流体力学知识点大全

流体力学-笔记
参考书籍：
《全美经典-流体动力学》
《流体力学》张兆顺、崔桂香
《流体力学》吴望一
《一维不定常流》
《流体力学》课件清华大学王亮主讲
目录：
第一章绪论
第二章流体静力学
第三章流体运动的数学模型
第四章量纲分析和相似性
第五章粘性流体和边界层流动
第六章不可压缩势流
第七章一维可压缩流动
第八章二维可压缩流动气体动力学
第九章不可压缩湍流流动
第十章高超声速边界层流动
第十一章磁流体动力学
第十二章非牛顿流体
第十三章波动和稳定性
第一章绪论
1、牛顿流体：
剪应力和速度梯度之间的关系式称为牛顿关系式，遵守牛顿关系式的流体是牛顿流体。

2、理想流体：无粘流体，流体切应力为零，并且没有湍流。

此时，流体内部没有内摩擦，也就没有内耗散和损失。

层流：纯粘性流体，流体分层，流速比较小；
湍流：随着流速增加，流线摆动，称过渡流，流速再增加，出现漩涡，混合。

因为流速增加导致层流出现不稳定性。

定常流：在空间的任何点，流动中的速度分量和热力学参量都不随时间改变，3、欧拉描述：空间点的坐标；
拉格朗日：质点的坐标；
4、流体的粘性引起剪切力，进而导致耗散。

5、无黏流体—无摩擦—流动不分离—无尾迹。

6、流体的特性：连续性、易流动性、压缩性 不可压缩流体：
0D Dt
ρ
= const ρ=是针对流体中的同一质点在不同时刻保持不变，即不可压缩流体的密
度在任何时刻都保持不变。

是一个过程方程。

7、流体的几种线
流线：是速度场的向量线，是指在欧拉速度场的描述； 同一时刻、不同质点连接起来的速度场向量线；
(),0dr U x t dr U ⇒⨯=r r
P
迹线：流体质点的运动轨迹，是流体质点运动的几何描述； 同一质点在不同时刻的位移曲线；
涡线：涡量场的向量线，(),,0U dr x t dr ωωω=∇⨯⇒⨯=r r r r
r r P
涡线的切线和当地的涡量或准刚体角速度重合，所以，涡线是流体微团准刚体转动方向的连线，形象的说：涡线像一根柔性轴把微团穿在一起。

第二章 流体静力学
1、压强：0lim
A F dF
p A dA ∆→∆==
∆
静止流场中一点的应力状态只有压力。

2、流体的平衡状态： 1）、流体的每个质点都处于静止状态，==整个系统无加速度； 2）、质点相互之间都没有相对运动，==整个系统都可以有加速度； 由于流体质点之间都没有相对运动，导致剪应力处处为零，故只有： 体积力(重力、磁场力)和表面力(压强和剪切力)存在。

3、表面张力：两种不可混合的流体之间的分界面是曲面，则在曲面两边存在一
个压强差。

4、正压流场：流体中的密度只是压力(压强)的单值函数。

()
dp
p ρ⎰
5、涡量不生不灭定理
拉格朗日定理：理想正压流体在势力场中运动时，如某一时刻连续流场无旋，则
流场始终无旋。

0,,ndA U ωω⋅==∇⨯⎰r r r
r
有斯托克斯公式得：0
0,A
l U x ndA δωΓ=⋅=⋅=⎰⎰r r r Ñ
拉格朗日定理是判断理想正压流体在势力场中运动是否无旋的理论依据。

涡量的产生原因：
(A) 流体的粘性；非理想流体；
(B) 非正压流体；大气和海洋中的密度分层(非正压)导致漩涡； (C) 非有势力场；气流科氏力(非有势力)作用导致漩涡；
(D) 流场的间断，高速气流中的曲面激波后，产生有旋流流场；
第三章 流体运动的数学模型
1、积分型的流体方程 a)、质量守恒定律： 物理意义：流出控制体表面的净质量流量等于控制体内质量对时间的减少率。

