丰城中学-下学期高三周考

高中数学学习材料
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丰城中学2015-2016学年下学期高三周考
数 学 试 题（48班）2016.3.5
命题：熊海荣 审题：吴爱龙
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；
1.{}{}R y y y R x x x A ∈≠⋃∈≠=,2|,1|，{}
R z z z z B ∈≠≠,21|且，那么
A ．A =
B B ．A ⊂B
C ．A ⊃B
D ．A ∩B =φ
2.若纯虚数z 满足()11i z ai -=+，则实数a 等于（ ）
A ．0 B.1-或1 C ．1- D ．1
3. 已知命题:p ,x R ∃∈使23x x >；命题:(0,),tan sin 2
q x x x π
∀∈>，下列是真命题的
是
A.()p q ⌝∧
B.()()p q ⌝∨⌝
C.()p q ∧⌝
D.()p q ∨⌝ 4.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，2312,2
1
,3a a a 成等差数列，则10
813
11a a a a ++=
A.27
B.3
C.-1或3
D.1或27
5.锐角△ABC 中，若A=2B ，则b
a
的取值范围是
A ．（1，2）
B ．（1，3 ）
C ．（2,2 ）
D ．（,
23 ）
6.已知命题0)1)(1(,:2≤++∈∃x m R x P ，命题01,:2>++∈∀mx x R x Q 恒成立． 若P ∧Q 为假命题，则实数m 的取值范围为
A.2≥m
B. 2-≤m 或1->m
C. 2-≤m 或2≥m
D.21≤<-m 7.已知(0,
)4
π
α∈，1
log sin a α
α
=，sin b αα=，cos c αα=，则（ ） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．b c a >>
8. 定义在R 上的函数24
)(,42)1(,2)()()(+>+=>'+x
e x
f e ef x f x f x f 则不等式满足 (其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A.),1(+∞
B.),1()0,(+∞-∞
C.),0()0,(+∞-∞
D.)1,(-∞
9.已知函数sin 3y x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
向右平移
3
π
个单位后，所得的图像与原函数图像关于x 轴对称，则ω的最小正值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．5
2
D ．3 10.定义
12n
n p p p ++
+为n 个正数12,,
,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n
项的“均倒数”为
15n
，又5n n a b =，则
12231011
111
b b b b b b +++
=（ ） A ．
817 B ．9
19
C ．1021
D ．1123
11.不等式2220x axy y -+≥对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围
是A ．
a ≤22 B ．a ≥22 C ．a ≤311 D ．
a ≤29
12.已知函数*+∈=N n x x f n n ,)(1的图象与直线1=x 交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则201620172201712017log log log x x x +++ 的值为 A.－1 B. 1－2016log 2017 C.2016log 2017- D.1 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；
13.已知函数()y f x =的图象在点()()
2,2M f 处的切线方程是4y x =+，
则()()22f f '+= ．
14.设数列{}n a 满足1042=+a a ，点),(n n a n P 对任意的+∈N n ，都有向量
1+n n P P =)2,1(，则数列{}n a 的前n 项和n S = .
15.已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，
则关于x 的方程 03
)(32))((2
=++
b
x af x f 的不同实根个数为
16.已知向量a 、b 、c 满足12
1
2
=⋅=⋅=
⋅=c b c a b a a ，则||c b a ++的最小值为 _______
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在平面直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为232
252
x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．在以
原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为25sin ρθ=． (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
(2)若点P 坐标为()
3,5，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求PA +PB 的值．
18.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，函数A A x x x f sin )sin(cos 2)(+-= 在12
11π
=
x 处取得最小值. （1）求角A 的大小.
（2）若7=a 且14
3
13sin sin =+C B ，求ABC ∆的面积. 在公比为2的等比数列{}n a 中，2a 与5a 的等差19.是93.
中项
（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）若函数
1sin 4y a x πφ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，φπ<的一部分图像如图所示，()11,M a -，()13,N a -为图像
上的两点，设MPN β∠=，其中P 与坐标原点O 重合，πβ<<0，求()tan φβ-的值.
A E y x D
C B
20.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上. （1）设AD ＝x （x≥0），ED ＝y ，求用x 表示y 的函数关系式；
（2）如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请予证明.
21.定义：若数列{}n A 满足2
1n n A A =+，则称数列{}n A 为“平方递推数列”。

已知数列
{}n a 中，21=a ，点),(1+n n a a 在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数。

（1）证明：数列{}12+n a 是“平方递推数列”，且数列{})12lg(+n a 为等比数列。

（2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，
即n T )12()12)(12(21+++=n a a a ，求数列{}n a 的通项及n T 关于n 的表达式。

