基于交易费用的最优比例再保险和投资最大化边界红利

模 型 构 建
假设所有 的随机过 程和随机变量都定 义在完备的概率空 间 （ Ｑ，Ｆ ，Ｐ） 上 ，并
的 条件： ［ 【 万 （ ｆ ） ］ ｄ ｔ ＜ 。 。 ａ ． ｅ 对所有Ｔ ＜ ｏ 。 ， ｉ ： １ ， ２ ， ． ． ． ， ｎ ； ［ （ ｆ ） ］ ＜ ｏ 。 ａ ． ｅ 对 所有 Ｔ ＜ ｏ 。 ，
在保险实务 中 ，由于竞争激烈 ，当保 险公司的盈余达到 一定水平时 ，保 险公 司 将降低保费或 将盈 余的一部分作为红利 分 绘保 单持有者 。因此为了更好地描述保 险 公 司的现金流 ，需 在保 险风险模型 中考 虑
分红 。Ｄ ｅ Ｆ ｉ ｎ ｅ ｔ ｔ ｉ （ １ ９ ５ ７） 首次提 出具有分 红策 略的保险风险模型 ， Ａ ｓ ｍｕ ｓ ｓ ｅ ｎ Ｓ ａ ｎ ｄ
投资 Ｔ ｒ≥０ ，Ｔ ｒ ｂ ：１ ｒ ｂ （ ｔ ） ，丌。 ＝Ｔ ｒ （ ｔ ） 和比例再保 （ ａ （ ・ ） ，丌 ｂ （ ・ ） ，Ｔ ｒ ｓ （ ・ ） ） 。一旦 Ｔ ｒ （ ・ ） 被选择
了 ，则保 险公司的财富过 程为 ：
再保 险和投 资对红利的影响 。但是他们没
内容摘要：本文在 固定分红边界 下，研 究 了 最 大化 期 望 折 现 红 利 下 的 最 优 投 资 和 再 保 险 策 略 。 本 文假 设 保 险 公 司 可 以通 过 再 保 险 来 减 ４ 、 风 险 ， 假 设 保 险 公 司 可 以 在 金 融 市 场 上 投 资 ，金 融 市场 由一 个 无 风 险 资产 和 ｎ风 险 资 产 组 成 ，在 买 卖风险 资产 时 ，考虑 交 易费 用 ，通过 解决 相应 的 Ｈ Ｊ Ｂ方 程 ，得 到 了 最 优 投 资 和 再 保 险 策 略 及 最 优 期 望 折
ｉ ＝１ 。 ２… ． 。ｎ：０ ≤ ａ ≤ １ 。
关键词 ：投资 再保 险 交易费用 Ｈ Ｊ Ｂ
方程 随机控 制
且有一满足通常条件 的 ａ一 流｛ Ｆ ＋ ， ｔ ≥０ ｝ ，
即 Ｆ右连续且 Ｐ完备。允许连续交易 ，不
ＨＪ Ｂ方程 分析
Ｈ ａ ｍｉ ｌ ｔ ｏ ｎ — Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ — Ｂ ｅ ｌ ｌ ｍａ ｎ简称 Ｈ Ｊ Ｂ， 本文进一步考虑边界分红 ， 假设保险公司支 付红利以一个 常数 ｂ ＞ Ｏ 来控制。 当盈余低于
资产 的资金 ， 其中Ｔ ｒ ｂ ＝ （ Ｔ ｒ ｂ ，Ｔ ｒ ｂ ２ ， ． ． ． ，ｒ ｒ ｂ ｎ ） ，
Ｔ ｒ
＝
。
（ ＂ Ｔ Ｉ ｓ １ ，Ｔ ｒ 。 ， ． ． ． ，Ｔ ｒ 。 ） 。因为不能同时
买卖风险 资产 ，所 以有 丌 ・丌 、 ＝ ０ 。 比例再保险水平 ａ ＋ 和在风 险资产上 的
