2020-2021学年安徽省池州市高一上学期期末数学试题及答案

2020-2021学年安徽省池州市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．下列元素与集合的关系表示不正确的是（ ） A ．0N ∈ B ．0Z ∈
C ．
3
2
Q ∈ D ．Q π∈
答案：D
根据元素与集合的关系直接判断即可.
解：根据元素与集合的关系可得0N ∈，0Z ∈，3
2
Q ∈，Q π∉，故D 不正确，符合题意. 故选：D.
2．“0ab <”是的“2
2a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭
”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案：A
根据充分不必要条件的定义结合举反例可以得到答案.
解：当0ab <时，因为202a b +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以2
2a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭
一定成立，所以是充分的； 当2,1a b ==时，2
2a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭成立，而210⨯>，不一定0ab <，所以不是必要的． 综上所述，“0ab <”是的“2
2a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭
”的充分不必要条件.
故选：A.
点评：结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含. 3．已知全集为U ，集合{2,0,1,2},{|20}A B x x =-=-，集合A 和集合B 的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（ ）
A ．(2,0)-
B ．[1,0]-
C ．{1,0}-
D ．{12,1,2}-
答案：A
图中阴影部分是表示不在集合A 中，但在集合B 中的元素.
解：图中阴影部分是表示不在集合A 中，但在集合B 中的元素，根据题意，20x -<<， 故选：A
4．已知22
4124P a a Q b b =++=-+-，，则（ ） A ．P Q > B ．P Q < C ．P Q D ．P Q
答案：C
作差后配方可得答案.
解：因为2
2
2
2
425(2)(1)0P Q a b a b a b -=++-+=+-≥+， 所以0P Q -，当且仅当2a =-，1b =时取等号， 故选：C ．
5．已知角α顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点(1,3P --在终边上，则
sin 3πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．0
B ．1
2
-
C ．3
D ．1-
答案：C
利用三角函数的定义可求得sin α、cos α的值，再利用两角和的正弦公式可求得
sin 3πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
解
：
由
三
角
函
数
的
定
义
易
得
()
()
2
2
3
3
sin 13
α-=
=-+-,()()
2
2
1
cos 213
α==-
-+-，
则1
sin sin cos 3222
πααα⎛⎫+=+=- ⎪
⎝
⎭， 故选：C ． 6．设0.3
562
,log 0.2,log 7a b c -===，则（ ）
A ．a b c >>
B ．c b a >>
C ．a c b >>
D ．c a b >>
答案：D
利用指数函数和对数函数的单调性求解. 解：因为0.3
56log 0.20,021,1log 7b a c -=<<=<<=，
所以c a b >>， 故选：D
7．已知幂函数()(1)n
f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取
值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(,1)-∞ D ．(1,)+∞
答案：C
先根据题意得幂函数解析式为3
()f x x =，再根据函数的单调性解不等式即可得答案. 解：解：因为幂函数()(1)n
f x a x =-的图像过点(2,8)，
所以1128
n a -=⎧⎨=⎩，所以23a n =⎧⎨=⎩，所以3
()f x x =，
由于函数3
()f x x =在R 上单调递增，
所以(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-，解得：1b <． 故b 的取值范围是(,1)-∞. 故选：C.
点评：本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为1待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.
8．已知函数x
y a =的图象如图，则()()log 1a f x x =-+的图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：D
由指数函数图象求出参数a 的值，从而得到()f x 的解析式，再利用特殊值即可判断； 解：由x
y a =的图象可知，函数过点()1,3
所以13a =，即3a =，所以3()log (1)f x x =-+，所以()00f =，排除A 、B ，(2)1f -=，排除C ， 故选：D.
