人教版初中数学三年级上册《圆的有关性质》图文课件

性质
9.如图25－7，量角器外缘边上有A，P，Q三点，它们所 表示的读数分别是180°，70°，30°，则∠PAQ的大小为 ( B ) A．10° B．20° C．30° D．40°
图25－7
[解析] P、Q所表示的读数分别是70° ，30° ，则设圆心是O，连接 OP，OQ，则∠POQ＝40° ，∠PAQ与∠POQ是同弧所对的圆周角与 1 圆心角，因而∠PAQ＝ ∠POQ＝20° . 2
10．如图25－8，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝30°， 则∠B的度数为( D ) A．15° B．30° C．45° D．60°
图25－8
11．如图25－9，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝36°， 则∠A的度数为( D )
A．36°
B．56°
图25－9 C．72°
D．144°
12．如图25－10，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线AQ 交BC于点P，交⊙O于点Q.已知AC＝6，∠AQC＝30°. (1)求AB的长； (2)求点P到AB的距离； (3)求PQ的长．
是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC， 得到∠ODE＝90° ， 可以证明DE是⊙O的切线． 根据CD＝BD，AO＝BO， 得到OD是△ABC的中位线， 同上可以证明DE是⊙O的切线． 根据AC∥OD，AC⊥DE， 得到∠EDO＝90° ， 可以证明DE是⊙O的切线．
9．如图26－6，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE＝ 60°，∠C＝30°. (1)判断直线CD是否是⊙O的切线，并说明理由； (2)若CD＝3 3，求BC的长．
[解析]
设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E，连接OD、
OE，∵AC、BE是⊙O的切线，∴∠ODC＝∠OEC＝∠DCE＝90° ，∴四边 形ODCE是矩形．∵OD＝OE，∴四边形ODCE是正方形， 即OE＝OD＝CD.设CD＝CE＝x，则AD＝AF＝b－x. 由切线长定理，得BF＝BE，则BA＋AF＝BC＋CE，c＋b－x＝a＋x， c＋b－a c＋b－a 即x＝ ，故⊙O的半径为 . 2 2
考点4
切线长定理及三角形内切圆
从圆外一点可以引圆的两条切线，它 们的________ 切线长 相等，这一点和圆心的 平分 连线________ 这两条切线的夹角 三角形的三条内角平分线交于一点， 这点是三角形的内心；它到三角形 三边 的距离相等 ________
切线长定理
三角形的内心
10.如图26－7，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切 点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC的度数是( B ) A．10° B．20° C．30° D．40°
图25－4
6．如图25－5，⊙O的半径OA＝10 cm，设AB＝16 cm， P为AB上一动点，则点某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图25－6所示，已知 4 AB＝16 m，半径OA＝10 m，则中间柱CD的高度为________m.
图26－3
[解析]连接OD，则∠ODC＝90° ，∴∠COD＝72° . 1 ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A＝ ∠COD＝36° ， 2 ∴∠CDA＝∠CDO＋∠ODA＝90° ＋36° ＝126° .
7．如图26－4，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交 ⊙O于D，AB＝6，BC＝8，则BD的长为( B ) A．4 B．4.8 C．5.2 D． 6
图25－1
3．如图25－2所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以 C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，则∠ACD＝________ 50° ．
图25－2
[解析] ∵∠B＝25° ，则∠A＝65° ，∠ADC＝∠A＝65° ， ∴∠ACD＝180° －∠A－∠ADC＝50° .
考点2
圆的有关性质
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 圆的有关性质
弦 弧 圆心角 等圆 连接圆上任意两点的_________ 叫做弦 线段 圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称 优弧 和_______ 劣弧 两种. 等弧是指 弧，弧有_______ 能够重合 的弧 _________ 半径 所夹的角，叫做圆心角 圆的两条_______ 重合 的圆叫等圆 能够完全______
图25－10
解：(1)因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90° .又因为∠ABC＝ ∠AQC＝30° ，AC＝6，则AB＝12. (2)由(1)可知∠BAC＝60° ，AO＝6，由于AQ是∠BAC的平分线， 所以∠CAQ＝∠BAQ＝30° ，则有∠BAQ＝∠ABC＝30° ， 所以△APB是等腰三角形． 连接PO，则PO就是点P到AB的距离． 在Rt△AOP中，PO＝AO· tan30° ＝2 3. 故点P到AB的距离为2 3. (3)因为∠BCQ＝∠BAQ＝30° ，所以∠AQC＝∠BCQ，则PQ＝CP. 由于AP是∠BAC的平分线，∠ACP＝∠AOP＝90° ， 所以CP＝PO＝2 3，那么PQ＝2 3.
图26－6
解：(1)CD是⊙O的切线． 证明：连接OD， ∵∠ADE＝60° ，∠C＝30° ，∴∠A＝30° . ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A＝30° . ∴∠ODE＝∠ODA＋∠ADE＝30° ＋60° ＝90° . ∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线； (2)在Rt△ODC中，∠ODC＝90° ，∠C＝30° ，CD＝3 3. OD 3 ∵tanC＝ CD，∴OD＝CD· tanC＝3 3× ＝3. 3 ∴OC＝2OD＝6. ∵OB＝OD＝3，∴BC＝OC－OB＝6－3＝3.
4.如图25－3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列 结论一定正确的个数有( A ) ①CE＝DE；②BE＝OE；③CB＝BD；④∠CAB＝∠DAB； ⑤AC＝AD. A．4个 B．3个 C．2个 D ． 1个
图25－3
[解析] 一定正确的结论是①③④⑤.
