课件1：第二章 章末复习课

【例 2】 若点 M(2，1)，点 C 是1x62 ＋y72＝1 椭圆的右焦点，点 A 是椭圆上的动点，则 |AM|＋|AC|的最小值是________． 解析 点 M(2，1)在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|， 而 a＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26， 所以(|AM|＋|AC|)最小＝8－ 26. 答案 8－ 26
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线 y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点 M、N.当|AM|
＝|AN|时，求 m 的取值范围．
解 (1)依题意，可设椭圆方程为ax22＋y2＝1，
则右焦点 F(
a2－1，0)，由题设|
a2－1＋2 2
2|＝3，
解得 a2＝3，故所求椭圆的方程为x32＋y2＝1.
2 2
.过F1的直线l交C于
A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 __________．
解析 设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，
由e＝ 22，知ac＝ 22，故ba22＝12.由于△ABF2
的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋
|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆C的方程为
又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，
则－m＋33mkk2＋1＝－1k，即2m＝3k2＋1
②
把②代入①得2m>m2，解得0<m<2，
由②得k2＝2m3－1>0，解得m>12，
故所求m的取值范围是(12，2)．
专题三 圆锥曲线中的定值、定点问题 以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的证明题常见的有：证明 直线过定点和证明某些量为定值．而解决这类定点与定值问题 的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到 定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找； 另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证， 这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．
【例 5】(2012·温州十校模拟)已知椭圆 P 的中心 O 在坐标原点， 焦点在 x 轴上，且经过点 A(0，2 3)，离心率为12. (1)求椭圆 P 的方程； (2)是否存在过点 E(0，－4)的直线 l 交椭圆 P 于点 R，T，且满足 O→R·O→T＝176.若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．
∵O→R·O→T＝176，∴x1x2＋y1y2＝176. 由y1x＝62 ＋kx1y－22 ＝4，1，得(3＋4k2)x2－32kx＋16＝0， 由 Δ>0 得，(－32k)2－4(3＋4k2)×16>0，
解得 k2>14.①
∴x1＋x2＝3＋324kk2，x1x2＝3＋164k2， ∴y1y2＝(kx1－4)(kx2－4)＝k2x1x2－4k(x1＋x2)＋16， 故 x1x2＋y1y2＝3＋164k2＋31＋6k42k2－31＋284kk22＋16＝176，
2x52 ＋（x－253）2＝1，即x2－3x－8＝0.
∴x1＝3－2
41，x2＝3＋241ຫໍສະໝຸດ .∴线段AB的长度为|AB|＝
（x1－x2）2＋（y1－y2）2 ＝
（1＋1265）（x1－x2）2＝ 4215×41＝451.
7．(2011·福建高考)如图，直线l：y＝x＋b与 抛物线C：x2＝4y相切于点A. (1)求实数b的值； (2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
(2)直线l被曲线截得的弦长|AB|＝ （1＋k2）（x1－x2）2 (或 （1＋k12）（y1－y2）2 ，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，
(x2，y2)是直线与曲线的两个交点A，B的坐标．
【例 3】 已知椭圆的一个顶点为 A(0，－1)，焦点在 x 轴上．若
右焦点到直线 x－y＋2 2＝0 的距离为 3.
解 (1)设椭圆P的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， 由题意，得b＝2 3，e＝ac＝12， ∴a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，c2＝4，c＝2，a＝4， ∴椭圆P的方程为1x62 ＋1y22 ＝1. (2)假设存在满足题意的直线l. 易知当直线l的斜率不存在时，O→R·O→T<0不满足题意．故可设 直线l的方程为y＝kx－4，R(x1，y1)，T(x2，y2)．
【例 4】 已知椭圆x42＋y22＝1 上的两个动点 P，Q，设 P(x1，y1)， Q(x2，y2)且 x1＋x2＝2. (1)求证：线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A； (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B，求|PB|的最小值及相应的 P 点坐标．
(1)证明 ∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2. 当x1≠x2时，由xx2221＋＋22yy2221＝＝44，，得yx11－ －yx22＝－12·xy11＋ ＋xy22. 设线段PQ的中点N(1，n)，∴kPQ＝yx11－ －yx22＝－21n， ∴线段PQ的垂直平分线方程为y－n＝2n(x－1)， ∴(2x－1)n－y＝0，该直线恒过一个定点A12，0. 当x1＝x2时，线段PQ的中垂线也过定点A12，0. 综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A12，0.
