数列的概念经典试题(含答案)doc

一、数列的概念选择题
1．设n a 表示421167n n +的个位数字，则数列{}n a 的第38项至第69项之和
383969a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．180
B ．160
C ．150
D ．140
2．已知数列{}n a ，若(
)12*
N
n n n a a a n ++=+∈，则称数列{}n
a 为“凸数列”.已知数列{}
n
b 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5
B ．5-
C ．0
D ．1-
3．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，()
*
21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（ ）
A ．4-
B ．5-
C ．4
D ．5
4．数列{}n a 满足 112
a =，11
1n n a a +=-，则2018a 等于( )
A ．
1
2
B ．－1
C ．2
D ．3
5．若数列的前4项分别是
1111,,,2345
--，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n --
B ．(1)n n -
C ．1
(1)1
n n +-+
D ．(1)1
n n -+
6．已知数列{}n a 满足()()*
6
22,6,6
n n p n n a n p
n -⎧--≤=∈⎨
>⎩N ，且对任意的*
n ∈N 都有
1n n a a +>，则实数p 的取值范围是（ ）
A ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．101,
7⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()1,2
D ．10,27⎛⎫
⎪⎝⎭
7．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511
B ．513
C ．1025
D ．1024
8．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()
*
11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥，12018a =，
22017a =，则100S =（ ）
A ．2016
B ．2017
C ．2018
D ．2019
9．已知数列{}n a 满足12a =，11
1n n
a a +=-，则2018a =（ ）. A ．2
B ．
12
C ．1-
D ．12
-
10．已知数列{}n a 的通项公式为()()2
11n
n a n
=--，则6a =（ ）
A ．35
B ．11-
C ．35-
D ．11
11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1
3n n S +=，则34a a +=（ ）
A ．81
B ．243
C ．324
D ．216
12．已知数列2
65n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
13．已知数列{}n a 满足11a =，122
n n a a n n
+=++，则10a =（ ） A ．
259
B ．
145 C ．
3111
D ．
176
14．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则4a 的值为（ ） A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
15．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤
C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4a
D ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a 16．设数列{}n a 的通项公式为2
n n a n
+=，要使它的前n 项的乘积大于36，则n 的最小值为（ ） A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
17．数列1
2，16，112，120
，…的一个通项公式是（ ） A ．()1
1n a n n =-
B ．()1
221n a n n =
-
C ．111
n a n n =
-+ D ．11n a n
=-
18．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么
24620201a a a a ++++
+=（ ）
A ．2021a
B ．2022a
C ．2023a
D ．2024a
19．下列命题中错误的是（ ） A ．()(
)21f n n n N
+
=-∈是数列的一个通项公式
B ．数列通项公式是一个函数关系式
C ．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示
D ．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列
20．已知数列{}n a 中，11a =，122
n
n n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．
25
B ．
13 C ．
23
D ．
12
二、多选题
21．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =
C ．135********a a a a a +++
+=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a +++= 22．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2
3
n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为
（ ） A ．2
B ．5
C ．3
D ．4
23．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，66771
1,
01
a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<
B ．681a a >
C ．n S 的最大值为7S
D ．n T 的最大值为6T
24．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =
B ．733S =
C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 25．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S > D ．110S >
26．已知数列{}2n
n
a n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6
D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列
27．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >
D ．数列
{}n
a 也是等差数列
28．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-
B ．310n
a n
C ．2
28n S n n =-
D ．2
4n S n n =-
29．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =
C ．95S S >
D ．6S 与7S 均为n S 的最大值
30．（多选题）在数列{}n a 中，若22
1n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称
{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A ．若{}n a 是等差数列，则{}
2
n a 是等方差数列
B ．
(){}1n
-是等方差数列
C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
31．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是递增数列 C ．0n
S <时，n 的最小值为13
D ．数列n n S a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
中最小项为第7项 32．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）
A ．2
n S n =
B ．2
23n S n n =-
C ．21n a n =-
D ．35n a n =-
33．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）
A ．若100S =，则280S S +=；
B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15
C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大
D ．若78S S <，则89S S <
34．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）.
A ．数列{}n a 是递增数列
B ．数列{}n na 是递增数列
C ．数列{
}n
a n
是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列
35．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <
D ．613S S =
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一、数列的概念选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据题意可得n a 为421167n n +的个位数为27n n +的个位数，而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，即可求和. 【详解】
由n a 为421167n n +的个位数， 可得n a 为27n n +的个位数， 而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，
7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，
所以27n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 即421167n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 第38项至第69项共32项，共8个周期， 所以383969a a a ++⋅⋅⋅+=8(9317)160⨯+++=. 故选：B
2．B
解析：B 【分析】
根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】
()*21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-，
∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-===
∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ⨯+==+++=-，
故选：B. 【点睛】
本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.