..C S C V
V dA d t ρρτ∂
⋅=-∂⎰⎰r r b)、动量守恒：牛顿第二定律
()()...s C V C V C S
F B d F Vd VV dA t τρτρ∂⋅==+⋅∂⎰⎰⎰r r
r r r r r 表面力+
体积力 c)、角动量
()()
....s C S
C V C V C S
r dF r B d r V d r VV dA t τρτρ∂
⨯⨯⋅=⨯+⨯⋅∂⎰
⎰⎰⎰r r r r r r r
r r r +
每一项物理意义：
.s
C S
r dF ⨯⎰
r r
：控制面上的力对原点的力矩，
.C V
r B d τ⨯⋅⎰
r
r ：体积力对原点的力矩，
()
.C V
r V d t ρτ∂⨯∂⎰r r ：质量元的角动量，控制体内流体的总角动量， ()
.C S
r VV dA ρ⨯⋅⎰
r r r r
：通过控制面的角动量流出率，
d)、能量守恒 (热力学第一定律) Q W E -=∆
()..s C V C S
dW dQ ed e p V dA dt dt t ρτρρ∂
-=++⋅∂⎰⎰r r
()()()()()
*****n D t D t t D t t D EdV f UdV T UdA qdV n TdA Dt ρρρλ∑∑=⋅+⋅++⋅∇⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r r r r
&乙
质量体内的总能量增长率：()
*21
,
2
D t D EdV
E e U Dt ρ=+⎰
体积力所作的功率：
()
*D t f UdV ρ⋅⎰
r r ；?????表面力所作的功率：()
*n t T UdA ∑⋅⎰⎰r r
Ò
质量体内的生成热：()
*D t qdV ρ⎰&??????边界面上因热传导输入的热量：()
*t n TdA λ∑⋅∇⎰⎰r
Ò
e)、热力学第二定律 0,
dQ dS T
-≥ S 是系统的熵
2、有积分形式到微分形势的方程，有三种方法：
(1)、应用矢量的微积分；
(2)、积分应用于体积元，有体积元趋于零，取极限推得； (3)、将系统的方程直接应用体积元，再将积分表达式取极限； 欧拉坐标，即：笛卡尔坐标，()(),,,,V V r t V x y z t ==r
；
拉格朗日，刚体描述，速度、加速度分别为：,r r r r &&&
3、微分型的流体方程
1)、连续性方程：单位时间流入控制体的质量等于控制体内质量的增加。

()
t V ρρ∂∂+∇⋅=r
定常流()
00t V ρρ∂∂=⇒∇⋅=r
不可压缩：00D Dt V ρ=⇒∇⋅=r
一维定常流：111222AV
A V ρρ= 2)、动量方程：单位时间流入控制体的动量以及作用于控制体上的外力之和，
等于控制体动量的增加。

应力张量：代表剪应力和正应力；
应力张量一定是对称的；否则，当体积元收缩成无限小时，必将以无
限大的角速度旋转。

因此，应力张量只能有六个分量。

局部加速度：非定常流动，对流加速度：面积的变化；
欧拉坐标系和拉格朗日中的速度和加速度其大小和方向都不会改变；
DV Dt r =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦r
&&欧拉拉格朗日
涡量：速度矢量的旋度，V
ω=∇⨯r
r
角速度：1122
V ωΩ==∇⨯r r r 0Ω=r
无旋流动
()(
)
V VV B F t
ρρρ∂+∇⋅
=+∇⋅∂r r r r t
:
B ρr 体积力，F t 面积力；
3)、能量方程：单位时间流入流体的能量、外界传入的热量、外力做功的总和，
等于控制体内能量的增加。

()()()
R
P E EV B V V q q t ρρρρ∂+∇⋅=⋅+∇⋅⋅-∇⋅+∂r r r t r r
增加量流入量体积力做功表面力做功热传导非传导热
()2R 1,2=,=E e V q T Fourier q T q λλλρ⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥
∇⎧⎢⎥
∇⋅∇⋅∇⎨⎢⎥
⎩⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
r r 热传导定律，：热传导系数，：非热传导热，即：热辐射、化学生成热， 几种特殊情况：
(1)、定常流体：
=0t ∂
∂； (2)、绝热过程：R ==0q q ∇⋅r
，没有外界热传入；
(3)、质量力有势： B G =-∇r
； (4)、理想流体： P=p n np =-t r r。

