四川省遂宁市射洪中学2020届高三下学期第一次在线月考 数学（理）

射洪中学高三第一学月考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1．已知集合{0,1,2,3}A =，{|ln 1}B x N x =∈<，则A B =
A ．{0,1}
B ．{1,2}
C ．{0,1,2}
D ．{0,1,2,3}
2．已知复数z 满足12(1z
i i z
+=-+-为虚数单位），则z ＝ A ．2＋i
B ．2－i
C ．－2＋i
D ．－2－i
3．在正三角形ABC 中，AB ＝2，1
,2
BD DC AE EC ==，且AD 与BE 相交于点O ，则OA OB ＝ A ．－
45
B ．－
34
C ．－
23
D ．－
12
4．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：
不喜欢 喜欢 男性青年观众 30 10 女性青年观众
30
50
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n = A ．12
B ．16
C ．24
D ．32
5．函数的大致图像为
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(2,6)，则该双曲线的离
心率为 A ．2
B ．2
C ．3
D ．3
7．设，
，
，则a ，b ，c 的大小关系是
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知函数()sin2sin 23f x x x π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，将其图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位长度后得到的函数为偶函数，则ϕ的最小值是 A ．
12
π B ．
6
π C ．
3
π D ．
56
π 9．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF =2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 A ．
B ．
C ．
D ．
10．满足函数在上单调递减的一个充分不必要条件是 A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐
近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若3AF FB =，则该双曲线的离心率为 A ．
5 B ．
6 C ．
23
D ．3
12．已知四棱锥S ABCD -，SA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，BCD DAB π∠+∠=， 2SA =，
26
BC =
，二面角S BC A --的大小为3π，若四面体SACD 的四个顶点都在同一球面上，
则该球的表面积为 A ．42π B ．4π
C ．8π
D ．16π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设x ，y 满足约束条件240
10210
x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩
，则2
3y z x +=+的最大值是_________.
14．已知sin 3cos 0αα-=，则sin 2α＝___ 15．已知函数
，
，则
的值为__________．
16．记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且当2n ≥时，12(1)7n n n a na n a -=--+.若29a =，
则40S =______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）已知a ,b ,c 分别是∆ABC 的内角A , B ,C ,所对的边，2222sin sin sin b c a C A
bc B
+--=
（I ）求角B 的大小；
（II ）若∆ABC 3∆ABC 周长的最小值．
18．（12分）为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作．相关统计数据如下表所示： 到班级宣传 整理、打包衣物 总计 20人
30人
50人
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？
（Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的分布列及数学期望．
19．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//AF DE ，AF AD ⊥，且平面BED ⊥平面ABCD . （I ）求证：AF CD ⊥；
（II ）若60BAD ∠=，1
2
AF AD ED ==，求二面角A FB E --的余弦值.
20．（12分）已知函数
．
（I ）当时，讨论函数的单调性；
（II ）若函数有两个极值点，，证明: ．
21．（12分）已知抛物线C ： 2
2y px =（0p >）的焦点是椭圆M ： 22
221x y a b
+=（0a b >>）
的右焦点，且两曲线有公共点233⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
（I ）求椭圆M 的方程；
（II ）椭圆M 的左、右顶点分别为1A ， 2A ，若过点()40B ，
且斜率不为零的直线l 与椭圆M 交于P ， Q 两点，已知直线1A P 与2A Q 相较于点G ，试判断点G 是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y α
α
=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以坐标原
点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）过点(2,1)-的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且2AB =，求直线l 的方程.
23．选修4-5：不等式选讲
已知0a >，0b >，0c >，函数()f x c a x x b =+-++. （I ）当1a b c ===时，求不等式()3f x >的解集；
（II ）当()f x 的最小值为3时，求a b c ++的值，并求111
a b c
++的最小值.
高三第一学月考试 理科数学参考答案
1．B 2．A
3．B
4．C
5．D
6．A
7．B
8．B
9．B
10．D
11．A 12．C
13．5
14．35
15． 16．1840
17．（1）
222b c a 2sinC sinA
bc sinB
+--=
， 由
a b c
sinA sinB sinC
==得222c a b ac +-=， 222c a b 1
cosB 2ac 2
+-∴==，
0B π<<，π
B 3
∴=
； （2）由（1）得πB 3=
，ΔABC 13S acsinB ac 32∴===，ac 4∴=， 22b a c 2accosB =+-=
22a c 42ac 4+-≥- 2=，
a c 2ac 4+≥=，
对上述两个不等式，当且仅当a c 2==时等号成立， 此时ΔABC 周长取最小值6.
