安徽省蚌埠市高三数学第三次教学质量检查试题 理

蚌埠市2016届高三年级第三次教学质量检查考试
数学试卷（理工类）
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置. 1.若复数z 满足(1)22(z i i i +=-为虚数单位），则||z =（ ） A.1 B.2
C.3
D.2
2.已知集合{}
11M x x =-≤≤，|01x N x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭
，则=⋂N M （ ）
A.{}
01x x ≤< B.{}0x x <≤1 C.{}11x x -≤≤ D.{}
11x x -≤< 3.各项均为正数的等比数列{}n a 中，且21431,9a a a a =-=-，则45a a +=（ ） A.16
B.27
C.36
D.－27
4.已知0a >，且0a ≠，下列函数中，在其定义域内是单调函数而且又是奇函数的是（ ）
A.sin y ax =
B.2log a y x =
C.x x
y a a -=- D.tan y ax =
5.设实数x ，y 满足约束条件230,230,3x y x y x --≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥-⎩
， 则23z x y =-+的取值范围是（ ）
A.[]6,17-
B.[]5,15-
C.[]6,15-
D.[]5,17- 6.已知两个非零向量a ,b 满足a ·(a -b )=0，且2|a |=|b |，则向量a ,b 的夹角为（ ） A.30o
B.60o
C.120o
D.150o
7.执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为 A.6 B.8 C.10 D.12
8.已知21,F F 分别是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左，右焦点，B A ,分别为椭圆的上，下顶点．过椭圆
的右焦点2F 的直线交椭圆于C ，D 两点．CD F 1∆的周长为8，且直线BC AC ,的斜率之积为4
1
-.则
椭圆的方程为（ ）
A.2212x y +=
B.22132x y +=
C.22
14x y += D.22143
x y += 开始
k =23x x =+ 2k k =+
结束
输入x
是
否
输出k 100?x >
1
2
2
2
3 1
1 1 1
2
正视图
侧视图
俯视图
第9题图
9.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积 为（ ） A.22
B.23
C.4
D.5
10.命题p ：“1≤+b a ”；命题q ：“对任意的R x ∈， 不等式1cos sin ≤+x b x a 恒成立”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 11.如图，已知直线y kx m =+与曲线()y f x =相 切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ） A.2个零点 B.2个极值点 C.2个极大值点 D.3个极大值点
12.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，则其中有两个数字各用两次（例如，12332）的概率为（ ） A.25 B.35 C.47 D.57
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷相应横线上.
13.已知双曲线1:22
22=-b
y a x C 的渐近线为3y x =±，则该双曲线的离心率是 .
14.在2
11
(1)x x -+的展开式中,3
x 项的系数是 .
15.在四面体ABCD 中，3,3,4AC BD AD BC AB CD ======， 则该四面体的外接球的表面积为 .
16.设,n n A B 是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和，且满足条件522n n A n B n +=+，则20152017
a b 的值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 17．(本小题满分12分)
设锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，2sin a b A =
（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围.
O
y
x
y kx m
=+()
y f x =第11题图
18．(本小题满分12分)
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．
（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间
[]75,85内的频率；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产 的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中 质量指标值位于区间[)45,75内的产品件数为
X ，求X 的分布列与数学期望．
19.(本小题满分12分)
在四棱锥ABCD P -中，AD BC //，AD PA ⊥，平面⊥PAB 平面ABCD ，ο
120=∠BAD ，且
22
1
==
==AD BC AB PA . （Ⅰ）求证：⊥PA 平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D PC B --的余弦值.
20.(本小题满分12分)
过抛物线()2
:20E y px p =>的准线上的动点C 作E 的两条切线，斜率分别为12,k k ，切点为,A B . （Ⅰ）求12k k ⋅；
（Ⅱ）C 在AB 上的射影H 是否为定点，若是，请求出其坐标，若不是，请说明理由.
21.(本小题满分12分)
设函数()()()2ln 1a
f x x a R x
=-+
∈ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当2x >， ()()ln 12x x a x ->-恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲
090,,ABC ACD ACB ADC BAC CAD ∆∆∠=∠=∠=∠如图，在和中，圆O 是以AB 为直径的圆，延长AB
质量指标值
0.012
0.004
0.019 0.030
15 25 35 45 55 65 75 85 0
频率 组距
第19题图
P
A
C
与DC 交于E 点.