本构方程：——求解方程组，
流体微团的应力状态和微团变形运动状态间的物性关系式； 本构方程是张量方程；
使得控制方程得以封闭，可以求解方程；
控制方程+热力学状态方程+本构方程
边界条件：
<1>.固体壁面的不可穿透条件；垂直于壁面的法向速度连续；
()()
,b U n U n ∑∑
⋅=⋅r r r r
b U r
为固壁的速度，U r 为同一点的流体质点的速度；
<2>.无穷远条件
无穷远处，流体保持静止状态； ,0,,,x U p p ρρ∞∞→∞=== <3>.绕流条件
参考系固结在运动物体上，无穷远处的来流条件： ,,,,x U U p p ρρ∞∞∞→∞===
4、求解物理问题的基本步骤：
1）、特定的物理问题；2）、物理模型描述；3）、数学模型的建立； 4）、求解数学方程；5）、实验验证结果； 5、理想流体动力学
无粘性，亦即无热传导，压力分布；
欧拉方程： 1DV V V V f p Dt t ρ∂=+⋅∇=-∇∂r r
r r
r 纳维-斯托克斯方程：
1DV V V V f p U Dt t μρ∂'=+⋅∇=-∇+∆∂r r
r r
r r ， 不可压、粘性流 兰姆(Lamb)方程：
2
22
,0,
211
,,
0,
22V V V V V V V V V V f p f p t t ρρ⎛⎫⋅∇=∇-⨯ΩΩ=∇⨯= ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫∂∂∴+∇-⨯Ω=-∇+∇=-∇Ω= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭r r r r r r r Q r r r r r r r r r
将欧拉方程中的对流导数项换成旋量形式，即是Lamb 型方程 6、速度势
因为无旋，故有速度势存在；0,,U U ∇⨯=⇒=∇Φr r
静止不可压缩理想流体在瞬时脉冲压强作用下产生的流动是无旋的，它的速度势等于负压强冲量除以密度；
通过欧拉方程，在短时间内进行积分处理，得出：
00
1
,,t
I
I
U pdt C δρ
ρ
ρ
∇=-
=-
Φ=-
+⎰
物理意义：不可压缩流体的无旋流动可由瞬时压强的冲量产生。

7、流函数
在不可压缩流体的二维运动中，0,u v
V x y ∂∂∇⋅=
+=∂∂r 满足上式的全微分函数：0,,,d udy vdx u v y
x ∂ψ
∂ψ
ψ=-==
=-
∂∂
流函数的定义式子：(),udy vdx ψ=-⎰ 流函数的等值线是流线；
流函数等值线和势函数等值线是正交的。

因为流函数的切线表示速度，而速度一定垂直于势函数，故，二者正交。

8、复势
以速度势为实部，流函数为虚部组成的复函数， ()()(),,,W z x y i x y =Φ+ψ 复速度：以平面无旋流场的速度分量组成的复数,U u iv =+ 9、理想不可压缩流体的有旋流动
理想不可压缩流体在非有势力作用下将产生有旋流动；
有旋流动的流函数：有旋流动无速度势，但不可压缩流体存在流函数:(),x y ψ
22220,,,,,0,,z z d udy vdx U v x u y u v U y x x y ωωω⎧ψ=-==∇⨯⇒=∂∂-∂∂⎧⎪
⎪
∂ψ∂ψ⎨⎨∂ψ∂ψ
==-∇⋅=⇒+=-⎪⎪∂∂∂∂⎩
⎩
r r
r
第四章 量纲分析和相似性
1、不可压缩流动：连续性方程和动量方程描述 考虑粘性、重力，参数如下：
(a) 雷诺数：流体惯性力和粘性力之比，度量惯性力和粘性力的相对重要性，
Re LV ρμ
=
若雷诺数比较小，流动中粘性力起主导作用； 若雷诺数比较大，惯性力起主导作用。

