N-S方程的精确解
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6
u z u z u z u z u u u x y z t x y z
2u x 2u x u x u x 1 p ux uy 2 2 x y x x y
2 2 2u 2u 1 p u uyy u uyy u u yy y 1 p y u u uxx uyy 2 2 2 2 x y x x y y y y x y
u 0 x
u u y
偏微分改变 为常微分
p 0 y
p px
d 2 u 1 dp 2 dx dy
y x 左边应为y的函数，右边应为 x的函数 两边相等的条件两边均为常数
dp c dx
d 2u 1 dp 2 dy dx
压力沿x轴线性变化
du d u 1 dp y c1 当y o时， 0, 则c1＝0 dy dy dx
9
u=0, 在 x 轴上，速度为最大。
y2 u u max 1 H 2
可见速度分布为抛物线规律，这是层流的重要性质。
一
平行流动
Couette流（库埃特流动）
Poiseuille流动（泊肃叶流动）
10
平行流动分析：
u x u y u z 0 x y z
2 2 2 x y z x x y z t 2 2 则 u u ux 1 p x x 2 2 2 X u 2 2 u u u u u uy y t y 1 p y y y y y x z （ ux uy uz Y ) 2 2 2 y z 2 2y x y z t u x u 1 p u X 2 (1 ) 2 2 2 2 u u u u u u uz 1 p t z u z xu z y Z z z z z u （ 2 2 2 ) x y z t x y z z x y z 它是u的线性二阶偏微分方程。
单位宽度流量
2b3 dp q V 2b 3 dx
20
2.圆管层流流动:
采用圆柱坐标
u 0 ur 0 u u x u r ,
柱坐标下的N-S方程、连续性方程
21
2 ur ur u ur ur u ur ux r r x r t 1 p 2ur 1 2ur 2ur 1 ur 2 u ur 2 2 2 2 2 2 r r r x r r r r u u u u u u ur ur ux r r x r t 2 2 2 u u u 1 u 2 ur u 1 p 1 2 2 2 2 2 2 r r r x r r r r u x u u x u u x u u x r x t r r x 2 2 2 u u u x 1 u x 1 p 1 x x x r 2 r 2 2 x 2 r r ur ur 1 u u x 0 r r r x
u y y y P 1 U h h h
1
1、当 P=0 ， dp 0 ， u y ，速度分布线性称 dx U h 为简单Couette流。
dp 2 、当 P>0 ， 0 dx 整个流速为正。
，顺压强沿流向逐渐降低 ,
15
3.当P<0
u y y y P 1 U h h h
(2)
(3)
12
dp 与y有关,与x无关 dx
dp d 2u 2 dx dy
(2)
p dp 由N S方程， 0, p与y无关， 与x有关。 则 为常数。 y dx
于是积分（2）式可求
y h 2 dp y y u U 1 h 2 dx h h
Uh h3 dp Q udy 0 2 12 dx
典型问题N-S方程的精确解
2018/12/18
1
N-S方程的精确解
一 .平行流动（ Parallel 二. Stokes 流动问题讨论 Flow ）
三. 重力作用下的平行流动
四 . 五. 小雷诺数流动 圆管内非定常流动
六. 润滑理论
2018/12/18
2
当密度为常数时，N-S方程为：
dui 2ui p f i dt xi x j x j
h
(4)
(5)
h 2 dp （4）式无量纲化，令 P ，则 2U dx
13
h 2 dp P 2U dx
u y y y P 1 U h h h
dp 0， 顺压 dx dp 0 逆压 dx
(6)
当P 0, 当P 0,
有可能回流。
14
h 2 dp P 2U dx
(1)
u y y y y 2 P 1, 1 u y U h h h h
2
切.
y du 为一抛物线， y 0 处， 速度曲线与y相 2 y 0 h dy
16
h 2 dp P 1 2U dx
c
p p 2 p x 2 2 p 0 u u y , z 与 x 无关。 u u u u u u ux 1 p x x x x x y x x z ux uy uz X （ )
u x 0 u x 0 ， u y uz 0 时， ， x
其中X, Y, Z 是单位质量流体受的质量力。
3
由于非线性项的存在，在数学上求解困难， 只有在它为零时，才可以求得精确解。 可解的情况： 1.Re很小的极慢流动：惯性项与粘性项对比 很小，可以不计，方程变成线性。
2. Re很大，此时，ν只影响近边界处的流动， 称之为边界层，边界层内流动的简化求解，边 界层外的流动忽略粘性，按理想流动处理。
11
一．Couette流 （库埃特流动）
即平板平行流动
p 0 设 x u x
流动恒定
u
2 2 u 1 p u X 2 2 y t x z
t
0 ，Z方向不变.