专题二 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与圆锥曲 线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中 变量 y(或 x)得到关于变量 x(或 y)的一元二次方程，考虑该一元二 次方程的判别式 Δ，则有：Δ>0⇔直线与曲线有两个交点；Δ＝0 ⇔直线与曲线有一个交点；Δ<0⇔直线与曲线无交点． 而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与 对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上， 该方程是一次的．
解 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)， xP＝x，
由已知得yP＝54y. ∵P在圆上， ∴x2＋(54y)2＝25，即轨迹C的方程为2x52 ＋1y62 ＝1. (2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)， 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，得
第二章 圆锥曲线与方程
章末复习课
1．研究椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的方法是一致的．例 如在研究完椭圆的几何特征、定义、标准方程、简单性质等以 后，通过类比就能得到双曲线、抛物线所要研究的问题以及研 究的基本方法．
2．对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意 识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如(1)在求轨迹时， 若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程， 写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点 构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决； (3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离 转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决．
y＝kx＋m (2)设P为弦MN的中点，由x32＋y2＝1 得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
由于直线与椭圆有两个交点，
∴Δ>0，即m2<3k2＋1
①
∴xP＝xM＋2 xN＝－3k32m＋k1，
从而yP＝kxP＋m＝3k2m＋1，
∴kAP＝yPx＋P 1＝－m＋33mkk2＋1，
4．(2011·江西高考)若双曲线
y2 16
－
x2 m
＝1的离心率e＝2，则m＝
________. 解析 由题意，知a2＝16，即a＝4，又e＝2，所以c＝2a＝8，
则m＝c2－a2＝48.
答案 48
5．(2011·全国课标卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心
为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为
解 (1)由yx＝2＝x4＋y，b，得x2－4x－4b＝0(*)， 因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解 得b＝－1. (2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2， 代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2，1)． 因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A 到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
解析 如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′， B′，C′，由抛物线定义：|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝ |CC′|.∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|，又∵|AA′| ＝x1＋p2，|BB′|＝x2＋p2，|CC′|＝x3＋p2，∴2(x2＋p2)＝x1＋p2＋x3 ＋p2⇒2x2＝x1＋x3，∴选A. 答案 A
x2 16
＋
y82＝1.
答案 1x62 ＋y82＝1
6．(2011·陕西高考)如图，设P是圆x2＋y2＝25 上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上 一点，且|MD|＝45|PD|. (1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度．
3．直线l与圆锥曲线有无公共点，等价于由它们的方程组成的 方程组有无实数解，方程组有几组实数解，直线l与圆锥曲线 就有几个公共点；方程组没有实数解，直线l与曲线C就没有公 共点． (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理； (2)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不 求，简化运算．
上，且 p＝4，所以抛物线的方程为 y2＝2px＝8x.
答案 C
2．(2011·安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )．
A．2 B．2 2 C．4 D．4 2
解析
双曲线方程可变形为
x2 4
－
y2 8
＝1，所以a2＝4，a＝2，从
而2a＝4，故选C.
答案 C
3．(2011·广东高考)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝ 0相切，则C的圆心轨迹为( )． A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 解析 设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两 圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，也就是说，圆 心C到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点 (0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特 征，故点C的轨迹为抛物线． 答案 A
【例 1】 抛物线 y2＝2px(p>0)上有 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3) 三点，F 是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( )． A．x1，x2，x3 成等差数列 B．y1，y2，y3 成等差数列 C．x1，x3，x2 成等差数列 D．y1，y3，y2 成等差数列
专题一 圆锥曲线定义的应用 圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，对于 圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回 归定义”是一种重要的解题策略． 研究有关点点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点 到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的 点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再从几何图形利 用几何意义去解决有关的最值问题．
解得k2＝1，② 由①②解得k＝±1，∴直线l的方程为y＝±x－4. 故存在直线l：x＋y＋4＝0或x－y－4＝0满足题意．
1．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－2，
则抛物线的方程是( )．
A．y2＝－8x
B．y2＝－4x
C．y2＝8x
D．y2＝4x
解析 由准线方程为 x＝－2，可知抛物线的焦点在 x 轴正半轴
(2)解 由于点B与点A关于原点O对称， 故点B－12，0. ∵－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，∴x1＝2－x2∈[0，2]， |PB|2＝x1＋122＋y21＝12(x1＋1)2＋74≥94， ∴当点P的坐标为(0，± 2)时，|PB|min＝32.
专题四 圆锥曲线中的探索问题 解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件 通过推理论证或计算对结论作出明确的肯定或否定，因此解决 起来具有较大的难度．化解这类试题难点的主要方法就是明确 这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假 设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就 肯定假设，对问题作出正面回答；如果得到一个矛盾的结果， 就否定假设，对问题作出反面回答；在这个解题思想指导下解 决探索性问题就可以转变为解决具有明确结论的问题．