3．B
解析：B 【分析】
根据已知递推条件(
)*
21n n n a a a n N ++=-∈即可求得5
a
【详解】
由(
)*
21n n n a a a n N
++=-∈知：
3214a a a 4321a a a 5
43
5a a a
故选：B 【点睛】
本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题
4．B
解析：B 【分析】
先通过列举找到数列的周期，再求2018a . 【详解】
n=1时，234511
121,1(1)2,1,121,22
a a a a =-=-=--==-
==-=- 所以数列的周期是3，所以2018(36722)21a a a ⨯+===-. 故选：B 【点睛】
本题主要考查数列的递推公式和数列的周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
5．C
解析：C 【分析】
根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式. 【详解】
设所求数列为{}n a ，可得出()11
1
111
a
+-=
+，()21
2
121
a
+-=
+，()31
3
131
a
+-=
+，()41
4
141
a
+-=
+，
因此，该数列的一个通项公式为()1
11
n n
a n +-=
+.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.
6．D
解析：D 【分析】
根据题意，得到数列是增数列，结合通项公式，列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】
因为对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>， 则数列{}n a 单调递增；
又()(
)*622,6
,6
n n p n n a n p n -⎧--≤=∈⎨>⎩N ， 所以只需6
7201p p a a ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，即21106p p p p
<⎧⎪
>⎨⎪-<⎩，解得1027p <<. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查由数列的单调性求参数，属于基础题型.
7．B
解析：B 【分析】
根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】
因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，
所以
11
21
n n a a +-=-且1110a -=≠， 所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，
所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以9
1021513a =+=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足
()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方
法进行求解.
8．A
解析：A 【分析】
根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列{}n a 是周期为6的数列，且1234560a a a a a a +++++=，进而可得1001234S a a a a =+++，计算即可得答案． 【详解】
解：因为12018a =，22017a =，()
*
11N ,2n n n a a a n n +-=-∈≥，
则321201720181a a a =-=-=-， 432(1)20172018a a a =-=--=-，
543(2018)(1)2017a a a =-=---=-， 654(2017)(2018)1a a a =-=---=， 76511(2017)2018a a a a =-=--==， 8762201812017a a a a =-=-==，
…，所以数列{}n a 是周期数列，周期为6， 因为12560a a a a ++⋅⋅⋅++=，所以
()100125697989910016S a a a a a a a a =++⋅⋅⋅++++++
12342016a a a a =+++=．
故选：A ． 【点睛】
本题考查数列的递推公式的应用，关键是分析数列各项变化的规律，属于基础题．
9．B
解析：B 【分析】
利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可得2018a . 【详解】 在数列{}n a 中，
11
1n n
a a +=-，且12a =， 211112
a a ∴=-=， 32
1
1121a a =-
=-=- ，
()413
1
1112a a a =-
=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，
201867232=⨯+，
201821
2
a a ∴==.
故选：B 【点睛】
本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质，考查了数列的周期性，属于基础题.
10．A
解析：A 【分析】
直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()2
11n
n a n
=--，所以626(1)(61)35a =--=.
故选：A 【点睛】
本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.
11．D
解析：D 【分析】
利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】
利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，
34216a a ∴+=
故选：D 【点睛】
本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.
12．A
解析：A 【分析】
首先将n a 化简为()2
34n a n =--，即可得到答案。

【详解】
因为()
()2
2
69434n a n n n =-+-=--
当3n =时，n a 取得最小值。

故选：A
13．B
解析：B 【分析】 由122n n a a n n +=++转化为11
121n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭
，利用叠加法，求得23n
a n =-，即可求解. 【详解】 由12
2n n a a n n +=+
+，可得121
12(1)1n n a a n n n n +⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭
， 所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+
11111
111222*********n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-+-+
+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
122113n n ⎛⎫
=-+=- ⎪⎝⎭
，
所以102143105
a =-=. 故选：B. 【点睛】
数列的通项公式的常见求法：
1、对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；
2、对于递推关系式可转化为1
()n n
a f n a +=的数列，并且容易求数列{()}f n 前n 项积时，通常采用累乘法求其通项公式； 3、对于递推关系式形如1
n n a pa q +=+的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.
14．C
解析：C 【分析】
利用443a S S =-计算． 【详解】
由已知22
443(44)(33)8a S S =-=+-+=．
故选：C ．
15．C
解析：C 【分析】
令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2
+12n b n =，从而可得
12
+n a n n
=，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<
<，
由此可得选项. 【详解】
令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113+
+122
n
n n b n --==，所以2+1212+n n
b n a
n n n n
===， 所以()()()()+13+41212+1+
++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，
所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，
故选：C. 【点睛】
本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.