(b) 弗劳德数：是惯性力与重力之比，度量流动中惯性力与重力的相对重要性。

2
0V Fr gL
=
2、可压缩流动：连续性方程、动量方程、能量方程和物态方程描述 其中出现新的无量纲数如下：
(a) 马赫数：特征速度和声速的比值；
(b) 普朗特数：运动粘度系数和热扩散系数之间的比值； (c) 比热比：等压比热容比与等容比热容比之间的比值；
第五章 粘性流体和边界层流动
1、粘性流体-牛顿型流体 牛顿型流体：粘性应力张量P 和变形率张量S 具有线性各项同性函数关系的流体；
,P I τ=-∏+t t t
其中，∏表征是应力的各向同性部分；τt
称作偏应力张量； 流体静止时，p ∏=； 流体运动时，p ∏≠。

(1)各向同性应力关系：
()(),
ij ij ij kk ij p p S δπδδλδ∏=-=+∏=-+与流体运动有关部分热力学压强，
(2)偏应力关系
偏应力张量与变形率张量间具有线性各向同性关系；
2,ij ij S τμ=
牛顿流体的本构关系：()2,ij kk ij ij P p S S λδμ=-++
令：23,μλμ'=+22,
3ij kk ij ij P p S S μμδμ⎡⎤⎛⎫'=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 牛顿流体质点的应力： (a)、ij p δ-热力学压强；
(b)、23kk ij S μμδ⎛
⎫'- ⎪⎝⎭
体积膨胀率引起各向同性粘性应力；
(c)、2,ij S μ运动流体变形率引起的粘性应力，称偏应力张量； 牛顿流体的剪切力与剪切应变率关系：,xy du
dy
τμ
= μ称为流体的动力粘性系数；简称粘度；μρ称运动粘性系数；
μ'的物理意义： ,m P p U μ'=-+∇⋅r
<1>. 不可压缩流体，0U ∇⋅=r
，不可压缩流体法向应力等于热力学压强；
<2>. 可压缩流体，流体微团体积发生变化，引起压强m P 变化，μ'称为“容积
粘性系数”或 ”第二粘性系数”，因此，μ'反应由体积变化引起流体偏离热力学压强的粘性应力。

描述不可压缩、粘性流体的动量方程(运动学方程)称为：纳维斯托克斯方程
1DV V V V f p U Dt t μρ∂'=+⋅∇=-∇+∆∂r r
r r
r r ， 2、粘性流体运动的基本特性
(1)、粘性流体运动的有旋性
无粘流体满足Euler 方程，满足边界的不可穿透条件；而无旋条件只能使得N-S 方程满足粘性的部分条件，故粘性流体有旋； (2)、粘性流体运动的耗散性
在不可压缩牛顿流体流动的能量方程中有一粘性耗散项，它使得流体质点的熵增加，即：绝热系统中牛顿流体运动是熵增的不可逆耗散系统； (3)、粘性流体运动的扩散性
方程中的U ν∆r
具有扩散性质，使得具有有旋性的流体有旋区域不断扩大； 3、流体绕物体流动区域：
One ：邻近物体表面的薄层(边界层)，摩擦起主要作用； Two ：另一区域摩擦可以忽略；
当粘性流体绕流的特征雷诺数很大时(即：粘性很小时)，在物体表面形成粘性起
普朗特提出边界层理论：
定常绕流中流体粘性只在贴近物面极薄的一层内主宰流体运动，称这一层为边界层；边界层外的流动可近似为无粘的理想流动。

研究内容：
A ：边界层的厚度；
B ：导致的速度分布；
C ：压强的分布；
D ：流体作用的固体表面的力的方法;
边界层内的流动开始是层流，但沿物体表面边界层增厚，如果表面足够长，会出现一个转区，边界层内的流可以转变为湍流。