9．下列不等式中，正确的是（ ） A ．若a b <，则22a b <
B ．若a b >，则ac bc >
C ．若0,0,0a b c d e f >>>>>>，则ace bdf > D
．
若
0,0a b c d e f >>>>>>，则
a b c
d e f
>>
答案：C
举出反例可以判断ABD ，由不等式的性质可以判断C. 解：对于A ， 若3,2a b =-=，则22a b >，错误； 对于B ， 若0c
，则ac bc =，错误；
对于C ， 若0,0,0a b c d e f >>>>>>，由不等式的基本性质可得ace bdf >，正确；
对于D ，若3,2,1,3,2,1a b c d e f ======，则1a b c
d e f
===，错误. 故选：C.
10．若202020211a b =>，则（ ） A ．0b a << B ．0a b << C ．0a b << D ．0b a <<
答案：A
依题意在同一坐标系内分别作出2020x
y =以及2021x
y =的图象，数形结合即可判断；
解：解：在同一坐标系内分别作出2020x
y =以及2021x
y =的图象，因为
202020211a b =>，所以0b a <<．
故选：A
11．若函数(
2
()ln 1f x x x x
=++，则(
)
2
21(4)0f x f x -+的解集为（ ）
A ．{37}x x -∣
B ．{73}x x -∣
C ．{3x x ∣或7}x -
D ．{7x
x ∣或3}x -
答案：B
判断函数()f x 的奇偶性得()f x 为奇函数，再研究函数的单调性得
(
()ln f x x x =+在R 上单调递增，进而根据函数奇偶性与单调性解不等式
即可得答案.
解：()f x 的定义域为R ，
(
()ln ln f x x x x x ⎡-=-+-=-+-⎣
(
ln
ln ()x x x f x =-+=--+=-，
所以()f x 为奇函数．
当0x ≥时，由于函数ln ,y t t x ==故由复合函数的单调性得函
数(
ln y x =单调递增，
另一方面，y x =单调递增，
所以(()ln f x x x =+在[0,)+∞上单调递增， 因为()f x 的图像是连续的且()f x 为奇函数，
所以(
()ln f x x x =+在R 上单调递增，
所
以
()()()22221(4)021(4)21(4)f x f x f x f x f x f x -+≤⇔-≤-⇔-≤-2214x x ⇔-≤-⇔2421073x x x +-≤⇔-≤≤.
故选：B ．
点评：本题考查利用函数奇偶性与单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于判断函数的奇偶性与单调性，进而利用函数的奇偶性与单调性解不等式.
12．当5,2,
2
παβπ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，若αβ>，则以下不正确的是（ ） A ．sin sin tan tan αββα->-
B ．cos tan cos tan αββα+<+
C ．sin tan sin tan αβ
βα
> D ．tan sin tan sin αββα<
答案：D
对A ，由()sin tan f x x x =+在52,
2
ππ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增可判断；
对B ，由()cos tan f x x x =-
在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减可判断；对C ，由()sin tan f x x x =在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递增可
判断；对D ，由tan ()sin x f x x =
在52,
2ππ⎛
⎫
⎪⎝
⎭上单调递增可判断. 解：A ．设()sin tan f x x x =+，则()f x 在52,
2ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增， 因为αβ>，所以()()f αf β>，所以sin tan sin tan ααββ+>+，所以
sin sin tan tan αββα->-，所以A 对，不符合题意；
B ．设()cos tan f x x x =-，则()f x 在52,2ππ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减，
因为αβ>，所以()()f f αβ<，所以cos tan cos tan ααββ-<-， 所以cos tan cos tan αββα+<+，所以B 对，不符合题意；
C ．设()sin tan f x x x =，因为sin ,tan x x 在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭都为正数，且都单调递增，
所以()sin tan f x x x =在52,
2
ππ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增， 因为αβ>，所以()()f αf β>， 所以sin tan sin tan ααββ>，所以
sin tan sin tan αβ
βα
>，所以C 对，不符合题意； D ．设tan ()sin x f x x =
，则tan 1()sin cos x f x x x ==在52,
2ππ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增， 因为αβ>，所以()()f αf β>，所以
tan tan sin sin αβ
αβ
>， 所以tan sin tan sin αββα>，所以D 错，符合题意． 故选：D.