（3）记n a n T b n 12log +=，求数列{}n b 的前n 项之和n S ，并求使n S 2016>的n 的最
小值。

22.已知函数)(x f 的定义域为D ，且)(x f 同时满足以下条件： （Ⅰ）)(x f 在D 上单调递增或单调递减
（Ⅱ）存在区间D b a ⊆],[，使得)(x f 在区间 ],[b a 上的值域是],[b a ;
那么我们把函数)(x f （D x ∈）叫闭函数
（1）求闭函数 y =3x -符合条件（Ⅱ）的区间 ],[b a ；
（2）判断函数x x y lg 2-=是不是闭函数？若是，请说明理由，并找出区间],[b a ；
若不是，请说明理由； （3）若2++
=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．
参考答案
一、CDDA DBDA DCAA
二、13. 7 14. 2n 15. 3 16. 4
三、17. 解：(1)由2322
52
x t
y t =-=+⎧⎪⎨⎪⎩得直线l 的普通方程为350x y +--=
又由25sin ρθ=得圆C 的直角坐标方程为22250x y y +-= 即()
2
2
5
5
x y +-=. ...............5分
(2) 把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，
得 22
223522t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即2
3240t t -+= 由于()
2
32
4420∆=-⨯=>，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，
所以{
121232
4t t t t +==又直线l 过点P ()
3,5，A 、B 两点对应的参数分别为12,t t
所以121232PA PB t t t t +=+=+=. ...................10分
A)
-sin(2x =cos2xsinA -sin2xcosA =sinA +xsinA 2cos -osA 2sinxcosxc =sinA +cosxsinA)-cosA 2cosx(sinx f(x)18.2=解：11()12
f x x π
=
在处取得最小值11322,,2,1223A k k Z A k k Z πππππ∴⨯-=+∈=+∈其中即 3
A A ππ∈∴=
（0，）,-----------------6分
(2)由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得sin sin sin b c B C A a ++=……….8分
即1333,1314
7
2
b c b c +=⨯∴+=由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得
22()22cos ,a b c bc bc A =+--∴即49=169-3bc,bc=40
113
sin 40103222
ABC
S
bc A ∴==⨯⨯=--------------------------12分
17.19. （Ⅰ） 解：由题可知25183a a +=，又528a a =， ----------3分 故223a = ∴13a = ----------5分 （Ⅱ）∵点()
11,M a -在函数1sin 4y a x πφ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
的图像上， ∴sin 14πφ⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
，又∵φπ<，∴34φπ= -------------7分
如图，连接MN ，在MPN ∆中，由余弦定理得
222
412283
cos 2283
PM PN MN
PM PN
β+-+-=
=
=-
又∵πβ<<0 ∴ 5
6βπ= -------------9分
∴ 12
π
φβ-=-
∴ ()tan tan
tan 231246π
ππφβ⎛⎫
-=-=--=-+ ⎪⎝⎭
-------------12分 20.（1）在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x·AE·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE 2－x·
AE,① 又S △ADE ＝
21
S △ABC ＝23a 2＝2
1x·AE·sin60°⇒x·
AE ＝2.② ②代入①得y 2＝x 2＋2
2()x
－2（y ＞0）, ∴y ＝2
24
2x x
+
-（1≤x≤2）. （2）如果DE 是水管y ＝2
2
4
2x x +
-≥2222∙-=, 当且仅当x 2＝
24
x
，即x ＝2时“＝”成立，故DE ∥BC ，且DE ＝2. 如果DE 是参观线路，记f （x ）＝x 2＋24
x
，可知
函数在[1，2]上递减，在[2，2]上递增， 故f （x ） max ＝f （1）＝f （2）＝5. ∴y max ＝523-=.
即DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长.
21.（1）由条件得：n n n a a a 222
1+=+， 1分
22
1)12(14412+=++=+∴+n n n n a a a a ，{}12+∴n a 是“平方递推数列”。

2 分
由{})12lg(,2)
12lg()
12lg()12lg(2)12lg(11+∴=++∴
+=+++n n n n n a a a a a 为等比数列。

（2）,25lg )12lg(,5lg )12lg(11-⋅=+∴=+n n a a 1
2512-=+∴n n a
)15(2
11
2-=∴-n n a 。

5lg )12(2
1)
21(5lg )12lg()12lg()12lg(lg 21-=--⋅=++++++=n n n n a a a T ，
125-=∴n
n T 。

（3）1
1
1)21(22
125lg 25lg )12()12lg(lg ----=-=-=+=n n n n n n n n a T b ， ])21(1[222
11)21(12])21()21(211[212n n
n n n n n S --=---
=++++-=∴- n n )2
1
(222+-=。

由,2016>n S 得1009)21
(,2016)21(222>+>+-n n n n ，
当1008≤n 时，,1009)21(<+n n 当1009≥n 时，1009)2
1
(>+n n ，因此n 的最
小值1009。

22.解：(1)[][]1,1,-=b a (2)该函数量不是闭函数；
(3)⎥⎦
⎤ ⎝⎛--∈2,49k。