（Ⅰ）求证：DC 是圆O 的切线；
（Ⅱ）6,62EB EC ==若，求BC 的长.
23. (本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为2
1222
x t y t
⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）
，曲线C 的极坐标方程是2
sin cos θρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点(1,0)M -，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．
（Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求线段MA 、MB 长度之积MA MB ⋅的值．
24. (本小题满分10分)选修4-5不等式证明选讲
设函数()2
x a x b
f x +-+=，
（Ⅰ）当1
0,2
a b ==-时，求使)(x f 2≥的x 取值范围； （Ⅱ）若1
()16
f x ≥
恒成立，求a b -的取值范围.
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数学（理工类）答案及评分标准
题号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
A
B
C
C
B
C
C
B
A
D
B
二、填空题：
13.2 14. 275- 15.17π 16.1
2
. 三、解答题：
17.（本题满分12分） 解：（1）正弦定理可得6
B π
=
； …………………………………………………………6分
（2）化简，利用弦的有界性可得：33cos sin 2A C ⎫+∈⎪⎪⎝⎭
.……………………12分
18. （本题满分12分）
解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，
则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．
依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，……………3分 解得0.05x =．
所以区间[]75,85内的频率为0.05． ……………………………………………5分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，
所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．
由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，
将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………7分
因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，
且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，112
3(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，
2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，330
3(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．
所以X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）
……………………………………………12分
19. （本题满分12分） 解：（Ⅰ）证明： 作AB CE ⊥于E
Θο120=∠BAD ，∴ CE 与AD 必相交， 又Θ平面⊥PAB 平面ABCD ， ∴⊥CE 平面PAB ， ∴PA CE ⊥ 又AD PA ⊥，
∴⊥PA 平面ABCD . …………………5分 （Ⅱ）（方法一：综合法）连AC ，
由已知得AC=2，ο
60=∠CAD ，
从而32=CD ， ∴AC CD ⊥
又CD PA ⊥，∴⊥CD 平面PAC ， 从而平面PCD ⊥平面PAC
作AC BG ⊥于G ，PC GH ⊥于H ，连BH ， 设则所求的二面角为+ο
90BHG ∠
3=BG ，1=CG ，22=
GH ，所以2
14=BH ∴742
sin )90cos(-=∠-=∠+BHG BHG ο.……………………………12分
（法二：向量法（略））…………………………………………………………12分
20. （本题满分12分） 解：（Ⅰ）设,2p C t ⎛
⎫-
⎪⎝⎭，过C 的切线l 的方程为：2p y t k x ⎛
⎫-=+ ⎪⎝
⎭，联立方程组：
第19题图
P
A
B
C
E G
H
………………………10分
222p y t k x y px ⎧⎛⎫-=+⎪ ⎪
⎝⎭⎨
⎪=⎩
，消去x 得：()2220ky py p t pk -++= ① …………………………………………………………3分
l 与E 相切时，方程①由两个相等的实根，则0∆=，即220pk tk p +-= ② 方程②的两根12,k k 是切线,CA CB 的斜率，由根与系数的关系知：
121k k ⋅=-； ……………………………………………………………………6分
（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，CA 的斜率为k ，
则1y 是方程①的相等实根，由根与系数的关系
得：1p y k =
，则122p x k
=， 由题意，CB 的斜率为1
k -，
同理2y pk =-，2
22
pk x =，
那么212
2121AB y y k
k x x k
-==--， 直线AB 的方程为：22212k pk y pk x k ⎛⎫
+=- ⎪-⎝⎭
， 令0y =，得2
p
x =，即直线AB 经过焦点F .
由方程②得()
212p k t k
-=，则直线AB 的一个方向向量为m ()21,2k k =-，
()()221,2,122p k p
FC p k k k
k ⎛⎫- ⎪=-=-- ⎪⎝⎭u u u r ， 显然FC u u u r
g m =0.
