椭圆的标准方程
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F1 M
0
F2
x
3）列出方程
（问题：下面怎样化简？）
4）化简方程 移项，再平方
两边再平方，得
由椭圆定义可知
椭圆的标
两边同除以a b 得：
x2 y2 2 1(a b 0 ） 2 a b
2 2
准方程
b具有明显的几何意义：
椭圆与y轴交点的纵坐标的绝对值
y
M
a
F1
b
c
O
F2
x
椭圆的标准方程⑴
2
2
2
M O F1 x
( y c ) x ( y c ) x 2a
2 2 2
② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c） ③ c 2= a 2 - b 2
♦椭圆的标准方程的特点：
Y M M F1 (-c,0)
2 2
Y F2(0 , c) O F1(0,-c) X
O
F2 (c,0)
（3）常数要大于焦距
（三）合理建系，推导方程
根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？ 先来回忆：求曲线的方程的基本步骤
（1）建系设点;
（3）列出方程； （5）检验.
（2）写出点集； （4）化简方程；
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y
O O O
y
M
O x xx
பைடு நூலகம்
y F2
O
x
F1
x
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则： “对称”、“简洁”
拿出一张白纸，在上面任意点两个点 F1 , F2 ,把一条 长度为定值且大于 F1F2 的细绳的两端分别固定在 F1 , F2
两点，用铅笔尖将细绳拉紧，并使笔尖在白纸上慢慢移
动一周，笔尖形成的轨迹是什么图形？
动画演示
若将铅笔尖所在的点记为 M ,通过实验探究， M 大家得出 M点的轨迹是么？
(1)若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆. (2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段. (3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在.
4.求椭圆标准方程的方法—定义法、待定系数法 .
谢谢观看！
X
x y 2 1(a b 0) 2 a b
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
2 2 2 a b c （2）椭圆的标准方程中三个参数 a、 b、c满足：
（1）椭圆标准方程的形式： 左边是两个分式的平方和，右边是1
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值吗？ 可以
2.2
椭圆
2.2.1 椭圆的标准方程
孔令亚
1.掌握椭圆的定义及标准方程.（重点） 2.根据条件写出椭圆标准方程.（难点） 3.熟悉求曲线方程的一般方法.（难点）
太阳系中八大行星运行的轨道是什么？
北京鸟巢的俯视图
生活中的椭圆
如何非常精确的画出、设计、 制作标准的椭圆形呢？
（二）动手实验 亲身体会
回顾圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.
椭圆定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点 .
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 . 注： （1）平面内----这是大前提 （2）动点 M 与两个定点F1和F2的距离的和是常数
（4）椭圆的标准方程中，如何判定焦点位置： 哪个分母大，焦点就在哪个轴上。
例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（-3,0），（3,0），
椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于8； （2）两个焦点的坐标分别为（0，-4），（0,4）， 并且椭圆经过点 ( 3, 5).
例2 求下列方程表示的椭圆的焦点坐标： x y （1） 1; ( 2)8 x 2 3 y 2 24. 36 24
y M
x y 2 1 ( a b 0) 2 a b
它表示：
① 椭圆的焦点在x轴上
2
2
F1
0
F2
x
② 焦点坐标为F1（-c，0）、F2（c，0）
③ c 2= a 2 - b 2
y
椭圆的标准方程⑵
F2
y x 2 1 (a b 0) 2 a b
它表示:
① 椭圆的焦点在y轴上
3. " m n 0" 是“方程 点在
y
mx ny 1
2 2
表示焦
轴上的椭圆”的（ C ） B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A.充分不必要条件 C.充要条件
1.椭圆的定义（强调2a>|F1F2|）和椭圆的标 准方程. 2.椭圆的标准方程有两种，注意区分. 3.根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法.
