2015上海好题速递10

2015上海高三数学好题速递（10）
1. 设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数
+i 12x yi
i
-+的实部大于0，虚部不小于0，则复数i z x y ＝＋在复平面上的点集用阴影表示为下图中的（ ）
2. 设集合{}012,,S A A A =，在S 上定义运算⊕：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被3除的余数，{},1,2,3i j ∈，则使关系式0()i j i A A A A ⊕⊕=成立的有序数对(,)i j 总共有（ ） A ．１对 B ．２对 C ．３对 D ．４对
3. 已知A ，B ，C ，D ，E 为抛物线2
14
y x =
上不同的五点，抛物线焦点为F ，满足0FA FB FC FD FE ++++=，则||||||||||FA FB FC FD FE ++++=（ ）
A ． 5 B. 10 C. 516 D. 8516
4. 在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以x 轴的正半轴为始边，若终边经过点P （x 0，y 0）且 (0)OP r r =>．定义：00
si cos y x r
θ-=称“sicos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”y= sicosx ，有同学得到以下性质：
（1）该函数的值域⎡⎣；
（2）该函数为奇函数，图象关于原点对称； （3）该函数为非奇非偶函数，图象关于直线34
x π
=
对称； （4）该函数为周期函数，且最小正周期为2π； （5）该函数的单调递增区间为32,2,4
4k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦。

你认为这些性质正确的是 （填上你认为正确的所有命题的序号）
5. 若函数()f x 对定义域内的任意x 都满足[]
()f f x x =则称()f x 为“不动点函数”；若存
在x 0使得[]
00()f f x x =，则称0x 为函数()y f x =的“不动点”
（I ）已知一次函数(0)y kx b k =+>是“不动点函数”，求实数k ，b 的值； （II ）求证：二次函数2y ax c =+不可能是“不动点函数” （III ）写出正弦函数y=sinx 的所有不动点（不必写过程）
6. 如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,
,)i j n =表示位
于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合． 对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令
1
1
()()()n n
i j i j l A r A c A ===+∑∑．
（1）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （2）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；
（3）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．
参考答案 1. A 2. C 3. B
4. 1，3，4，5
5. 解：
6. （1）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．
1- 1- 1- 1- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
………………3分
（2）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分
证明如下：
假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．
因为(){1,1
}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤， 所以1()r A ，2()r A ，
，9()r A ，1()c A ，2()c A ，
，9()c A 这18个数中有9个1，
9个1-．
令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅．
一方面，由于这18个数中有9个1， 9个1-，从而9
(1)1M =-=-． ①
另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；
129()()
()c A c A c A ⋅⋅⋅也表示m ， 从而2
1M m ==． ②
①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分 （3）解：记这2n 个实数之积为p ．
一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅
⋅； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅．
从
而
有
12()(
n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅． ③ ………………10分 注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤． 下面考虑1()r A ，2()r A ，
，()n r A ，1()c A ，2()c A ，
，()n c A 中1-的个数：
由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -，
所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分 对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,
,)i j n =，显然0()2l A n =．
将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ． 即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤，其余1ij a =．
所以 12()()()1k r A r A r A ==
==-，12()()()1k c A c A c A ==
==-．
所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．
由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=．……………13分。