四川省绵阳南山中学2024届高三下学期高考仿真演练1理科数学试题

四川省绵阳南山中学2024届高三下学期高考仿真演练1理科数
学试题
一、单选题
1．已知全集{}2log 0U x x =>，集合2{|320}A x x x =-+<，则U A =ð（ ） A ．(),1(2,∞∞-⋃+） B ．[2,)+∞
C ．()
2,∞+
D ．][(,12,∞∞-⋃+）
2．设复数z 的共轭复数为z ，且满足5i
z
z =，则z 可以是（ ） A ．1i +
B ．1i -
C ．i
D ．i -
3．已知函数()()e e cos x x
f x a x -=-是奇函数，则实数=a （ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
4．在区间[2,2]-上随机取一个实数a ，使()sin f x ax x =-在R 上单调递增的概率是（ ） A ．13
B ．23
C ．34
D ．14
5
）
A ．13
B ．23
C ．16
D ．12
6．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，1O 是正方体上底面的中心，P 是11B C 的中点，则1PO 与平面11A BC 所成角的正切值为（ ）
A ．12
B
C
D ．2
7．将2名医生和甲、乙、丙、丁4名护士分成2个小组，分别安排到两个社区参加义诊活动，每个社区有1名医生和2名护士，其中甲乙不在同一小组，则不同的分配方法有（ ）种． A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
8
．关于函数21
()cos cos 2
f x x x x =-+，有下列命题：
①()f x 的最小正周期为π；②函数()f x 的图象关于π,012⎛⎫
⎪⎝⎭
对称；
③()f x 在区间ππ,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增；④将函数()f x 的图象向右平移5π12个单位长度后所得到的
图象与函数sin 2y x =的图象重合． 其中正确的为（ ） A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．①②④
9．已知函数 ()e ,0,
ln ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩()3,g x x =-方程()()()3f g x g x =--有两个不同的根，分别是12,,x x 则 12x x +=（ ） A ．0
B ．3
C ．6
D ．9
10．过双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左焦点1F 的直线l （斜率为正）交双曲线于,A B 两点，
满足113F B F A =u u u r u u u r
，设M 为AB 的中点，则直线
OM （O 为坐标原点）斜率的最小值是（ ） A
．B
C
．D
11．已知数列{}n a 的各项均为正数，1111
1,n n n n
a a a a a ++=-=+，若[]x 表示不超过x 的最大整
数，则[][][]12100a a a +++=L （ ）
A ．615
B ．620
C ．625
D ．
630
12．若函数(1)()log log a a f x x x +=+（0a >且1a ≠）在0+∞（,）上单调递增，则a 不可能的取
值为（ ）
A ．1
e
B ．
ln 2
2
C ．ln1.6 D
二、填空题
13．若,x y 满足约束条件20,10x x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-+≥⎩
则2z x y =+的最小值为．
14．已知非零向量,a b r r 满足2a b =r r ，且()
a a
b ⊥-r r r ，则a b r r ，的夹角大小为．
15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1152n
n S t ⎛⎫
=-⨯+ ⎪⎝⎭
，则12n a a a L 取最大值时，n
的值为．
16．已知圆22:(3)1C x y +-=,点P 在抛物线2:4T x y =上运动，过点P 作圆C 的切线12,l l ，切点分别为,A B ，则四边形PACB 面积最小值为．
三、解答题
17．数学来源于生活，当然也服务于生活．某学校兴趣小组针对“当地某一零售超市夏天如何配备冷饮”的问题，做了一系列研究．经研究发现，“冷饮的需求量（单位：杯）”与“当天的气温（单位：C o ）”线性相关．根据统计，小组随机抽取了该超市6天销量情况与当天的气温，对应关系如下表：
(1)经过计算，得到当天的气温x 与销量y 满足回归方程 3.6ˆy x m =+．若今天的气温为31C o ，
则该超市可以配备多少杯冷饮？
(2)为了进一步详细研究这种变化规律，该小组又从这6天中随机选取3天，记X 为销量不低于110杯的天数，求X 的分布列和数学期望． 18．已知在ABC V 中，D 为BC 边的中点，且AD =
(1)若ABC V 的面积为2，cos ∠=
ADC B ； (2)若2218AB AC +=，求ABC V 的周长的最大值．
19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB =，120ABC ∠=︒，PA PC =
PB PB AC ⊥．
(1)证明：平面PAC ⊥平面PBD ； (2)E 是侧棱PB 上一点，记
01PE
PB
λλ=<<（），是否存在实数λ，使平面ADE 与平面ABCD 所成的二面角为60︒？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 20．已知函数()2sin ln(1)f x x x ax =++-．
(1)当2a =时，求函数()f x 在区间π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上零点的个数；
(2)若0x ≥时，不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
21．已知椭圆()22
122:10x y C a b a b +=>>和椭圆()22222:10y x C b t b t +=>>组合成的曲线Γ如图
1所示，根据图形特点，称曲线Γ为“猫眼曲线”．特别地，若两个椭圆离心率相等，则称为“优美猫眼曲线”．
(1)已知“猫眼曲线”Γ满足,,a b t ，判断此时曲线Γ是否为“优美猫眼
曲线”．若曲线Γ经过点(0,G ，求出组成这个曲线Γ的两个椭圆的标准方程． (2)对于（1）中所求的“猫眼曲线”Γ，作直线l （斜率为k ，且0k ≠）．
①若直线l 不经过原点O ，且与组成Γ的两个椭圆都相交，交椭圆1C 所得弦的中点为M ，
交
椭圆2C 所得弦的中点为N ，如图1所示，OM
ON
k k 是否为与k 无关的定值？若是，求出该定值；
若不是，请说明理由．
②若直线l
的斜率k l =与椭圆2C 相切，交椭圆1C 于,A B 两点，Q 为椭圆1C 上与,A B 不重合的任意一点，如图2所示，求ABQ V 面积的最大值．
22．第十四届全国冬季运动会于2月17日在内蒙古呼伦贝尔开幕，这是继北京冬奥会后全国举办的又一冬季项目大型体育赛事，也是内蒙古首次承办的全国大型综合体育盛会．本次赛事共设8个大项，16个分项，176个小项．在开闭幕期间，运动员、裁判员、教练员、媒体记者等总规模达4000余人．武大靖、任子威等明星运动员也纷纷亮相．某高中体育爱好者打算借四叶草具有幸福幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章以作纪念．如图，在极坐标系ox 中，方程2sin 2ρθ=表示的图形为“四叶草”对应的曲线C ．
(1)当C 的π0,2θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时；求以极点为圆心的单位圆与C 的交点的极坐标；
(2)设A 和B 是C 上的两点，且π
6
AOB ∠=，求OA OB +的最大值．
23．已知函数()1f x x x =+-最小值是m ． (1)求m 的值；
(2)若0,0,a b a b m >>+=，证明：22
11252a b a b ⎛
⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。