安徽省合肥市第二中学2020届高三数学上学期第二次段考试题文

安徽省合肥市第二中学2020届高三数学上学期第二次段考试题文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1、已知集合A={-1，0，1}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B等于（）
A. B. C. D. 0,
2、i为虚数单位，复数在复平面内对应的点到原点的距离为（）
A. B. C. D. 1
3、已知数列{a n}满足，则a n=（）
A. B. C. D.
4、已知则向量与的夹角为（）
A. B. C. D.
5、执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A.2
B.
C.
D.
6、函数y=的图象大致为（）
A. B.
C. D.
7、我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到
上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图
就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
( )
A. B. C. D.
8、某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）
A. 8号学生
B. 200号学生
C. 616号学生
D. 815号学生
9、设F 1，F 2分别是椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =，则椭圆E 的离心率为（ ） A. B. C. D.
10、已知直线y =x +1与曲线y =ln （x +a ）相切，则a 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C.
D.
11、已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2AB ＝6，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 12、已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足'()()0f x xf x +>
（'
()f x 是f （x ）的导函数），则不等式（x -1）f （x 2-1）＜f （x +1）的解集为（ ）
A.
B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13、函数的最小值为___________．
14、已知下表所示数据的回归直线方程为
，则实数a 的值为
15、已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=3a n +1（n ∈
），则数列{a n }的前n 项和S n =______． 16、已知点P 在抛物线上,则当点P 到点的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为
三、解答题（本大题共6小题，5*12+10共70分）
17、已知向量
（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且
，求
△ABC 的面积．
18、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，315S =-，且1241,1,1a a a +++成等比数列， 公比不为1． x 2 3 4
5 6 y 3 7 11 a 21
()I 求数列{}n a 的通项公式；
()II 设1n n b S
=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
19、上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析．现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[40，50)；第二组[50，60)；…；第六组[90，100]，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；
（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间[90，100]内的概率．
20、如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，
AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中
点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
21、已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点，椭圆C的右顶点为A．
（Ⅰ）求椭圆的C的标准方程；
（Ⅱ）已知过点的直线交椭圆C于P，Q两点，且线段PQ的中点为R，求直线AR的斜率的取值范围．
22、已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈（0，+∞）时，若f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1-12 CCBBCDACDBAD
本题考查了球的内接体与球的体积，考查运算求解能力，空间想象能力，属于中档题．
把三棱锥D-ABC扩展为三棱柱，上下底面中心E，F的连线的中点O与A的距离为球的半径，根据题中条件求出半径OA，即可求出球的体积.
【解答】
解：由题意画出几何体的图形如图，
把三棱锥D-ABC扩展为三棱柱，
上下底面中心F，E的连线的中点O与A的距离为球的半径R，
AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，
所以．
．
所求球的体积为．
故选A．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的求解，考查条件构造函数，利用导数判断函数的单调性，属于中档题. 利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，根据条件构造函数g（x）=xf（x），求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．
【解答】
解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf'（x），
∵f（x）+x•f'（x）＞0，∴g′（x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）上为增函数，
则不等式（x-1）f（x2-1）＜f（x+1）等价为（x-1）（x+1）f（x2-1）＜（x+1）f（x+1），即（x2-1）f（x2-1）＜（x+1）f（x+1），
即g（x2-1）＜g（x+1），
∵g（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴，解得，即1＜x＜2，
故不等式的解集为（1，2），
故选D．
13.【答案】-4
14.【答案】18
15.【答案】（n∈）
16.【答案】
【解答】
解:抛物线x2=4y的焦点F的坐标为F(0，1)，准线方程为y=-1，
过点P作PN⊥l，垂足为N，连接FP，则|PN|=|FP|，
,
故当P、Q、N三点共线时，|PQ|+|PF|取得最小值|QN|=2-(-1)=3．
设点P(1，y)，代入抛物线方程得12=4y，解得y=.
∴P(1，).
故选D.
17.【答案】解：（Ⅰ）由于，
所以f（x）===+1，所以函数的最小正周期为，
当（k∈Z）时，函数的最大值为3．
（Ⅱ）由于，
由于，所以．由于a=，b=1，
利用正弦定理，
解得所以B=，
利用三角形内角和定理的应用，进一步求出C=．
则．
18、
19.【答案】解：（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80，90）内的频率为
1-（0.005×2+0.015+0.020+0.045）×10=0.1，
所以这次月考数学成绩的平均分是
0.05×45+0.15×55+0.45×65+0.20×75+0.10×85+0.05×95=68，
众数的估计值是65;
（2）设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间[90，100]内”，
由题意可知成绩在区间[80，90）内的学生所选取的有：40×0.1=4人，记这4名学生分别为a，b，c，d，
成绩在区间[90，100]内的学生有0.005×10×40=2人，记这2名学生分别为e，f，
则从这6人中任选2人的基本事件为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，
(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间[90，100]内”的可能结果为：(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共9种，
所以．
故所求事件的概率为：．
20.【答案】证明：（1）连结 .因为M，E分别为,的中点，
所以，且.又因为N为的中点，所以 .
可得，因此四边形MNDE为平行四边形，
.又平面，
所以平面.
(2) (方法一)：过C做的垂线，垂足为H.
由已知可得，.所以，
故，从而，故CH的长即为点C
到平面的距离.
由已知可得CE=1，，所以，故CH=.
（方法二)：设点C到平面的距离为,由已知可得
,==,
，，
,，
可得：，故为直角三角形，
===，综上可得,即为点C到平面的
21.【答案】解：（Ⅰ）依题意，，，a2=b2+c2，
解得a=2，，c=1，
故椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）依题意，直线PQ过点．①当直线PQ的斜率不为0时，可设其方程为，联立消去x得4（3m2+4）y2+12my-45=0，
设点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0），直线AR的斜率为k，
故，，
当m=0时，k=0，
当m≠0时，，因为，故，
当且仅当，即|m|=1时等号成立．
故，故且k≠0．
②当直线PQ的斜率为0时，线段PQ的中点R与坐标原点重合，AR的斜率为0．
综上所述，直线AR的斜率的取值范围为．
22.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=，得：
，x≠0．
当a=1时，．。

，，
依题意f'（1）=0，即在x=1处切线的斜率为0．
把x=1代入中，得f（1）=e．
则曲线f（x）在x=1处切线的方程为y=e．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
由于．
①若a＞0，
当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；
当x＜0和0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数．
②若a＜0，
当x＜0和0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；
当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数．
综上所述，a＞0时，函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）；单调减区间为（-∞，0）,（0，1）．
a＜0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，0）,（0，1）；单调减区间为（1，+∞）．（Ⅲ）当x∈（0，+∞）时，要使f（x）=恒成立，
即使在x∈（0，+∞）时恒成立．
设，则．
可知在0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
x＞1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
则．
从而．。