点评：本题考查利用三角函数的单调性比较大小，解题的关键是恰当构造函数，判断函数的单调性，利用单调性判断大小. 二、填空题
13．已知函数7
12mt y -⎛⎫= ⎪⎝⎭
（m 为常数），当4t =时，64y =，若1
2
y
，则t 的取值范
围为__________． 答案：[32,)+∞
由解析式,把(4,64)代入,求出m,得到解析式,解不等式即可.
解：由7
12mt y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，把4,64t y ==代入，可得47
1642m -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，解得
174
11,42t m y -⎛⎫=∴= ⎪
⎝⎭
，
由1
74
1122
t -⎛⎫
⎪⎝⎭
，得1714t -，即32t ．
故答案为: [32,)+∞
点评：解指、对数型的不等式，通常化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式.
14．已知10,3
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，则函数()g x x =+_________． 答案：1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
令t =213t x -=，将函数变形为21
,[0,1]33
t y t t =-++∈，利用二次函数
的性质计算可得；
解：解：因为10,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以[]130,1x -∈，所以[0,1]，令t =则[0,1]t ∈，
所以213t x -=，所以2211
,[0,1]333
t t y t t t -=+=-++∈，
因为抛物线的对称轴方程为32t =，所以[0,1]t ∈时，函数21
33
t y t =-++单调递增，
所以1,13y ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
．
故答案为：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
15．已知,tan tan 33
π
αβαβ+=
+=，则cos()αβ-=_____________．
答案：
3
6
根据tan tan 3αβ+=可求cos cos αβ=
，由和的余弦公式求出
1
sin sin 2
αβ=
-，即可由差的余弦公式求出所求. 解：因为sin sin sin()tan tan 3cos cos cos cos αβαβαβαβαβ++=
+==，且3
π
αβ+=，
所以1cos cos ,cos()cos cos sin sin 62
αβαβαβαβ=
+=-=，
所以1
sin sin 2
αβ=
，所3cos()cos cos sin sin 6αβαβαβ-=+=
．
16．已知函数()f x 的定义域为R ，在(,0)-∞上单调，且为奇函数．若
(3)2(1)2f f -=--=，，则满足2(1)2f x -≤-≤的x 的取值范围是_________．
答案：[2,0][2,4]{1}-⋃⋃
由题可判断()f x 在(,0)(0,)-∞∞,上单调递增，由不等式可得113x ≤-≤或10x -=或
311x -≤-≤-，解出即可.
解：因为函数()f x 为奇函数，(3)2,(1)2,(0)0f f f -=--==
所以(3)2,(1)2f f ==-，()f x ∴在(,0)(0,)-∞∞,
上单调递增， 则由2(1)2f x -≤-≤可得113x ≤-≤或10x -=或311x -≤-≤-， 所以20x -≤≤或1x =或24x ≤≤． 故答案为：[2,0][2,4]{1}-⋃⋃. 三、解答题
17．设()x
f x a =（0a >，且1a ≠），其图象经过点12⎛ ⎝，又()
g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称．
（1）若(2)4,()25f m f n ==，求2m n +的值；
（2）若()g x 在区间c ⎤⎦上的值域为[],m n ，且3
2n m -=，求c 的值．
答案：（1）22m n += ；（2）100c = ．
（1）由图象经过点可得解析式，代入(2),()f m f n 再做指数运算可得答案； （2）根据已知求出()g x ，由单调性及定义域可得值域，再利用值域相等可得答案.