16．C
解析：C 【分析】
先求出数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，令0n D >解不等式，结合*n N ∈，即可求解. 【详解】
记数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，则
()()12
11245
1232312
n n n n n n n D a a a a n n -++++=⋅⋅=⨯⨯⨯
⨯
⨯=- 依题意有
()()12362
n n ++>
整理得()()2
3707100n n n n +-=-+> 解得：7n >，
因为*n N ∈，所以min 8n =， 故选：C
17．C
解析：C 【分析】
根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】
选项A. ()
1
1n a n n =-,当1n =时，无意义.所以A 不正确.
选项B. ()1221n a n n =-,当2n =时，()2111
22221126
a =
=≠⨯⨯⨯-，故B 不正确. 选项C.
11122=-，111162323==-⨯，1111123434==-⨯，1111204545==-⨯ 所以11
1
n a n n =
-+满足.故C 正确. 选项D. 11n a n =-,当1n =时, 111
1012
a =-=≠,故D 不正确. 故选：C
18．A
解析：A 【分析】
根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】
由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a ++++
+++++=+
3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++
=+++=+=.
故选：A
19．C
解析：C 【分析】
根据通项公式的概念可以判定AB 正确；不难找到一些规律性不强的数列，找不到通项公式，由此判定C 错误，根据无穷数列的概念可以判定D 正确. 【详解】
数列的通项公式的概念：将数列{} n a 的第n 项用一个具体式子（含有参数n ）表示出来，称作该数列的通项公式，
故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，
它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n 唯一确定的，故AB 正确； 并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，
至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C 是错误的； 根据无穷数列的概念，可知D 是正确的. 故选:C. 【点睛】
本题考查数列的通项公式的概念和无穷数列的概念，属基础题，数列的通项公式是一种定义在正整数集上的函数，有穷数列与无穷数列是根据数列的项数来分类的.
20．B
解析：B 【分析】
根据数列{}n a 的递推公式逐项可计算出5a 的值. 【详解】
在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=
+，则12
12212
2123
a a a ⨯===++，2322
2213222
23
a a a ⨯
===++， 3431
222212522a a a ⨯
===++，45
422215223
25
a a a ⨯===++. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.
二、多选题 21．ABD 【分析】
根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】
依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不
解析：ABD 【分析】
根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，
342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正
确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2
33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，
，2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，
累加可知D 正确. 【详解】
依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，
312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以
712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；
由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，
可得
13572019a a a a a ++++
+=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，
故C 不正确；
2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2
33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，
，2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，
所以
2222
2
12342019
a a a a a ++++
+122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，
所以
222
122019
20202019
a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.
22．BD 【分析】
利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴时，， 化为：，
由于数列单调递减， 可得：时，取得最大值2． ∴的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】 本
解析：BD 【分析】
利用递推关系可得12
11
n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵2
3
n n n S a +=
， ∴2n ≥时，1121
33
n n n n n n n a S S a a --++=-=
-， 化为：112
111
n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
单调递减， 可得：2n =时，
2
1
n -取得最大值2． ∴1
n n a a -的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．AD 【分析】
分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】 ①, 与题设矛盾. ②符合题意. ③与题设矛盾. ④ 与题设矛盾. 得，则的最大值为. B ，C ，错误. 故选：AD. 【点睛】
解析：AD 【分析】
分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】
①671,1a a >>, 与题设
671
01
a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设
671
01
a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.
得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .
∴B ，C ，错误.
故选：AD. 【点睛】
考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1
*
1n n a a q
n N -=∈.
24．ABCD 【分析】
由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案. 【详解】
对A ，写出数列的前6项为，故A 正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，，……，，
可得：.故是斐波那契数列中的第
解析：ABCD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】
对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；
对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.
对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2
121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-
2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；
故选：ABCD.
【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.
25．ABD 【分析】
转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】 因为，所以，即，
因为数列递减，所以，则，，故A 正确； 所以最大，故B 正确； 所以，故C 错误
解析：ABD 【分析】
转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】
因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，
因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137
131302
a a S a
+⨯==<，故C 错误； 所以()111116
111102
a a S a
+⨯=
=>，故D 正确.
故选：ABD.
26．ACD 【分析】
利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】
因为，，所以a1＝3，an ＝[1+(n-1)d](n+2n).若d ＝1，则an ＝n(n+2n)；若d ＝0，则a2＝
解析：ACD 【分析】
利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为
1
112a =+，1(1)2
n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝
n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得15
d =-. 故选ACD
27．AB 【分析】
根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】
依题意，等差数列中，即， .
对于A 选项，，所以A 选项正确. 对于C 选项，，，所以，
解析：AB 【分析】
根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】
依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，
1149249,2
a d a d =-=-
. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，149
2
a d =-
，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛
⎫=+-=-
+-=- ⎪⎝
⎭，令0n a ≥得5151
0,22n n -
≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列
{}n
a 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.
