重庆市西北狼联盟高2016届高三上学期统一考试数学(理)试题

西北狼教育联盟高2016级高三上统一考试
数学理科卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合}{}{
{
}2
0,1,2,3,4,5,1,2,540,U A B x Z x x ===∈-+＜则()U C A B ⋃=（ ）
A ．｛0，1，2，3，｝
B ．｛5｝
C ．｛1，2，4｝
D ．{0，4，5}
2．设i 是虚数单位，复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，11i z =-，则1
2
z z =（ ）
（A ）2 （B ）1＋i （C ）i （D ）－i 3．某工厂对一批新产品的长度（单位：mm ）进行检测，如右图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ） （A ）20 （B ）25 （C ）22.5 （D ）22.75 4．在正项等比数列{a n }中，存在两项n m a a ,，使得
n m a a ＝41a ，且5672a a a +=，则
n
m 4
1+的最小值是（ ） A ．
23 B ．34 C ．6
7
D ．35
5．已知函数
⎩
⎨⎧<+≥=4)2(4
2)(x x f x x f x ，则)3log 1(2+f 的值为（ ）
A ．6
B ．12
C ．24
D ．36
6．设函数()s i n ()c o s ()(0)2
f x x x π
ω
ϕωϕωϕ=+++><，的最小正周期是π，且
()()
f x f x -=，则（ ） A 、()f x 在02π⎛⎫
⎪⎝
⎭，单调递减 B 、()f x 在344ππ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，单调递减C 、()f x 在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增 D 、()f x 在344ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，单调递增 7． 若函数x x y -=2的图象在点2=x 处的切线被圆)0(:222>=+r r y x C 所截得的弦长
,则=r ( ) A.
B. 1 D. 2
8．如右图所示，程序框图的输出值S =（ ） A ．21 B ．21- C ．15 D ．28
9．某宾馆安排A 、B 、C 、D 、E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A 、B 不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种
A ．24
B ．48
C ．96
D ．114
10．如图，正ABC ∆的中心位于点G (0,1)，A (0,2)，动点P 从A 点出发沿ABC ∆的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度(02)AGP x x
π∠=≤≤，向量OP 在(1,0)a =方向的投影为y
（O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图像是（ ）
11．如图，过双曲线上左支一点A 作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B ，若()
022=⋅+BF AF AB ，则双曲线的离心率为 （ ）
mm ）
A
C
12．设函数()f x 在R 上存在导数'()f x ，对任意的x ∈R ，有2()()f x f x x -+=，且x ∈(0，+∞)时，'()f x x <．若
(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为( )
(A)[1，+∞) (B)(-∞，1] (C)(-∞，2] (D)[2，+∞)
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13∽21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22－24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

13．已知R m ∈,向量(,1)a m =，(2,6)b =-，且 a b ⊥，则||a b -= .
14．设x ，y 满足约束条件10
10330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
,则y x z 2-=的最大值为_______．
15．5
21⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+x a x x x 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．
16．设数列{a n }的首项a 1＝
32
，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *
)，则满足1817
910的n 值为________．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分，第（1）题6分，第（2）题6分） 已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C
的对边，且2sin().3
a C π
+=
（1）求角A 的值；
（2） 若AB=3，AC 边上的中线BD
ABC 的面积。

18.（本小题满分12分，第（1）题4分，第（2）题8分） 砷是广泛分布于自然界中的非金属元素， 长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注．为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位:/1000mg L ）: 甲地区的10个村子饮用水中砷的含量:
52 32 41 72 43 35 45 61 53 44 乙地区的10个村子饮用水中砷的含量:
44 56 38 61 72 57 64 71 58 62 （1）根据两组数据完成下面茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用水中平均砷含量更高，并说明理由；
（2）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50/1000mg L ，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组．用样本估计总体，把频率作为概率，若从整个乙地区随机抽取3个村子，用X 表示派驻的医疗小组数，试写出X 的分布列并求X 的期望．