4、边界层的流动与分离
第一阶段：流动方向压强减小，称为顺压梯度区。

此时()220
0,0.dp dx u y <∂<
第二阶段：压强达到极限值，称为零压梯度。

此时：()220
0,0.dp dx u y =∂∂=
第三阶段：流动方向压强升高，称为逆压梯度。

此时：()220
0,0.dp dx u y >∂∂>
流体流动过程中受到两个力的作用，一个是粘性力，一个是压强梯度力。

在第一阶段，粘性力减速，而压强梯度力加速，即阻碍粘性力的减速。

在第三阶段，粘性力和逆压强梯度力共同减速流体，甚至导致壁面附近的流体质点出现倒流。

5、内流：考虑粘性的N-S 方程
流向(X 轴)和横向(Y 轴)的无量纲化转换：流向尺度x L :，横向尺度L δε:
2,,
,
,u U u v U v x Lx y Ly p U p εερ*****
∞∞∞=====
连续性方程、动量方程
()(
)
222
2222220,
0,,,0,0,,0,u v V x y t V u u p u u VV p V u v t x y x x y D V v v p v v u v Dt t x y y x y u v x y u u v x ρρρργγργ********⎧∂∂∂⎧⎫+=⎪+∇⋅=⎪⎪∂∂∂⎪⎪⎪⎪
⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎪+∇⋅=-∇+∇⇒+=-++⎨⎬⎨ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂⎛⎫∂∂∂∂∂==⎪⎪⎪+=-++ ⎪∂⎩⎭∂∂∂∂∂⎪⎝⎭⎩
∂∂+=∂∂∂+∂r r r r r r ()()()
()222222222222220,111,,2Re 1110,3,Re 2Re u v x y u p u u u u p u u v y x x y x y x y p v v p v v u v y x
y y x y O εεεε**************************
*******
***⎧⎧∂∂+=⎪⎪∂∂⎪⎪
⎪⎪⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪=-++⇒+=-+⎨⎨ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪∂⎛⎫∂∂∂∂∂=⎪⎪+=-++ ⎪∂⎪∂∂∂∂∂⎪⎩⎝⎭⎩:式中：()1,Re 1,
?
()30,p y
*
*∂=∂式：中压强在法向为常数，即：()()()
,,,0,p x y p x p x *******=∞=
有方程得出结论：
<1>. 边界层内压强在垂直壁面方向不变，沿壁面方向压强等于外部流场的当地
壁面压强；
<2>. 流向的分子粘性扩散远小于法向扩散 (方程(2)中最后一项)；致使不可压
缩流体定常流动的边界层方程有椭圆型的定常N-S 方程退化为抛物型偏微分方程； <3>. 当Re 1,?时，
边界层横向尺度ε≈即：边界层的横向尺度与Re 数的
平方根成反比； 6、边界层厚度
(1)、排挤厚度：()()
10
1,e
u U dy δδ∞=
-⎰
物理意义：厚度为()1δδ-的理想位势流进入边界层后，由于近壁流速减小，它的外边界外移，相当于物面增加厚度1δ，故1δ称为位移厚度或排挤厚度；
(2)、动量损失厚度：()()()
20
1,e
e
u U u U dy δδ∞=
-⎰
边界层内流体的通量：20
,u dy δ
ρ⎰，
流量相同的理想位势流的厚度等于1δδ-，其动量通量：()21e U ρδδ- 由于粘性，使流入边界层的动量通量和位势流相比损失量：
()2210
,e
U u dy δ
ρδδρ--⎰
已知()10
,e U udy δ
δδ-=⎰，故，动量通量损失为：
()()22
2
10
,e
e e U u dy U udy u dy u U u dy δδδδ
ρδδρρρρ--=-=-⎰⎰⎰⎰
则流过厚度2δ的动量通量：22e U ρδ，
()()2220
,e e
e e u
u U u dy U U u dy U δ
δ
ρρδδ-=⇒=-⎰⎰
第六章 不可压缩势流
1、讨论不可压缩二维势流理论，适用于马赫数小于左右的亚声速流动。

势流理论：V=φ
⇔-∇无旋流动 流体的旋度（或称涡量）：V
ω=∇⨯r
2、伯努利方程
不可压缩、无旋流动、非定常的伯努利方程：
2
2
22V V dr dr p dr dr
t B V V p Con t ρρρψψφφψρ⎛⎫∂⋅+∇⋅=-∇⋅-∇⋅ ⎪∂⎝⎭
=∇=-∇∂-+++=∂⎰⎰⎰⎰r r r r
r r r r
r 守恒体力的无旋流动中：，速度势：
3、速度势和流函数
速度势： V=φ⇔-∇无旋流动 不可压缩：2V=0;
0φ∇⋅∇=
任意二维流场，均可用来流函数ψ表征。