故选：AB 【点睛】
等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.
28．AD 【分析】
设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，. 【详解】
解：设等差数列的公差为，因为
所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：， 解方程组得：， 所以，. 故选：AD.
解析：AD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145
460
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，进而得13,2a d =-=，故
25n a n =-，24n S n n =-.
【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==
所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：11
45
460a d a d +=⎧⎨+=⎩，
解方程组得：13,2a d =-=，
所以()31225n a n n =-+-⨯=-，2
4n S n n =-.
故选：AD.
29．BD 【分析】
设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解. 【详解】
根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项： 是等差数列，若，则，故B 正确； 又由得，则有，故A 错误； 而C 选项，，即，可得，
解析：BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】
根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：
{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；
又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误；
而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】
本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.
30．BCD 【分析】
根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】
对于A 选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A 选项中的结论错误； 对于B 选项，为常数，则是等方差数列，B 选项中的结论正
解析：BCD 【分析】
根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】
对于A 选项，取n a n =，则
()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦
()()221221n n n =+++不是常数，则{}
2
n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误； 对于B 选项，()
()2
2
111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣
⎦⎣⎦
为常数，则(){
}
1n
-是等方差数列，B 选项
中的结论正确；
对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得22
1n n a a p +-=，则数列
{}2n
a 为等差数列，所以(
)
2
21kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方
差数列，C 选项中的结论正确；
对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得
n a dn m =+，
则()()()()2
2
2
1112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，
由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得22
1n n a a p +-=，
则()
2
22d n m d d p ++=对任意的n *
∈N 恒成立，则()2202d m d d p
⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==， 此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】
本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列
来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.
31．ACD 【分析】
由已知得，又，所以，可判断A ；由已知得出，且，得出时，，时，，又，可得出在上单调递增，在上单调递增，可判断B ；由，可判断C ；判断 ，的符号， 的单调性可判断D ； 【详解】 由已知
解析：ACD 【分析】 由已知得()
()612112712+12+2
2
0a a a a S ==
>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知
得出24
37
d -
<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又
()1112+3n a n d =-，可得出1n
a 在1,6n n N
上单调递增，
1
n
a 在7n n
N ，
上单调递增，可判断B ；由()
313117
713+12
2
03213a a a S a ⨯=
=<=
，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】
由已知得311+212,122d a a a d ===-，()
()612112712+12+2
2
0a a a a S =
=
>，又
70a <，所以6>0a ，故A 正确；
由716167
1+612+40+512+3>0+2+1124+7>0
a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得24
37d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，
当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()11
12+3n a n d =-，所以[]1,6n ∈时，1>0n
a ，7n ≥时，1
0n a <，
所以1
n
a 在1,6n
n N
上单调递增，1
n
a 在7n
n N ，上单调递增，所
以数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
不是递增数列，故B 不正确；
由于()
313117
713+12
2
03213a a a S a ⨯=
=<=
，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；
当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，
0n
S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0n
n
S a <，[]712
n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为第7项，故D 正确；
【点睛】
本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.
32．AC 【分析】
利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与． 【详解】
等差数列的前项和为．，， ， 解得，， ．
故选：AC ． 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式求和公
解析：AC 【分析】
利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ． 【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，
∴31413239237
S a d a a d ⨯⎧
=+
=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，
1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．
()21212
n n n S n +-=
=
故选：AC ．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
33．BC 【分析】
根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】 A 选项，若，则， 那么.故A 不正确； B 选项，若，则，
又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为
解析：BC 【分析】
根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】
A 选项，若101109
1002
S a d ⨯=+
=，则1290a d +=， 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++
++=+=，
又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负，
因为()
()116168916802
a a S a a +==+=，
所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确； C 选项，若()115158151502
a a S a +=
=>，()
()116168916802a a S a a +=
=+<， 则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；
D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC . 【点睛】
本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.
34．AD 【分析】
根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】
， ，所以是递增数列，故①正确， ，当时，数列不是递增数列，故②不正确， ，当时，不是递增数列，故③不正确， ，因
解析：AD 【分析】
根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】
0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，
()()2
111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d
-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，
1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n
不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，
故选：AD 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.
35．AD 【分析】
由求出，即，由此表示出、、、，可判断C 、D 两选项；当时，，有最小值，故B 错误. 【详解】
解：，，故正确A.
由，当时，，有最小值，故B 错误. ，所以，故C 错误. ，
，故D 正确.
解析：AD 【分析】
由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 【详解】
解：1385a a S +=，111110875108,90,02
d
a a d a a d a ⨯++=+
+==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.
9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.
61656+
5415392
d
S a d d d ⨯==-+=-， 131131213+
11778392
d
S a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD 【点睛】
考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.。