所以，C 在直线AB 上的射影为定点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
………………………………12分
21. （本题满分12分）
解：（Ⅰ）由题易知函数()f x 的定义域为()1,+∞，
222
1222()1(1)a x ax a
f x x x x x -+'=-=--， ………………………………………2分 设22
()22,484(2)g x x ax a a a a a =-+∆=-=-
0,02,()0,()0,()(1,)a g x f x f x '∆≤≤≤≥≥+∞①当即时所以在上是增函数
………………………………3分
0,(),1,()(1)0()0,()(1,)a g x x a x g x g f x f x <=>>>'>+∞②当时的对称轴当时所以在是增函数
………………………………4分
O
212122212121212122,,()22021,21,()0,()(1,),(,),()0,()(,)a x x x x x ax a x a a a x a a a
x x x x f x f x x x x x x f x f x x x ><-+==-->=+-'<<>>+∞'<<<③当时设是方程的两个根则当或时在上是增函数当时在上是减函数
………………………………5分
综合以上可知：当2a ≤时，()f x 的单调递增区间为()1,+∞，无单调减区间； 当2a >时，()f x 的单调递增区间为()()
221,2,2,a a a a a a --+-+∞， 单调减区间为()
222,2a a a a a a --+-； ………………………………6分 （Ⅱ）当2x >时，()()()2ln 12ln 1()0a
x x a x x a f x a x
->-⇔--+
=-> ………………………………………………7分
()()h x f x a =-令，由（Ⅰ）知
2,()(1,),()(2,)2,()(2)0,a f x h x x h x h ≤+∞+∞>>=①当时在上是增函数所以在上是增函数
因为当时上式成立;
222,()(-2,2),()a f x a a a a a a h x >-+-②当时因为在上是减函数所以在
2(2,2),a a a +-上是减函数
2(2,2),()(2)0,x a a a h x h ∈+-<=所以当时上式不成立.
综上，a 的取值范围是(],2-∞. ………………………………………………12分
22. （本题满分10分）
解:（Ⅰ）,90,AB O ACB C O ︒
∠=∴Q e e 是的直径点在上
, OC OCA OAC DAC ∠=∠=∠连接可得，OC AD ∴∥， ,AD DC DC OC ⊥∴⊥Q 又
,OC DC O ∴Q e 为半径是的切线；……………………………………………5分
（Ⅱ）2
, DC O EC EB EA ∴=Q e g 是的切线
6,62,12,6
,, 2
,22
EB EC EA AB ECB EAC CEB AEC ECB EAC BC EC AC BC AC EA ==∴==∠=∠∠=∠∴∆∆∴
===Q Q 又又∽即， 22236,2 3. AC BC AB BC +==∴=Q 又…………………………………10分
23. （本题满分10分）
解:（Ⅰ）直线l 2cos()14
π
ρθ+
=-，曲线C 的普通方程为2y x =；
………………………………………………………5分
（Ⅱ）（方法一）将212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2
y x =
得2
3220t t -+=，12||2MA MB t t ⋅==．
（方法二）显然直线:10l x y -+=，联立得2
10
x y y x
-+=⎧⎨=⎩， 消去y 得2
10x x --=，所以11522
x =+，
21522x =-，不妨设1535(,)2222A -
-，1535(,)2222
B ++ 则352()22MA =-，35
2()22
MB =+， 所以3535
2()2()22222
MA MB ⋅=-⋅+=．………………………………10分
24. （本题满分10分）
解:（Ⅰ）由于2x
y =是增函数，)(x f 2≥
等价于11
22
x x --
≥ ① 当12
x ≥
时，11
22x x --=，则①式恒成立，
当102
x <<时，11
222x x x --=-，①式化为21x ≥，此时①式无解，
当0x ≤时，11
22x x --=-，①式无解．
综上，x 取值范围是1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
……………………………………………… 5分
（Ⅱ）1
()||||416
f x x a x b ≥⇔+-+≥- ②
而由||||||||x a x b x a x b a b +-+≤+--=-
⇒||||||||a b x a x b a b --≤+-+≤-
∴要②恒成立，只需||4a b --≥-，即||4a b -≤，
可得a b -的取值范围是[]4,4-. …………………………………………10分
（其他解法请参考以上评分标准酌情赋分）。