在二维流动中，等ψ线是流线，它在两流线之间的数值差等于该两流线之间的容积流率。

流函数物理意义：由下图可知，沿从1ψ至2ψ的路径，流动从右到左为正向，笛
卡尔坐标中以定义的V r
为：;
;u y v x ψψ=-∂∂=∂∂
1ψ至2ψ之间的容积率为：
()2
2
2
1221111
Q vdx udy dx dy d x y ψψψψψ⎛⎫
∂∂=-=+==- ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰
从物理上讲：流函数是单值的。

除沿任意包围奇点，如源或汇的封闭积分轮廓线
外，沿任何封闭轮廓的积分2
1
0d ψ=⎰。

4、复函数
在二维空间中，定义复函数必须速度势和流函数必须为调和函数且满足柯西黎曼方程， F
i φψ
=+
第七章 一维可压缩流动 (P160)
《一维非定常流》见
第八章 二维可压缩流动气体动力学
1、可压缩空气动力学流动问题：无摩擦、无旋和等熵的流动； 在超声速流动中，可能会出现激波，激波中是不等熵的。

绝热连续的流动过程是等熵过程；
理想可压缩流动的方程组：连续、动量以及状态方程(与时间相关时)
可以引入速度势的概念，进行化简求解，得到关于速度势的方程。

2、在能量方程中：若流动是绝热()0q =&且连续的，即过程是绝热可逆的，有热力学第二定律：Ds Dq =，可导出熵增0s Ds Dt q T ===&&，故：绝热连续的流动过程是等熵过程。

一维声波的传播是非色散性的双向波，因为声速
0c =由此可知声速只与热力学状态有关，与扰动的运动学特性，(扰动的频率、波长等无关)。

马赫数M ：流体的速度与当地的声速之比；
物理解释：单位质量流体的惯性力与压强合力的量级之比； 气体质点的单位质量的动能与内能的量级之比； 马赫锥：在超声速绕流运动中产生的圆锥面角度；
超声速运动的点扰动只能在下游马赫锥内传播，而不能传播到马赫锥外。

3、理想气体等熵流动的性质
(1)、理想气体定常绝热连续性流动中沿流线熵不变； (2)、理想气体绝热定常流动沿流线 2h U const +=； (3)、克鲁克定理(Croco 定理)
0U T s h Ω⨯=∇-∇
有此公式可以判断：均熵、均焓及旋度之间的关系；
当均熵、均焓时，流体无旋；当均熵、无旋时，流体均焓；当均焓、无旋时，流体均熵，等等……
滞止参数： 在定常流动中，气体流动等熵地减速到速度等于零的状态，称为滞止状态，滞止状态的气流参数为滞止参数。

滞止温度：因为等熵，故有能量方程：
22
2
0002,,
2p p p
U h c T h U c T U T T c ==+=+⇒=+
()
()11
00,,,
,,
,p
p
p RT p C C p RT RT
p RT p T p T γ
γ
γγ
γ
γρρρ--==⇒==⇒=⎛⎫= ⎪⎝⎭
L
理想气体定常等熵流动中的最大速度：
2
0max ,0,2
p U h c T When T U =+=⇒=
临界参数：在理想气体定常等熵流动中，流体质点速度等于当地声速的状态称为临界状态，临界状态下的气体状态参数，称为临界参数。

()02
012
,
U a h h U h h γ*****
⎧===⎪⇒=+⎨+=⎪⎩
速度系数：流体速度与临界速度之比； U c
λ*= 化简：
()()()()00222
220021
20111,1111,22222
11,
2p p c U U c c c c c c U T U U U T T Ma c T c T RT c T Ma T λγγγγγ**-=
====---=+⇒=+=+=+=+
-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
()()(
)()222
20
021
112
2
2
22111,111,
22222
112111,2212p p U T U U U T T c T c T RT c Ma Ma Ma Ma γγγγγγγλγ*********-
-
--+=+⇒=+=+=+=-⎡⎤⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫=
=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭
⎝⎭⎣⎦⎣⎦
4、激波理论
在强扰动下，流动的参数发生突变的现象，称为激波；
激波厚度约为分子自由程的量级，在这一薄层中，物理量迅速地从波前值变为波后值，速度梯度、压强梯度和密度梯度都很大，因此，研究激波层内流动时必须考虑粘性和热传导的作用。