(1)
则（1）式变成 边界条件：
dp d 2u 2 dx dy y 0, u 0 y h, u U
h
当P=-3时，Q=0，逆压梯度对流量的作用与上板拖动所 形成的流量已达平衡。当P‹-3则逆压梯度对流量的作用更强， 使流量变为负值。
18
二．Poiseuille流动（泊肃叶流动）
定义：由压强梯度推动的管、槽中的流动称为泊肃叶流动。
1. 二维槽流 方程：dp d 2u 2 dx dy
(1)
坐标选取如图 边界条件：
8
d u 1 dp y c1 dy dx
1 dp 2 u y c2 2 dx
d u 1 dp y dy dx
当y H时，u 0, 1 dp 2 则c2＝ H 2 dx
y x
1 dp 2 u H y2 2 dx
静止平板的边界条件：y= H , y=0,
3.数值求解
4
二维平板间粘性流体的流动
假设： 假定不可压缩粘性 流体流过宽为2H的 二元不计 （3）流动为层流
y
x
5
2u x 2u x 2u x u x u x u x u x 1p X u u u x y z x 2 y 2 z 2 t x x y z 2u y 2u y 2u y u y u y u y u y 1p Y ux uy uz 2 2 2 y x y z t x y z 2u z 2u z 2u z 1p Z 2 2 2 z x y z 对于二维流动 2u x 2u x u x u x 1p ux uy 2 2 x y x y x 2 2 u uy u y u y 1p y ux uy 2 2 y x y x y u x u y 0 x y
dp 2U 2 0 dx h
逆压梯度不产生回流的 极限梯度值 。
17
(2)
P 1,
dp 2U 2 dx h
逆压梯度超过极限梯度 值
在下板附近流速是 负值 , 将产生回流。这说 明上板面对流体的拖动不 足以克服逆压梯度对流动 的影响.如P=-2,-3
Uh h3 dp Uh hU h 2 dp Uh hU Q udy P 0 2 12 dx 2 6 2U dx 2 6
y
x
u x u y 0 x y
u 0 x
u u y
p 0 y
ux u ，
层 流`
uy 0
压强仅为x的函数，而与y 无关。即沿x轴取不同横截 面上的压力分布是均匀的， 但不同截面具有不同的压 力。
7
p px
2u x 2u x u x u x 1 p ux uy 2 2 x y x x y
（2）
y b, u 0 y b, u 0
(2)
19
1 dp 2 2 u b y 积分（1），利用（2）得 2 dx
断面上最大速度
u max
平均流速
1 dp 2 b 2 dp b 2 dx 2 dx
1 b b 2 dp V udy b 2b 3 dx
u x u x u x u x 2u x 2u x 2u x 1 p ux uy uz X （ ) 2 2 2 x y z x x y z t 2 2 2 u y u y u y u u uy u y 1 p y y ux uy uz Y （ ) 2 2 2 x y z y x y z t 2 2 2 u u u u u u uz 1 p z z z z z z u uy uz Z （ ) x 2 2 2 t x y z z x y z
u z u z u z u z u u u x y z t x y z
2u x 2u x u x u x 1 p ux uy 2 2 x y x x y
2 2 2u 2u 1 p u uyy u uyy u u yy y 1 p y u u uxx uyy 2 2 2 2 x y x x y y y y x y
u 0 x
u u y
偏微分改变 为常微分
p 0 y
p px
d 2 u 1 dp 2 dx dy
y x 左边应为y的函数，右边应为 x的函数 两边相等的条件两边均为常数
dp c dx
d 2u 1 dp 2 dy dx
压力沿x轴线性变化
du d u 1 dp y c1 当y o时， 0, 则c1＝0 dy dy dx
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u=0, 在 x 轴上，速度为最大。
y2 u u max 1 H 2
可见速度分布为抛物线规律，这是层流的重要性质。
一
平行流动
Couette流（库埃特流动）
Poiseuille流动（泊肃叶流动）
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平行流动分析：
u x u y u z 0 x y z
2 2 2 x y z x x y z t 2 2 则 u u ux 1 p x x 2 2 2 X u 2 2 u u u u u uy y t y 1 p y y y y y x z （ ux uy uz Y ) 2 2 2 y z 2 2y x y z t u x u 1 p u X 2 (1 ) 2 2 2 2 u u u u u u uz 1 p t z u z xu z y Z z z z z u （ 2 2 2 ) x y z t x y z z x y z 它是u的线性二阶偏微分方程。
单位宽度流量
2b3 dp q V 2b 3 dx
20
2.圆管层流流动:
采用圆柱坐标
u 0 ur 0 u u x u r ,
柱坐标下的N-S方程、连续性方程
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2 ur ur u ur ur u ur ux r r x r t 1 p 2ur 1 2ur 2ur 1 ur 2 u ur 2 2 2 2 2 2 r r r x r r r r u u u u u u ur ur ux r r x r t 2 2 2 u u u 1 u 2 ur u 1 p 1 2 2 2 2 2 2 r r r x r r r r u x u u x u u x u u x r x t r r x 2 2 2 u u u x 1 u x 1 p 1 x x x r 2 r 2 2 x 2 r r ur ur 1 u u x 0 r r r x
u y y y P 1 U h h h
1
1、当 P=0 ， dp 0 ， u y ，速度分布线性称 dx U h 为简单Couette流。
dp 2 、当 P>0 ， 0 dx 整个流速为正。
，顺压强沿流向逐渐降低 ,
15
3.当P<0
u y y y P 1 U h h h
(2)
(3)
12
dp 与y有关,与x无关 dx
dp d 2u 2 dx dy
(2)
p dp 由N S方程， 0, p与y无关， 与x有关。 则 为常数。 y dx
于是积分（2）式可求
y h 2 dp y y u U 1 h 2 dx h h
Uh h3 dp Q udy 0 2 12 dx
典型问题N-S方程的精确解
2018/12/18
1
N-S方程的精确解
一 .平行流动（ Parallel 二. Stokes 流动问题讨论 Flow ）
三. 重力作用下的平行流动
四 . 五. 小雷诺数流动 圆管内非定常流动
六. 润滑理论
2018/12/18
2
当密度为常数时，N-S方程为：
dui 2ui p f i dt xi x j x j
h
(4)
(5)
h 2 dp （4）式无量纲化，令 P ，则 2U dx
13
h 2 dp P 2U dx
u y y y P 1 U h h h
dp 0， 顺压 dx dp 0 逆压 dx
(6)
当P 0, 当P 0,
有可能回流。
14
h 2 dp P 2U dx
(1)
u y y y y 2 P 1, 1 u y U h h h h
2
切.
