+2023-2024学年人教版八年级数学上册11

画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条
角平分线，这三条角平分线有什么特征？
A
A
A
F
EF
EF
E
B
D
CB D C B D
C
三角形的三条角平分线相交于一点．
练习
课本 第5页 练习 第2（2）题
5、如图，AD、BE、CF分别是△ABC的三条角平分线，则
（1）∠1＝ ∠2 ；
（2）∠3＝ 1
2
∠ABC ；
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
3
1
1
高之间是否相交
相交
相交
不相交
高所在的直线是否相交 相交
相交
相交
三条高所在直线的交点位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部
练习
1、在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是（ B
A
A
D
A
B
）．
B
C
DB
C
A
A
方法C ：三角形任意一边上的高必须D满足：
G
C
D
B
练习 4、在△ABC中，AC=5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周
长比△ADC 的周长大2cm，则AB=_7_c_m____. A
B
D
C
三角形的角平分线
准备一个三角形纸片ABC ，按图所示的方法折叠， 展开后，折痕BD 把∠ABC 分成∠1和∠2 两个角．∠1和∠2 有 什么关系？
如图，在△ABC中，AD⊥BC ，
点D是垂足，则 AD 是△ABC的边
BC上的高，此时∠ADB = ∠ADC = 90．°
注意： 标明垂直的记号和垂足的字母.
三角形的高
画出一个锐角三角形，并且画出这个三角形的三条
高．这三条高之间有怎样的位置关系？
锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形
A
F E
的三角形的内部交于一点．
三角形的高
画出一个直角三角形，并且画出这个三角形的三条
高．这三条高是否有类似的关系？
A
直角边BC边上的高是 AB ； 直角边AB边上的高是 BC ； 斜边AC边上的高是 BD .
直角三角形的三条高交于直角顶点．
D
B
C
三角形的高
画出一个锐角三角形，并且画出这个三角形的三条
人教版数学八年级上册
第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.2 三角形的高、中线
与角平分线
复习引入 回顾 什么是垂线？线段中点？角平分线？
B
垂线：当两条直线相交 所成的四个角中，有一 个角是直角时，就说这 两条直线互相垂直，其 中一条直线叫做另一条 直线的垂线．
A
B
线段中点：把一条线 段分成两条相等的线 段的点．
C
课堂小结
重要线段
概念
三角形 的高
从三角形的一个顶点向它 对边所在的直线作垂线,顶 点和垂足之间的线段．
三角形 三角形中,连结一个顶点和 的中线 它对边中的线段．
三角形 的角平 分线
三角形一个内角的平分线 与它的对边相交,这个角顶 点与交点之间的线段．
图形
性质
三角形的三条高所 在直线交于一点．
三角形的三条中线交 于一点（重心）； 每一条中线平分三角 形的面积．
B
D
C
提高练习
8、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，
AC=8，AB=10，BC=6，则CD的长是
24 5
．
C
方法：可利用面积相等作桥梁求三角A形的高，此解题D方法通 B 常称为“面积法”．
提高练习
变式：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，
BC=6，点D是AB边上任意一点，连接CD，则线段CD的最小值
A
A
D
D
1
2
B
CB
AC B
C
1 2 ，BD平分∠ABC
三角形的角平分线
三角形的角平分线 在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的
顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
如图，AD是△ABC的角平分线，
则 ∠BAD=∠CAD=
1 2
∠BAC
．
注意： 三角形的角平分线是一条线段．
三角形的角平分线
（3）∠ACB＝2 ∠4
．
练习
课本 第8页 习题11.1 第4题
6、如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，
AF是高．填空：
（1）BE= CE
=
1 2
BC ；
A
（2）∠BAD= ∠CAD = 12∠BAC；
（3）∠AFB= ∠AFC =90°； B
（4）S△ABC= BC•AF .
E DF
24
是5
．
C
A
D
B
提高练习 9、如图，在△ABC 中，CD 是中线，已知 BC - AC = 5 cm，
△DBC 的周长为 25 cm，则△ADC 的周长是 20 cm .
A
D
B
C
提高练习
10、如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，
CE中点，且△ABC的面积等于4 cm2，则阴影部分图形面积等
O
A
角平分线：一条射线 把一个角分成两个相 等的角，这条射线叫 做这个角的平分线．
三角形的高
你单 击还此记处 添得加 副“标 题过一点画已知直线的垂线”吗?
A
放、靠、过、画. B
过三角形的一个顶点,你能画出它的对边的垂线吗?
三角形的高 三角形的高
从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线做垂线，顶 点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
如图，在△ABC中，点D是BC的
中点，则 AD 是△ABC的边BC上的
中线，此时 BD = CD
．
三角形的中线
如图，在△ABC中，还能画出几条中线呢？你发现
了什么特征？
A
三角形有3条中线．
F
E
锐角三角形的三条中线在三角形
的内部交于一点．
B
D
C
三角形的中线
画出直角三角形和钝角三角形的三条中线，这三条 中线是否有类似的关系？
高．这三条高是否有类似的关系？
AB边上的高是 CD ；
A F
BC边上的高是 AE ；
AC边上的高是 BF .
EB
C
钝角三角形的三条高所在的直线
D
在三角形外交于一点．
O
三角形的高
1、一个三角形有3个顶点，所以有3条高；
2、三角形的三条高所在直线交于一点．
A
A
F
E
D
B
D CB
C
三角形的高 三角形的高的特征：
于 1 cm2
.
A
E F
B
D
C
提高练习
11、已知△ABC中，AC=30cm，中线AD把△ABC分成两个三
角形，这两个三角形的周长差是 12 cm，则AB的长是
__4_2_c__m__或__1_8__c_m__．
A
B
D
C
三角形的三条角平 分线相交于一点．
提高练习
7、如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交
AC于E．F 为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有
（C ）
A．AD是△ABE的角平分线 B．BE是△ABD边AD上的中线
A
12
E G
C．CH为△ACD边AD上的高
F H
D．AH为△ABC的角平分线
A
A
F
E
E F
BDC
B
D
C
三角形的中线
1、三角形的三条中线在三角形内部交于一点； 2、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
A
F
E
B
D
C
三角形的中线
如图，在△ABC 中，AD 是△ABC的中线．试判断
△ABD 和△ACD 的面积有什么关系？
A
过点A作AE⊥BC于点E
S△ABD
1 2
BD
AE
S△ACD
1 2
CD
AE
S△ABD S△ACD
B
DE C
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
练习
3、如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线．
（1）AC = 2 AE = 2 EC； A
CD = BD ；
1
AF = 2 AB；
（2）若S△ABC = 12 cm2，
E
F
则S△ABD= 6 cm²．
（1）过该B边所D对的顶点；C
D
B
C
（2）垂足必须在该边或在该边的延长线上．
练习
2、如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，
那么这个三角形是（ C ）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不能确定
三角形的中线
三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三
角形的中线．