当激波层中不发生离解、电离等物理、化学过程时，气体穿过激波可认为是绝热过程。

正激波：和气流速度垂直的物理量间断面；
驻激波：将坐标系固结在激波上，正激波可以看成是静止的平面；
分析激波两侧的参数，考虑：连续性、动量、能量和状态方程
()()()
()
1211222111212
1122
,,
000,,,,,
D A D A A D A A
A A dx dV dV U ndA t U U p U p UdV U U n dA p ndA t EdV E U n dA pUdA t p p RT RT ρρρρρρρρρρρρ→→∂⎧
+⋅=⎪∂⇒=⎪
⎪∂⇒+=++⋅=-⋅⎪∂⎪⎨∂⎪+⋅=-⎪∂⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r r r r r r r r 面积分别为因为选取的控制体非常窄，故体积忽略.
质量：动量：能量：状态：22222
1122121122,11,22,p p U c T U c T U p p RT RT ρρ⎧⎪⎪⎪⎨⇒+=+⎪⎪⇒=⎪⎩ 有第1,2公式可以得到：
()()211122111222
112111122222
12121211112212,11,,
,1111,
U U U U U p p U U U U U U U p U p U p p U U ρρρρρρρρρρρρ⎧⎛⎫⎛⎫=⇒=+=+=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪+=+⇒⎩⎛⎫-+=- ⎛⎫++ ⎪⎝⎪⎝=⎭
⎭-- 再有第3式子，可以的
()2222
1211221222
121212222111
211111,,
2,1212121p p p p p U p p c T U c T U U U p U γγγργργγρρρρ+=+⇒+=+--⇒
⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪-⎝⎝=⎭⎭
=-
同时乘以
2
1
p ρ，整理后：
()()
()()()
()
()()
()
()()()
2
2
1
1
2
21
1
221
1
2
1
2
2
21121
1111,
,
111111,11p p p p p p p p p p
p p T T ργγγγρργγγγργγγγρρ===+--++-+---++⎛⎫++- ⎪⎝⎭++-有状态方程：
上述关系式就是：兰金-于格尼奥(Rankine-Hugoniot)关系式
有连续性方程、动量方程和能量方程推导出压强、密度和温度的比值。

激波过程与等熵过程：
<1>. 激波压缩是有限压缩，正激波后的密度增高有极限：
()()21
21
1lim
6,1p p ρργγ→∞+-==
等熵压缩是无限的，2211
2112lim lim ,p p p p p p γ
ρ
ρ→∞→∞⎛⎫==∞ ⎪⎝⎭
<2>. 激波绝热曲线和等熵曲线在211ρρ→时相切，这说明，弱激波压缩接近等
熵压缩；
<3>. 相同的密度比211ρρ>下， 激波压缩过程的压强比大于等熵过程的压强比；
<4>. 激波压缩过程熵增必大于零，是绝热不可逆过程；
()
22212121112121ln ln ln ,v v v s p p p p p s s s c c c p p p γγ
γρρρρ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫
∆=-===⎢⎥⎢⎥ ⎪
⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
激波压缩211p p >时，，则有激波曲线和等熵曲线：()2121s p p p p >，可知
210s s s ∆=->。

<5>. 激波膨胀是不可能的，
若有211ρρ<，激波后的压强小于激波前压强：211p p <，于是：
()2121s p p p p <，则出现210s s s ∆=-<，这是不可能发生的 。