： ＝ ＋ ｔ ｏ ｘ ： ＋ ￣ Ｍｔ Ｘ ｒ 一 啦一 ＋ 。 ＋ 一 ９ 穗
▲ 基金 项 目：陕 西省 自然科 学基金 （ １ ２ Ｊ Ｋ１ ０ ７ ７）资助 ；西京 学院校级科 险水平 ａ ＝ ａ （ ｔ ） 由保 险公司选择 ，记 Ｔ ｒ （ ・ ） ＝
◆ 中图分类 号 ：Ｆ ８ ３ ０ 文献标识码 ：Ａ
其 中 ， ｌ 是ｎ 维 单 位 列 向 量 ， 。 ｌ ２ ２ 。 ： ． １
【 ， ， Ｊ
定理 １ ：一个策略 丌（ ・ ） ：（ ａ （ ・ ） ，丌 （ ・ ） ， Ｔ ｒ （ ・ ） ） 称 为可行的 ，如果Ｔ ｒ （ ・ ） 关于流｛ ｝ 是
可料的， 且对于每个ｔ ≥０ 过程 Ｔ ｒ （ ・ ） 满足以下
考 虑交易费用和税 收，且所 有资产都是无
穷可分的。 考虑如下 的跳 一 扩散 风险模型： ｄ Ｒ （ ｔ ） ＝ ｃ ｄ ｔ ＋１ ３ ｄ Ｗ。 （ ｔ ）
准布朗运动。
（ １）
ｂ 时没有红利支付 ；当 盈余高于 ｂ 时， 高出
的部分全部作 为红利支付。对 ｔ ≥０ ， 设Ｄ （ ｔ ） 为到 时刻 ｔ 为止支付的总的红利 ，则支付红 利后 ，在时刻 ｔ ，保险公 司的盈余 Ｘ 变为：
现 红利。
＋ ［ （ ｆ ） ＋ Ｏ Ｄ ［ （ ｆ ） 【 ｆ ｄ ｑ Ｂ ｄ （ ３）
有考虑交 易费用。本文不但考虑 了再保 险
和投 资，而且 当在金融市场上投 资时考虑 了交 易费用 。 本文在Ｘ ｕ Ｇ， Ｌ ． ａ ｎ ｄ Ｓ ｈ ｒ ｅ ｖ ｅ Ｓ ， Ｅ（ １ ９ ９ ２） 研究 的辅助 结果上 ， 求得 了最优 投资和再保险策略及最优 期望折现红利。
买卖风险资产都需要交易费用 ， 设０ ＝ 【 ｅ ｂ ， ｏ ． ． ， ｅ 和０ ＝ ［ ｅ 。 １ ，ｅ ． ． ，０ 分 别为买卖风险资产的交易费用 ，即买一个
基 于 交 易 费 用 的 最 优 比 例 再 保 险 和 投 资
．
单位 的风险资产 ｉ 将花费（ １ ＋０ ， ） Ｓ ； （ ｔ ） 的资
金， 卖一个单位 的风险资产ｉ 将得到（ １ ＋ｅ 。 ． ）
Ｓ（ ｔ ） 的现金。设 Ｔ ｒ 、Ｔ ｒ 。 分别为买和卖风险
最 大 化 边 界红 利
一 杨 鹏 （ 西 京学院基础部 西安 ７ １ ０ １ ２ ３）
研 项 目：ｘ ｊ １ ２ ０ １ ０ ６ ，ｘ ｊ １ ２ ０ １ ０ ９
‘ 研＝ ｌ ｏ ｃ ＋ ￣ ｏ Ｘ ［ ＋ Ｏ ） （ ， 一 ， 一 ） ＋ （ ， 一 ）
ｆ １
其中 ， Ｃ ，１ ３ 为常数 ， ｛ Ｗ。 （ ｔ ） ： ｔ ≥０ ｝ 是标 本 文对式 （ １） 考虑 比例再保险 ，比例
再保险 的水平 为（ １ 一 ａ ） ，即保险公司的 自留