y du 为一抛物线， y 0 处， 速度曲线与y相 2 y 0 h dy
16
h 2 dp P 1 2U dx
c
p p 2 p x 2 2 p 0 u u y , z 与 x 无关。 u u u u u u ux 1 p x x x x x y x x z ux uy uz X （ )
u x 0 u x 0 ， u y uz 0 时， ， x
其中X, Y, Z 是单位质量流体受的质量力。
3
由于非线性项的存在，在数学上求解困难， 只有在它为零时，才可以求得精确解。 可解的情况： 1.Re很小的极慢流动：惯性项与粘性项对比 很小，可以不计，方程变成线性。
2. Re很大，此时，ν只影响近边界处的流动， 称之为边界层，边界层内流动的简化求解，边 界层外的流动忽略粘性，按理想流动处理。
11
一．Couette流 （库埃特流动）
即平板平行流动
p 0 设 x u x
流动恒定
u
2 2 u 1 p u X 2 2 y t x z
t
0 ，Z方向不变.
(1)
则（1）式变成 边界条件：
dp d 2u 2 dx dy y 0, u 0 y h, u U
h
当P=-3时，Q=0，逆压梯度对流量的作用与上板拖动所 形成的流量已达平衡。当P‹-3则逆压梯度对流量的作用更强， 使流量变为负值。
18
二．Poiseuille流动（泊肃叶流动）
定义：由压强梯度推动的管、槽中的流动称为泊肃叶流动。
1. 二维槽流 方程：dp d 2u 2 dx dy
(1)
坐标选取如图 边界条件：
8
d u 1 dp y c1 dy dx
1 dp 2 u y c2 2 dx
d u 1 dp y dy dx
当y H时，u 0, 1 dp 2 则c2＝ H 2 dx
y x
1 dp 2 u H y2 2 dx
静止平板的边界条件：y= H , y=0,
3.数值求解
4
二维平板间粘性流体的流动
假设： 假定不可压缩粘性 流体流过宽为2H的 二元不计 （3）流动为层流
y
x
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2u x 2u x 2u x u x u x u x u x 1p X u u u x y z x 2 y 2 z 2 t x x y z 2u y 2u y 2u y u y u y u y u y 1p Y ux uy uz 2 2 2 y x y z t x y z 2u z 2u z 2u z 1p Z 2 2 2 z x y z 对于二维流动 2u x 2u x u x u x 1p ux uy 2 2 x y x y x 2 2 u uy u y u y 1p y ux uy 2 2 y x y x y u x u y 0 x y
dp 2U 2 0 dx h
逆压梯度不产生回流的 极限梯度值 。
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(2)
P 1,
dp 2U 2 dx h
逆压梯度超过极限梯度 值
在下板附近流速是 负值 , 将产生回流。这说 明上板面对流体的拖动不 足以克服逆压梯度对流动 的影响.如P=-2,-3
Uh h3 dp Uh hU h 2 dp Uh hU Q udy P 0 2 12 dx 2 6 2U dx 2 6
y
x
u x u y 0 x y
u 0 x
u u y
p 0 y
ux u ，
层 流`
uy 0
压强仅为x的函数，而与y 无关。即沿x轴取不同横截 面上的压力分布是均匀的， 但不同截面具有不同的压 力。
7
p px
2u x 2u x u x u x 1 p ux uy 2 2 x y x x y
（2）
y b, u 0 y b, u 0
(2)
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1 dp 2 2 u b y 积分（1），利用（2）得 2 dx
断面上最大速度
u max
平均流速
1 dp 2 b 2 dp b 2 dx 2 dx
1 b b 2 dp V udy b 2b 3 dx
u x u x u x u x 2u x 2u x 2u x 1 p ux uy uz X （ ) 2 2 2 x y z x x y z t 2 2 2 u y u y u y u u uy u y 1 p y y ux uy uz Y （ ) 2 2 2 x y z y x y z t 2 2 2 u u u u u u uz 1 p z z z z z z u uy uz Z （ ) x 2 2 2 t x y z z x y z