广东省深圳市宝安区高三数学上学期调研测试试题文新人教A版

数学（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合},2,1,0,1,2{},1|1||{--=>+=B x x A 则=B A C R )( ( ).
A. }2{-
B. }1,2{-
C. }1,0{
D. }0,1,2{-- 2.下列函数中，既是偶函数又在区间),0(+∞上是单调递减函数的是（ ）.
A. x x f 1)(=
B. 1)(2
+-=x x f C. |2
1|)(x x f = D. ||lg )(x x f =
3.设i 是虚数单位，若复数i
ai --310
是实数，则a 的值为（ ）.
A.3-
B. 1-
C. 3
D. 1
4.等差数列}{n a 中，,26,2491321=-=++a a a a 则此数列}{n a 前20项和等于（ ）. A.220 B. 200 C. 180 D. 160
5.已知向量),,2(),,1(m b m a =-=若1=⋅，则实数=m （ ）.
A. ,1或1-
B. 1-
C. 0
D. 2-
6.若点(,)x y 位于曲线2||y x =与2y =所围成的封闭区域，则2x y -的最小值为（ ）. A.4- B.6- C. 0 D. 1
7.将函数)3
2cos(2π
+
=x y 的图像向右平移)0(>m m 个单位长度后，所得到的图像关于
y 轴对称，则y x -2的最小值为（ ）.
A. 2π
B. 3π
C. 6
π
D. 12π
8.椭圆)0(122
>=+m m y x 的离心率大于2
1的充分必要条件是（ ）
A. 41<m
B. 3443<<m
C. 4
3
>m
D. 340<<m ,或4
3>m 9.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入m 的值为2，则输出的结果为=i （ ）.
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10.给出下列关于互不相同的直线n l m ,,和平面βα,的四个命题：
①若,,A l m =⊂αα 点m A ∉，则l 与m 不共面；
②若l m ,是异面直线，αα//,//m l ，且m n l m ⊥⊥,，则α⊥n ；
③若βαβα//,//,//m l ，则m l //；
④若,//,//,,,ββααm l A m l m l =⊂⊂ ，则βα//. 其中为假命题的是（ ）.
A. ①
B. ②
C.④
D. ③
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分 (一)必做题（9—13题）
11.右图中的三个直角三角形是一个体积为20cm 3
的几何体的三视图， 则h=______cm.
12.据统计，高三年级男生人数占该年级学生人数60％.
男、女生数学平均分数分别为
115,120，则这次考试该年级学生平均分数为_________.
13.设常数0>a ，若192
+≥+a x
a x 对一切正实数x 成立，则 a 的取值范围为_________.
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图，在Rt ABC 中，
90,30,C A ∠=∠=圆O 经过B 、C ，且与AB 、AC
分别相交于C 、D 。

若AE=EC=则圆O 的半径r=________. 15.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中， 直线l 的参数方程为3,
3x t y t
=+⎧⎨
=-⎩（参数)t ∈R ,圆的参数
方程为2cos ,(2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩
（参数[0,2π)),θ∈则圆心
到直线l 的距离为为_______.
三、解答题：本题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.本小题12分）
已知函数()2sin cos cos 2,.f x x x x x =+∈R
（1)当x 为何值时，()f x 取得最大值，并求出其最大值； （2）若0,()483f π
πθθ<<
-=求sin(2)6
πθ-的值. 17.（本小题12分）
随着工业化的发展，环境污染愈来愈严重.某市环保部门随机抽取60名市民对本市空气质量满意度打分，把数据分[40,50）,[50,60）, …,[90,100]六段后得到如下频率分布表：
分组 频数 频率
[40,50） 6 0.10 [50,60） 9 0.15 [60, 70） 9 0.15 [70,80） z x [80,90） y 0.25 [90, 100] 3 0.05 合计
60
1.00
(1)求表中数据,,x y z 的值；
（2）用分层抽样的方法在分数[60,80）的市民中抽取容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取1人在分数段[70,80）的概率. 18. （本小题14分）
在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB,AE ⊥EB,AD//EF,
EF//BC,BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G 是BC 的中点. (1)求证：AB//平面DEG ； （2）求证：BD ⊥EG ；
(3)求三棱锥A-BED 的体积. 19.（本小题14分） 侧视图
俯视图
正视图
cm)
A D F E
E D
C
B
A
O
•
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
1
22n n S -=-， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21222log log log ,n n T a a a =++
+求证：
12
111
2(,2)n
n n T T T +++
>-∈≥*N 20. （本小题14分）
已知点(0,1),F 直线:1,l y P =-为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且
QP QF FP FQ ⋅=⋅.
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）,A B 是轨迹M 上异于坐标原点O 的不同两点，轨迹M 在点,A B 处的切线分别为12,l l ，
且12l l ⊥，
12,l l 相交于点D ，求点D 的纵坐标.
21．（本小题14分）
已知函数2
1()(21)2ln 2
f x ax a x x =-++. (1)若曲线()y f x =在1x =和4x =处的切线相互平行，求a 的值； （2）试讨论()y f x =的单调性；
（3）设2
()2,g x x x =-对任意的1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()(),f x g x <试求实数a 的取值范围.
2013-2014年深圳市宝安区高三调研考试数学文科 答案 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答
D
B
D
C
A
A
C
D
B
D
案
11、4 12、117
分 13、1[,+)5
∞ 14、7 15、22 16解：
（2）由2()83f π
θ-
=
22-)+]=843ππθ，化简得1sin 2=3
θ
又由04πθ<<得，2
20πθ<<，故3222sin 12cos 2
=-=θθ
sin(2)6π
θ-=6
2236sin 2cos 6cos 2sin -=
-πθπθ(12分) 17、解：
（1）x=1-0.1-0.15-0.15-0.25-0.05=0.3 z=60x=18
y=600.25=15⨯
(2)∵[60，70）共9人，[70,80)共18人.
∴分层所抽取的6人中[60，70）的2人，[70,80)的4人，分别编号a,b,1,2,3,4 设事件A 为“从中任取2人，至多有1人在分数段[70,80)”。

