|＋|x ＋1|. 因为|x ＋1|－|x －1|≥－|(x ＋1)－(x －1)|＝－2， 所以f (x ＋T )－f (x )≥T －2－2≥0， 即f (x ＋T )≥f (x )成立．
综上，恒有f (x ＋T )≥f (x )成立， 所以T 的取值范围是[4，＋∞)．
13. 已知f (x )＝x 2
－1，g (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧x －1，x>0，
2－x ，x<0.
(1)求f (g (2))和g (f (2))的值；
(2)求f (g (x ))和g (f (x ))的表达式； (3)是否存在x ，使f (g (x ))＝g (f (x ))? 解：(1)由已知，得g (2)＝1，f (2)＝3， 所以f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1，
故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2
－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，
故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2
－4x ＋3；
所以f (g (x ))＝⎩
⎪⎨
⎪⎧x2－2x ，x>0，
x2－4x ＋3，x<0. 当x >1或x <－1时，f (x )>0，
故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2
－2； 当－1<x <1时，f (x )<0，
故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2
. 所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨
⎪
⎧x2－2，x>1或x<－1，3－x2，－1<x<1.
(3)当x >1时，则x 2
－2x ＝x 2－2，无解； 当0<x <1时，则x 2－2x ＝3－x 2
，无解；
当－1<x <0时，则x 2－4x ＋3＝3－x 2
，无解；
当x <－1时，则x 2－4x ＋3＝x 2
－2，无解； 所以不存在x 使f (g (x ))＝g (f (x ))．。