解：（1）因为()x f x a =（0a >，且1a ≠）的图象经过点12⎛ ⎝， 1
2a =，所以10a =，所以()10x
f x =，
因为(2)4,()25f m f n ==，所以2104,1025m n
==，
所以21010100m n ⋅=，所以221010m n +=， 所以22m n +=；
（2）因为()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称，所以()()lg 0g x x x =>，且为增函数，
所以()g x 在区间c ⎤⎦上的值域为[,]c m n ⎡⎤=⎣⎦，
因为32n m -=
，所以3
lg 2
c -=，所以lg 2c =， 所以100c =．
点评：本题考查了指数函数、对数函数的性质，关键点是求出指数函数的解析式，考查了学生对数指数的基本运算，属于基础题.
18．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象相邻两个零点差的绝对值为4
π． （1）若()sin()f x A x ωϕ=+，分别求,A ω；
（2）将()f x 的图象上的所有点的横坐标变为原来的4倍，再将图象向右平移6
π
得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的单调递增区间． 答案：（1）2A =，4ω= ；（2）单调递增区间为22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
． （1）化简可得()2sin 3f x x πω⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则可求出2A =，由题可得2
T π
=
，即可求出
4ω=；
（2）可得()2sin 6g x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，令22()2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+
+
∈可求出单调递
增区间.
解：（1）()2sin 3f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，所以2A =， 因为()f x 的相邻两个零点差的绝对值为
4
π，则24T π=，即2T π=，
所以
24
π
π
ω
=
，所以4ω=；
（2）由（1）得，()2sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以
()2sin 6g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭， 令22()2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+
+
∈，即2223
3
k x k π
π
ππ-
+
时，
函数()g x 单调递增，
所以函数()g x 的单调递增区间为22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
． 19．设32
:
1,:|1|(0)23
x p q x a a x --<>-．
（1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围． 答案：（1）(2,)+∞ ；（2）10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
．
设命题p 、q 对应的集合分别为A 、B ，化简集合A ，B ，
（1）由题意可得A B ，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围；
（2）由题意可得A ⊇B ，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.
解：设32|
123x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，所以3|12A x x ⎧
⎫
=-≤<⎨⎬⎩⎭
， 设{}||1|B x x a =-<，所以{}|11B x a x a =-<<+，
（1）因为p 是q 的充分不必要条件，所以31,2⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
(1,1)a a -+，
即11312a a -<-⎧⎪⎨+≥⎪⎩，所以实数a 的取值范围为(2,)+∞；
（2）因为p 是q 的必要条件，所以31,(1,1)2a a ⎡⎫
-⊇-+⎪⎢⎣⎭
，
即11312a a -≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩
，所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．
点评：方法点睛：充分不必要条件可根据如下规则转化：
（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对应集合与p 对应集合互不包含．
20．设2
9()2()8f x x mx m m R ⎛⎫
=+--
∈ ⎪⎝⎭
． （1）解不等式()0f x <；
（2）已知存在1212,,x x R x x ∈<，满足()()120f x f x ==，证明：当211x x -时，()f x 的图象与x 轴围成封闭区域的面积大于
1
4
． 答案：（1）答案不唯一，具体见解析 ；（2）证明见解析 ． （1）讨论0∆≤和0∆>两种情况求解； （2
）可得2112
x x -=
≥，即4∆≥，设()f x 的图象与x 轴分别交于,,()A B f x 图象的顶点为C ，则ABC
S S