∵从6人中任取两人的基本事件有15种：（ab ）（a1）（a2）（a3）（a4）（b1）（b2）（b3）
（b4）（12）（13）（14）（23）（24）（34） 至多有1人在分数段[70,80)的基本事件有9种：（ab ）（a1）（a2）（a3）（a4）（b1）（b2）
（b3）（b4） ∴5
3
159)(==
A p 18、 （Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC． 又∵BC=2AD，G 是BC 的中点，∴AD//BG ，
∴四边形ADGB 是平行四边形，∴AB∥DG． （4分） ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴AB∥平面DEG ．
（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB ，EF ⊂平面BCFE ，∴AE⊥平面BCFE ． 过D 作DH∥AE 交EF 于H ，则DH⊥平面BCFE ． ∵EG ⊂平面BCFE ，∴DH⊥EG． ∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD 平行四边形，∴EH=AD=2， ∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE， ∴四边形BGHE 为正方形，∴BH⊥EG，
又BH∩DH=H，BH ⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ，∴EG⊥平面BHD ． ∵BD ⊂平面BHD ，∴BD⊥EG．（10分）
（3）∵EF ⊥平面AEB ,EF//AD,∴AD⊥平面AEB ,故三棱锥A-BED 的高为AD
∵AE EB ⊥,∴S △AEB =
EB AE *21=2222
1
=⨯⨯ A D
F
E
B G C
∴BED A V -=
*AD 31 S △AEB =3
4
2231=⨯⨯（14分） 【19】、解：解：（1）当1=n 时，111==S a ．…………2分
当2≥n 时，12112
1
)212()212(----=---=-=n n n n n n S S a ，此式对1=n 也成立．
12
1
-=∴n n a )(*N n ∈．…………5分
（2）证明：设2log n n b a =，则12log 21n
n b n -==-．…………………………………（7
分）
所以{}n b 是首项为0，公差为1-的等差数列．
(1)(1)2n n n T -=
-=(1)
-2
n n n T -= …………………………（10分） 23111222(n N ,n 2)1223
(n 1)n 11
111112()()(
)21212
231n T T T n n n *
⎛⎫∴++=-++∈≥ ⎪⋅⋅-⋅⎝⎭⎡⎤⎛⎫
=--+-+
+-=-->- ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭
【20】解：
（1）解：设(),P x y ，则(),1Q x -，∵QP QF FP FQ ⋅=⋅，
即()()()()0,1,2,1,2y x x y x +⋅-=-⋅-． 即()()2
2121y x y +=--，即2
4x y =，
所以动点P 的轨迹M 的方程2
4x y =． ……………4分 (2) 解法一:设点A 、B 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ， ∵ 1l 、2l 分别是抛物线C 在点A 、B 处的切线， ∴直线1l 的斜率1'
112
x x x k y ===
，直线2l 的斜率2'
2
22
x x x k y ===
. …………6分
∵ 12l l ⊥,
∴ 121k k =-, 得124x x =-. ① …………8分 ∵A 、B 是抛物线C 上的点,
∴ 22
12
12,.44
x x y y == ………10分 ∴ 直线1l 的方程为()211
142
x x y x x -=-,直线2l 的方程为()222242x x
y x x -=-. …………12分
由()()21112
222,42,
42
x x y x x x x y x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 解得12,22 1.2x x x y +⎧
=⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩
∴点D 的纵坐标为1-. ………… 14分
【21】解:函数f （x ）定义域为(0,)+∞
(1)∵函数2
1f (x)(2a 1)x 2lnx (a R)2
ax =
-++∈
2
(x)(2a 1)(x 0)f ax x
'∴=-++>
依题意，f (1)=f (4)''，即a-(2a+1)+2=14-(2a+1)+
2a ,解得1
=2
a (4分)
（9分）
(3) 由已知，在(0,2]上有f (x )max ＜g (x )max . 由已知，g (x )max ＝0，由(2)可知，
①当a ≤1
2
时，f (x )在(0,2]上单调递增，
故f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln2 ＝－2a －2＋2ln2，
∴－2a －2＋2ln2＜0，解得a ＞ln2－1，ln2－1＜0，故ln2－1＜a ≤1
2.
②当a ＞12时，f (x )在⎝ ⎛
0，
1
a
]上单调递增，在]上单调递减，
故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＝－2－12a －2ln a .
由a ＞12可知ln a ＞ln 12＞ln 1
e
＝－1,2ln a ＞－2，－2ln a ＜2，
∴－2－2l n a ＜0，即f (x )max ＜0，符合题意。

综上所述，a ＞ln2－1.（14分）。