5．如图25－4，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则 40° ∠BOC等于________ ．
图26－1
[解析] 根据垂径定理的推论，作弦AB和BC的垂直平分
线，交点Q即为圆心．
3．如图26－2，⊙O是等边三角形ABC的外 接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的 边长为( C ) A. 3 B. 5 C．2 3 D．2
图26－2
[解析] 连接OA，并作OD⊥AB于D，则∠OAD＝30° ，OA＝2， ∴AD＝OA· cos30° ＝ 3， ∴AB＝2 3.
考点3
圆周角
定义 顶点在______ 圆上 ，两边与圆相交的角叫做圆周角 相等 ，都等于 ①半圆或直径所对的圆周角都______ 90° ，反之，90°的圆周角所对的弦是 _______ 直径 ；②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对 ______ 相等 ，都等于该弧所对的圆心角的 的圆周角____ 一半 相等 ________ ，相等的圆周角所对的弧______
1.下列语句中，不正确的个数是( C ) ①弦是直径；②半圆是弧；③长度相等的弧是等弧； ④经过圆内一定点可以作无数条直径． A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 圆心)．
弧包括半圆、优弧和劣弧，等弧是能够重合的弧，
而经过圆内一点只能作一条直径或无数条直径(圆内的一点正好是
2．如图25－1，在⊙O中，半径为5，∠AOB＝60°，则 5 弦长AB＝________ ．
圆的对称性
过圆心的直线 圆是轴对称图形，它的对称轴是 __________，它也 是中心对称图形，对称中心在________ 圆心
对称性
弦、弧以 及圆 同圆或等圆中，弦、弧以及圆心角这三个量中，只 心角的关 要有____ 一 个量相等，就可以得出其余的量也相等 系 直线：①经过圆心，②垂直于弦，③平分劣弧， 垂直于弦 ④平分优弧，⑤平分弦(弦不是直径)，只要其中的 的直径 两个条件成立，就可以得出其余的三个结论
图26－7
11．如图26－8，正三角形的内切圆半径为1，那么三角 形的边长为( B ) A．2 B．2 3 C. 3 D．3
图26－8
12．如图26－9，AC⊥BC于点C，BC＝a，CA＝b，AB＝c， c＋b－a ⊙O与直线AB、BC、CA都相切，则⊙O的半径等于________．
2
图26－9
┃考向互动探究与方法归纳┃ ┃典型分析┃
例 如图25－11，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB， ∠ADC＝30°. (1)求∠BOC的度数； (2)求证：四边形AOBC是菱形．
图25－11
解：(1)∵点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB， ∴AC＝BC.∵∠ADC＝30°， ∴∠AOC＝∠BOC＝2∠ADC＝60°.∴∠BOC的度数为60°； (2)证明：∵AC＝BC，∴AC＝BC. ∵∠BOC的度数为60°，OB＝OC，∴△BOC为等边三角形， ∴BC＝BO＝CO，∴AO＝BO＝AC＝BC， ∴四边形AOBC是菱形．
图26－4
8．[2012· 遵义]如图26－5，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D， DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充 的条件不正确的是( A ) A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD
图26－5
[解析]
根据AB＝AC，连接AD，利用圆周角定理可以得到点D
与圆有关的位置关系
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： 位置关系 ①点P在圆外⇔d>r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在 圆内⇔d<r ①________________ 不在同一直线上 的三个点确定一个圆；②三角 外接圆 形三边的垂直平分线相交于一点，这个点称为三角 三个顶点 的距离相等 外心 ；它到三角形的_________ 形的______
[方法归纳] 在圆中判定四边形的形状，常借助圆的圆 心角、垂径定理和圆周角定理等找出判定四边形所需要的 条件，进而解决问题．
图25－12 如图25－12，AD是⊙O的直径，AB＝AC，∠BAC＝120°， 根据以上条件写出三个正确的结论(OA＝OB＝OC＝OD除外)． BD ＝ CD ． BD＝CD ；②∠ BDA＝∠CDA ；③____________ ①________ _____________
考点3
切线的判定和性质
①如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直 半径 线是圆的切线．②到圆心的距离等于________ 的直 线是圆的切线．③经过半径的外端且垂直于 ________半径 的直线是圆的切线 垂直于 经过切点的半径 圆的切线________
判定
性质
6.如图26－3，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与 126° ． ⊙O相切于点D.若∠C＝18°，则∠CDA＝________
考点2
直线和圆的位置关系
相交 相切 相离 备注
直线l和⊙O相交⇔d＜r 直线l和⊙O相切⇔d＝r 直线l和⊙O相离⇔d>r 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距 离为d
4.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与 ⊙O的位置关系为( C ) A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
5．在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆 必定( A ) A．与x轴相离，与y轴相切 B．与x轴，y轴都相离 C．与x轴相切，与y轴相离 D．与x轴，y轴都相切
1.若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那 么点A与⊙O的位置关系是( C ) A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
2．如图26－1，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B ) A．点P B．点Q C．点R D．点M
图25－6
8．已知⊙O的半径为5 cm，AB和CD是⊙O的弦，AB∥CD， AB＝6 cm，CD＝8 cm，求AB与CD之间的距离是多少？
解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F， 1 1 则AE＝ AB＝3 cm，CF＝ CD＝4 cm， 2 2 ∴OE＝ OA2－AE2＝ 52－32＝4， OF＝ OC2－CF2＝ 52－42＝3. (1)当AB、CD在圆心O的同侧时，距离为OE－OF＝4－3＝ 1(cm)； (2)当AB、CD在圆心O的同侧时，距离为OE＋OF＝4＋3＝ 7(cm)． 因此，AB与CD之间的距离是1 cm或7 cm.