解：1）建系设点：取过焦点F1、F2的直线为x轴，
线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系 (如图).设M(x, y)是椭圆上任意一点，又设M与
F1、F2距离之和等于2a,
设|F1F2|=2c(c>0), 则F1(-c,0)、F2(c,0) y 2)写出点集： 椭圆的集合为:
P {M || MF1 | | MF2 | 2a}
2 2
1．平面上到点A(－5,0)、B(5,0)距离之和为10的
点的轨迹是 ( C )
A．椭圆 B．圆
C．线段
D．轨迹不存在
x2 y2 2.已知方程 + = 1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的 25 - m m + 9 取值范围是（ B ） A.- 9 < m < 25 B.8 < m < 25 C.16 < m < 25 D.m > 8
0
F2
x
3）列出方程
（问题：下面怎样化简？）
4）化简方程 移项，再平方
两边再平方，得
由椭圆定义可知
椭圆的标
两边同除以a b 得：
x2 y2 2 1(a b 0 ） 2 a b
2 2
准方程
b具有明显的几何意义：
椭圆与y轴交点的纵坐标的绝对值
y
M
a
F1
b
c
O
F2
x
椭圆的标准方程⑴
2
2
2
M O F1 x
( y c ) x ( y c ) x 2a
2 2 2
② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c） ③ c 2= a 2 - b 2
♦椭圆的标准方程的特点：
Y M M F1 (-c,0)
2 2
Y F2(0 , c) O F1(0,-c) X
O
F2 (c,0)
（3）常数要大于焦距
（三）合理建系，推导方程
根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？ 先来回忆：求曲线的方程的基本步骤
（1）建系设点;
（3）列出方程； （5）检验.
（2）写出点集； （4）化简方程；
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y
O O O
y
M
O x xx
பைடு நூலகம்
y F2
O
x
F1
x
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则： “对称”、“简洁”
拿出一张白纸，在上面任意点两个点 F1 , F2 ,把一条 长度为定值且大于 F1F2 的细绳的两端分别固定在 F1 , F2
两点，用铅笔尖将细绳拉紧，并使笔尖在白纸上慢慢移
动一周，笔尖形成的轨迹是什么图形？
动画演示
若将铅笔尖所在的点记为 M ,通过实验探究， M 大家得出 M点的轨迹是么？
(1)若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆. (2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段. (3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在.
4.求椭圆标准方程的方法—定义法、待定系数法 .
谢谢观看！
X
x y 2 1(a b 0) 2 a b
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
2 2 2 a b c （2）椭圆的标准方程中三个参数 a、 b、c满足：
（1）椭圆标准方程的形式： 左边是两个分式的平方和，右边是1
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值吗？ 可以
2.2
椭圆
2.2.1 椭圆的标准方程
孔令亚
1.掌握椭圆的定义及标准方程.（重点） 2.根据条件写出椭圆标准方程.（难点） 3.熟悉求曲线方程的一般方法.（难点）
太阳系中八大行星运行的轨道是什么？
北京鸟巢的俯视图
生活中的椭圆
如何非常精确的画出、设计、 制作标准的椭圆形呢？
（二）动手实验 亲身体会
回顾圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.
椭圆定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点 .
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 . 注： （1）平面内----这是大前提 （2）动点 M 与两个定点F1和F2的距离的和是常数
（4）椭圆的标准方程中，如何判定焦点位置： 哪个分母大，焦点就在哪个轴上。
例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（-3,0），（3,0），
椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于8； （2）两个焦点的坐标分别为（0，-4），（0,4）， 并且椭圆经过点 ( 3, 5).
例2 求下列方程表示的椭圆的焦点坐标： x y （1） 1; ( 2)8 x 2 3 y 2 24. 36 24
y M
x y 2 1 ( a b 0) 2 a b
它表示：
① 椭圆的焦点在x轴上
2
2
F1
0
F2
x
② 焦点坐标为F1（-c，0）、F2（c，0）
③ c 2= a 2 - b 2
y
椭圆的标准方程⑵
F2
y x 2 1 (a b 0) 2 a b
它表示:
① 椭圆的焦点在y轴上
3. " m n 0" 是“方程 点在
y
mx ny 1
2 2
表示焦
轴上的椭圆”的（ C ） B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A.充分不必要条件 C.充要条件
1.椭圆的定义（强调2a>|F1F2|）和椭圆的标 准方程. 2.椭圆的标准方程有两种，注意区分. 3.根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法.
解：1）建系设点：取过焦点F1、F2的直线为x轴，
线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系 (如图).设M(x, y)是椭圆上任意一点，又设M与
F1、F2距离之和等于2a,
设|F1F2|=2c(c>0), 则F1(-c,0)、F2(c,0) y 2)写出点集： 椭圆的集合为:
P {M || MF1 | | MF2 | 2a}
2 2
1．平面上到点A(－5,0)、B(5,0)距离之和为10的
点的轨迹是 ( C )
A．椭圆 B．圆
C．线段
D．轨迹不存在
x2 y2 2.已知方程 + = 1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的 25 - m m + 9 取值范围是（ B ） A.- 9 < m < 25 B.8 < m < 25 C.16 < m < 25 D.m > 8