5、普朗特关系
有动量方程除以连续方程， 22
121212
,c c U U U U γγ+=+
应用临界参数的定义及动量方程：
2221
12212222
1122,121212
,121212
p U p U p U RT U RT U RT U γ
γγγργργργγγγγγ***
**+=+=+---+=+=+---
()()()()()()()()2222122
2
2
1
2
2222
122
2
121111,
22221111,
,22
22
U U U c c
c
c
c U c U c c γγγγγγγγ*****---++
=+
=+=+-+-=-=
-
()22
2
212
1
2
1212
222121212122
1212,
10,1
c c c c U U U U c c c U U U U U U U U U U c γγλλ****+=+⎛⎫
+=+--= ⎪⎝⎭=⇒
=将、的结果带入前面式子，，
6、运动激波及其反射
运动激波，选择激波作为相对坐标系
7、斜激波理论：
与气流方向不垂直的平面激波；
()
()
112222
111222122211221211220,,,
,,11
,22,
n n D A D A A n n t t t
n n D A A
dV U ndA U U t UdV U U n dA p ndA t p U p U U U U EdV E U n dA pUdA h U h U t p p RT RT ρρρρρρρρρρρρ∂⎧
+⋅=⇒=∂∂
+⋅=-⋅∂⇒+=+==∂+⋅=-⇒+=+∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r r r r r r r r 质量方程：动量方程：能量方程：，
状态方程：⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
激波压缩、等熵压缩对比
5、小扰动理论和线化理论
6、特征线方法
《一维不定常流》中介绍
第九章 不可压缩湍流流动
1、由易到难的流动：位势流(流速很低) ?层流(流速较低) ?湍流(高) 流场中存在无限小的扰动，当雷诺数很低时，扰动逐渐衰减，流动保持层流状态。

当雷诺数增大时，小扰动会逐渐增长，流动出现不稳定。

解 释：
当雷诺数很小时，认为粘性系数比较大，粘性力较大，对扰动起
到抑制作用，使得扰动不能发展起来；
然而，当雷诺数增大时，粘性力降低，流速相应的增加，此时的粘性力不能够完全抑制住扰动的发展，使得扰动速度有部分剩余，随着时间发展，引起不稳定。

讨论的问题：
（1） 湍流的物理特征；（2）湍流运动的定量描述。

研究方法：
（1） 唯象：引进经验的交换系数，给出剪应力的计算公式；
（2） 统计：研究时间平均量的方程；
2、各向同性湍流：是一个平均速度没有变化的高度理想化的流动。

剪切湍流：分壁面湍流(边界层流动)和自由湍流(尾流和射流)，确定平均速度。

第十章 高超声速边界层流动
第十一章 磁流体动力学
《等离子体物理》中的三种方法之一。

第十二章 非牛顿流体
1、 不满足牛顿流体的应力和应变率关系的流体，称为非牛顿流体。

牛顿流体中的剪应力τ和剪应变率γ&之间的关系：
u
y
ττμγμ
γμ∂==⇒=
∂&&
2、 非牛顿流体的分类
(1)、最简单：无时效的，剪应变率是剪应力的非线性单值函数；
()f γτ=&
包含：宾厄姆塑性流体、拟塑性流体、膨胀流体
(2)、有时效的非牛顿流体，即与时间有关，还与流体前发生的剪应变历史有关；
触变流体：表观粘性系数除了和剪应变率有关外，还与剪应变持续的时间
长短有关。

(3)、粘弹性流体，同时具备粘性和弹性的特点，
粘性部分满足牛顿定律，弹性部分满足胡克定律。

第十三章 波动和稳定性
1、 波动分类：横波和纵波
波阵面性质：平面波、柱面波、球面波 色散方程
相速度、群速度
包络线的速度是群速度，载波的速度是相速度，若没有色散，则群速度和相速度相等。

2、 不稳定性
流体力学中的问题
1、 粘性流体中速度在动量方程中 牛顿粘性流体中连续性、动量方程
()()
0,22,13,2222,33kk kk kk V t P p S I S DV P f Dt P p S I S p S I S ρρμμμρμμμμμμ∂⎧+∇⋅=⎪∂⎡⎤⎪⎛⎫'=-+-+⎨ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪=∇⋅+⎪⎩
⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫''∇⋅=∇⋅-+-+=-∇+∇⋅-+∇⋅⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭
r t t t
r r t t t t t t
()1212121
1,,
,12222
1xy j i ij ji ij y ji ij ij ji j
i ij x x x x z y z y x yz u u P P S S S S S x x S u S x v S y u v S y x v u w S z u v S y x w u z S z x y S ⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎛⎫
∂∂⇒=⇒==+=
+ ⎪ ⎪∂∂⎛⎫=+ ⎪∂∂⎝⎭∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂=∂∂=⎭∂∂=由于二阶对称张量，流体运动的等于速度梯度的对称张量之半；
变形率12zy zz w w w v S z S z y x ⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢∂⎛⎫+ ⎪∂⎝⎭⎥
∂⎢⎥=⎢⎥∂⎣⎦。