>，可得32
32
ABC
S
∆=
，即可证明. 解：（1）令2
2
98898m m m m ⎛
⎫∆=+-
=+- ⎪⎝⎭
， 当且仅当2890m m ∆=+-，即91m -时，不等式()0f x <解集为空集； 当且仅当2890m m ∆=+->，即9m <-或1m 时，不等式()0f x <的解集为
44m m x x ⎧--+⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭
∣；
（2）因为存在1212,,x x R x x ∈<，满足()()120f x f x ==，且211x x -≥， 所以
2112
x x -=
=
≥，所以4∆≥， 设()f x 的图象与x 轴围成封闭区域的面积为S ，
设()f x 的图象与x 轴分别交于,,()A B f x 图象的顶点为C ，则ABC
S S > ，
所以(
)
3
322
211141282
2832324
S x x ∆∆∆>⋅-⋅=⋅⋅=≥=，即14S >．
点评：本题考查二次函数相关问题，解题的关键是表示出ABC 的面积，进而证明. 21．已知3
00cos 25
π
αβπα<<
<<=，，． （1）分别求cos 2sin 2sin 2
α
αα，
，的值；
（2）若1
sin()3
αβ+=
，求cos β． 答案：（1
）724cos 2,sin 2,sin 252525ααα=-
==
；
（2）4
15
- ． （1）先由30cos 25π
αα<<
=，，求出sinα，然后分别求cos 2sin 2sin 2
ααα，，的值； （2）先判断αβ+的范围，再凑角()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式即可求解． 解：（1）因为3
0,cos 25
π
αα<<
=，所以24
sin 1cos 5
αα
．所以
27cos 22cos 1,2524
sin 22sin cos ,25
sin 25αααααα=-=-
====；
（2）因为0,02
π
αβπ<<
<<，所以302
π
αβ<+<
， 因为14
sin()sin 35
αβα+=
<=，所以αβ+不可能是锐角，
所以cos()
3
αβ
+==-，
所以
4 cos cos[()]cos()cos sin()sin
15βαβααβααβα
-
=+-=+++=．
点评：利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)根据条件进行合理的拆角，如()()
2()
βαβαααβαβ
=+-=++-
，等．
22．已知2
()1,
f x mx x m R
=++∈．
（1）若函数()
f x在区间[1,1]
-上有两个不同的零点，求实数m的取值范围；
（2）若方程()0
f x=存在两个实数根为
12
,x x，且1
2
1
,2
2
x
x
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，求实数m的取值范围．答案：（1）(,2]
-∞-；（2）
21
,
94
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
．
（1）分0
m=和0
m≠，根据函数()
f x在区间[1,1]
-上有两个不同的零点，由0
1
11
2
(1)0
(1)0
m
mf
mf
∆>
⎧
⎪
⎪-<-<
⎪
⎨
⎪-
⎪
⎪⎩
求解.
（2）根据方程()0
f x=存在两个实数根为
12
,x x，且1
2
1
,2
2
x
x
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，由
12
1
x x
m
=>和0
∆可得
1
4
m
<，然后结合韦达定理，由
()2
1212
1221
1
2
x x x x
x x x x m
+
=++=
⋅
，令1
2
x
t
x
=，转化为
11
2
t
m t
=++，利用双勾函数的性质求解.
解：（1）0
m=显然不符合题意；
当0
m≠时，因为函数()
f x在区间[1,1]
-上有两个不同的零点，
所以
1
11
2
(1)0
(1)0
m
mf
mf
>
⎧
⎪
⎪-<-<
⎪
⎨
⎪-
⎪
⎪⎩
，
，
，
，
即
2
140
1
11
2
(2)0
m
m
m
m m
->
⎧
⎪
⎪-<-<
⎪
⎨
⎪
⎪
+
⎪⎩
，
，
，
，
解得2m -，
所以实数m 的取值范围为(,2]-∞-；
（2）因为方程()0f x =存在两个实数根为12,x x ，且
121,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 由121
0x x m
=
>，得0m >， 由140m =-，得14
m ， 所以104
m
<． 由韦达定理可得，121211x x m
x x m ⎧
+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩
，，
所以()2
2
1
21212
211121x x x x m x x x x m m
⎛⎫
- ⎪+⎝⎭
=++==⋅，
设12x t x =
，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 所以
11
2t m t
=++， 由双勾函数的性质可得，1
9
42
2
t t
++，当且仅当1t =时左等号成立， 当且仅当2t =或
1
2
时右等号成立， 所以194
2m ，所以21
94
m ，
所以实数m 的取值范围为21,94
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． 点评：方法点睛：在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．。