19.（本小题满分12分,第（1）题4分，第（2）题8分）
已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q （, 1q R q ∈≠，0≠q ）的等比数列．若
2321,)2(d a d a =-=，2321,)2(q b q b =-=．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 对任意自然数n 均有13322
11132++=++++n n
n a nb c b c b c b c ，求数列{}n c 的通项公式及前n 项和n T ．
20.（本小题满分12分，第（1）题4分，第（2）题8分）
如图，椭圆:M 22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为1
2
，直线x a =±和y b =±所围成的矩
形CD AB
的面积为 （1）求椭圆M 的标准方程；
（2）已知()1,0N ，若过点N 的直线交椭圆M 于E ，F 两点，且
122
27
-≤⋅≤-
，求直线的斜率的取值范围． . 21．（本小题满分12分，第（1）题4分，第（2）题8分）
设函数ax x x
x f -=ln )(．
（1）若4
1
≥a ，求函数()x f 的单调区间；
（2）若存在2
12,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使a x f x f +'≤)()(21成立，求实数a 的取值范围．
请考生在第22－24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分）选修4-1：几何证明选讲 如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED ． （1）证明：CD ∥AB ；
（2）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆． 23．（本小题满分10分，第（1）题4分，第（2）题6分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正
半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩⎨
⎧=+=α
α
是参数．
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若点()01
，P ，直线与曲线C 相交于A 、B 两点，且15=AB ，求PB PA ⋅及直线的倾斜角α的值．
24．（本小题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分）选修4－5：不等式选讲
（1）已知a ，b 都是正数，且a b ≠，求证：3322
a b a b ab +>+；
（2）已知a ，b ，c 都是正数，求证：
222222
a b b c c a abc a b c
≥++++．
2015年高三上西北狼联盟理科数学统一考试
参考答案
一、 选择题：
DDCAC; ACBDC; BA 二、填空题：
13． 25 14. 1 15. 40 16. 4 三、解答题： 17.
解
析
：
（
1
）
由
b
C a 33s i n 2=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+π，变形为
B C C A s i n
33s i n c o s 3c o s s i n s
i n 2=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+ππ， ()[]C A C A C A +-=+πsin 3cos sin 3sin sin ，
即
()C A C A C A +=+s i n
3c o s s i n
3s i n s
i n 即
C
A C A C A C A sin cos 3cos sin 3cos sin 3sin sin +=+，
即
C A C A s i n
c
o s 3s i n s i n =． 因为0sin ≠C ，所以A A cos 3sin =
，3tan =A ．又()3
,0π
π=
∴∈A A 6分
（2）在ABD ∆中，3=AB ，13=BD ，3
π
=
A ，利用余弦定理，
222cos 2BD A AD AB AD AB =⋅⋅⋅-+
解得4=AD ，又D 是AC 的中点 8=∴AC ，36sin 2
1
=⋅⋅⋅=∆A AC AB S ABC ． 12分
法1：设甲地区调查数据的平均数为,x
1
(52324172433545615344)47.810x =
+++++++++=；
设乙地区调查数据的平均数为,y
1
(44563861725764715862)58.310y =
+++++++++=．
由以上计算结果可得x y <，因此可以看出乙地区的饮用水中砷含量更高．4分
法2：从茎叶图可以看出，甲地区的调查结果中有80%的叶集中在茎“3”“4”“5”，而乙地区有80%的叶集中在茎“5”“6”“7”，因此乙地区的引用水中砷含量更高．
（2）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率
4
5P =
0,1,2,3X =
0031
12332213
30334114112(0)()(),(1)()()551255512541484164(2)()(),(3)()()5512555125P X C P X C P X C P X C ==⋅⋅===⋅⋅=
==⋅⋅===⋅⋅=
X 的分布列为
412(3,)()55X
B E X ∴=
12分
19.解析： （1）∵312a a d -=， ∴22(2)2d d d --=，解得 d =2． ∴01=a ，∴2(1)n a n =-．
∵231
b q b =，∴22
2)2(-=q q
q ．
∵0, 1q q ≠≠，∴3q =．
又11=b ，∴13n n b -=． 4分 （2）由题设知121c a b =1+， ∴． 当2n ≥时，
13322
11132++=++++n n
n a nb c b c b c b c ， n n n a b n c b c b c b c +=-++++--1)1(321
13322
11 ， 两式相减，得12n n n n
c a a nb +=-=．
∴1322-⋅==n n n n nb c （31=c 不适合）． ∴⎩⎨
⎧≥⋅==-2
,321,31
n n n c n n
∴132323836343-⋅+⋅+⋅+⋅+=n n n T