18．（Ⅰ）解：用分层抽样方法，每个人抽中的概率是
，
∴参与到班级宣传的志愿者被抽中的有20×=2人，
参与整理、打包衣物者被抽中的有30×
=3人，
故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率为：P=1﹣=．
（Ⅱ）解：女生志愿者人数X=0，1，2， 则
，
，
，
∴X 的分布列为：
∴X 的数学期望EX==．
考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式． 19．（1）证明：
连接AC ，由四边形ABCD 为菱形可知AC BD ⊥， ∵平面BED ⊥平面ABCD ，且交线为BD ， ∴AC ⊥平面BED ，∴AC ED ⊥， 又//AF DE ，∴AF AC ⊥，
∵,AF AD AC AD A ⊥⋂=，∴AF ⊥平面ABCD ， ∵CD ⊂平面ABCD ，∴AF CD ⊥；
（2）解：设AC BD O ⋂=，过点O 作DE 的平行线OG ，
由（1）可知,,OA OB OG 两两互相垂直， 则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 设()1
202
AF AD ED a a ==
=>，则(
)()(
)
()3,0,0,0,,0,3,0,2,0,,4A
a B a F
a a E a a -，
所以()()()(
)
3,,0,0,0,2,0,2,4,3,,2AB a a AF a BE a a BF a a a =-==-=
-，
设平面ABF 的法向量为(),,m x y z =，则·0·
0m AB m AF ⎧=⎨=⎩，即30
20x y z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，
取3y =
，则()
1,3,0m =为平面ABF 的一个法向量，
同理可得()0,2,1n =为平面FBE 的一个法向量. 则2315
cos ,25
m n =
=⨯， 又二面角A FB E --的平面角为钝角，则其余弦值为15
-
. 20．（1）∵，
∴．
①当，即时，，
所以在单调递增；
②当，即时，
令，得，，且，，
当时，；
当时，；
∴单调递增区间为，；
单调递减区间为．
综上所述：当时，在单调递增；
时，在区间，单调递增；在区间单调递减．
（2）由（1）得．
∵函数有两个极值点，，
∴方程有两个根，，
∴，且，解得．
由题意得
．
令，
则，
∴
在
上单调递减，
∴，
∴．
21．（1）将2263⎛ ⎝⎭
，代入抛物线2
:2C y px =得2p = ∴抛物线的焦点为()1,0，则椭圆M 中1c =，
又点26,33⎛ ⎝⎭
在椭圆M 上，∴22221
{ 424199a b a b -=+=， 解得22
4,3a b ==， 椭圆M 的方程为22
143
x y +=
（2）方法一
当点P 为椭圆的上顶点时，直线l 的方程为
34430x y +-=，此时点(3P ，
833,55Q ⎛ ⎝⎭，则直线132230A P l x y -+=和直线2:332630A Q l x y +-=，联立32230
332630x y x y -+=+-=，解得331,2G ⎛ ⎝⎭， 当点P 为椭圆的下顶点时，由对称性知： 331,G ⎛ ⎝⎭
.
猜想点G 在直线1x =上，证明如下：
由条件可得直线PQ 的斜率存在， 设直线()():40PQ y k x k =-≠， 联立方程()224{
34120
y k x x y =-+-=，
消y 得： (
)2
2
22343264120k
x
k x k +-+-=有两个不等的实根，
()()()24222324434163169140k k k k ∆=-⋅+-=⋅->， 2104k ∴<<
设()()1122,,,P x y Q x y ，则2
1223234k x x k
+=+， ()21226412*34k x x k -⋅=+ 则直线()111:22A P y l y x x =++与直线()222:22
A Q y l y x x =-- 联立两直线方程得()()12122222
y y x x x x +=-+-（其中x 为G 点横坐标） 将1x =代入上述方程中可得1212322
y y x x -=+-， 即()()()()122134242k x x k x x --=--+，
即证()1212410160x x x x -++=
将()*代入上式可得()222246412
1032163434k k k k ⨯-⨯-+++
()222
2161632034034k k k k --++==+，此式成立
∴点G 在定直线1x =上.
方法二
由条件可得直线PQ 的斜率存在， 设直线()():40PQ y k x k =-≠ 联立方程()
224{ 34120y k x x y =-+-=，
消y 得： ()2222343264120k x k x k +-+-=有两个不等的实根， ()()()24222324434163169140k k k k ∆=-⋅+-=⋅->， 2104
k ∴<< 设()()()112233,,,,,P x y Q x y G x y ，则2
1223234k x x k
+=+， 2122641234k x x k -⋅=+
12234x x k
∴-==+ 由1A ， P ， G 三点共线，有：
311322y y x x =++
由2A ， Q ， G 三点共线，有： 323222
y y x x =-- 上两式相比得()()()()()()
212133121224222242y x k x x x x y x k x x +-++==---- ()()()()12122112121238
338
x x x x x x x x x x x x -++--==--++-+， 解得31x =
∴点G 在定直线1x =上．
22．（Ⅰ）24cos 2sin 40ρρθρθ---=；（Ⅱ）10x y ++=或30x y -+=. （Ⅰ）消去参数α，可得曲线C 的普通方程为22(2)(1)9x y -+-=， 224240x y x y +---=.由cos sin x y
所以曲线C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ---=. （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，否则无交点.
设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，即210kx y k -++=. 而2AB =，则圆心到直线l
的距离d ===
又d =
=，解得1k =±.
所以直线l 的方程为10x y ++=或30x y -+=.
23．(1) {|1x x <-或1}x > (2)3
（1）()111f x x x =-+++
1123x x ≤-⎧∴⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩
， 解得{|1x x <-或1}x >.
（2）()3f x c a x x b a x x b c a b c a b c =+-++≥-+++=++=++=
()11111111333b a c a c b a b c a b c a b c a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()1322233
≥+++=． 当且仅当1a b c ===时取得最小值3．。