n n n T 3238363493432⋅++⋅+⋅+⋅+=
两式相减 ，得
n n n n T 3232323262132⋅-⋅++⋅+⋅+=--
=
n n n 321
3)
13(321⋅---⋅- =()n
n 3213⋅-+-．
∴().3122
1
23n n n T ⋅-+=
12分 20.解析：（1）22211
24
c a b e a a -==⇒=……①
矩形ABCD
面积为
22a b ⋅=
由①②解得：4,a b ==
∴椭圆M 的标准方程是22
11612
x y +=. 4分
（2）设直线的方程为：0(1),y k x -=-即y kx k =-
由2
2
3412
y kx k x y =-⎧⎨+=⎩⎩⎨⎧=+-=48
432
2y x k kx y 得()04848432
222=-+-+k x k x k 设1122(,),(,)E x y F x y ，
则2221438k k x x +=+,2
2214348
4k k x x +-=
又1122(1,),(1,)NE x y NB x y =-=-
12121212(1)(1)(1)(1)(1)(1)NE NB x x y y x x k x k x ∴⋅=--+=--+-⋅-
22121212(1)(1)(1)(1)[()1]k x x k x x x x =+--=+-++
=()2243145k k ++-,∴()12431452272
2-≤++-≤-k
k 解之得：
32
1
2≤≤k ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈∴3,2222,3 k 12分
21. 解析：解析：（1）由已知得x ＞0，x ≠1． 因函数ax x
x
x f -=
ln )(，故 ()
2
2
ln 111()ln ln (ln )
x f x a a x x
x -'=-=-+-()2
11
1ln 24
a x =--+-，
4
1
≥
a ，∴()0'≤x f 所以函数()x f 的单调减区间为()1,0和()+∞,1． 4分 （2）命题“若存在212,[,],x x e e ∈使()12()f x f x a '+≤成立”等价于 “当2[,]x e e ∈时，有()min max ()f x f x a '+≤”． 由（1），当2[,]x e e ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．
问题等价于：“当2[,]x e e ∈时，有min 1()4f x ≤”．
①当14
a ≥时，由（1），()f x 在2[,]e e 上为减函数，
则min ()f x =2
221()24
e f e ae =-≤，故21124a e -≥．
②当a <
14时，由于'2111()()ln 24f x a x =--+-在2
,e e ⎡⎤⎣⎦上的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
（i ）0a -≥，即0a ≤，'()0f x ≥在2,e e ⎡⎤⎣⎦恒成立，故()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，
于是，min 1
()()4
f x f e e ae e ==-≥>，矛盾．
（ii ）0a -<，即104
a <<，由'
()f x 的单调性和值域知，
存在唯一2
0(,)x e e ∈，使'
()0f x =，且满足：
当0(,)x e x ∈时，'()0f x <，()f x 为减函数；当20(,)x x e ∈时，'()0f x >，()f x 为增函数；
所以，0min 0001
()()ln 4
x f x f x ax x ==
-≤，20(,)x e e ∈ 所以，2
001111111
ln 4ln 4244
a x x e e ≥->->-=，与104a <<矛盾． 综上得211
24a e
≥- 12分。

选作题：
22.解析：证明：（1）因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD ． 因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA ， 故∠ECD ＝∠EBA ．所以CD ∥AB ． 5分 （2）由（1）知，AE ＝BE ，因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ， 从而∠FED ＝∠GEC ．
连接AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE ＝∠GBE ． 又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠FAB ＝∠GBA ，
所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°，故A ，B ，G ，F 四点共圆． 10分
23.解析：（1）由θ
ρc o s 4=得θρρcos 42=，于是有x y x 422=+，化简可得
4)2(22=+-y x 4分
（2）将⎩⎨⎧=+=α
α
sin cos 1t y t x 代入圆的方程得4)sin ()1cos 22=+-ααt t （，
化简得03cos 22=--αt t ．设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则⎩⎨
⎧-==+3
cos 22121t t t t α
,
∴321==⋅t t PB PA
()1512cos 4422
122121=+=-+=
-=∴αt t t t t t AB ,
∴
3cos 42=α,2
3cos ±
=α,6πα=或65π． 10分
24.解: （1）3
3
2
2
2
()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-，∵a ，b 都是正数，∴0a b +>，
又∵a b ≠，∴2()0a b ->，于是2()()0a b a b +->，即3322
()()0a b a b ab +-+>，
∴3322
a b a b ab +>+； 5分
（2）∵222b c bc +≥，20a ≥，∴2222
()2a b c a bc +≥①，
同理2222()2b a c ab c +≥②，2222()2c a b abc +≥③，
①②③相加得2222222222()222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++， 从而222222()a b b c c a abc a b c ++≥++，
由a ，b ，c 都是正数，得0a b c ++>，因此
222222
a b b c c a abc a b c
++≥++． 10分。