2021届湖南常德一中高三上学期月考二数学(文)试卷
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
18．（本小题满分12分）已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求函数 取得最大值和最小值时 的值；
（Ⅱ）设锐角 的内角 、 、 的对应边分别是 、 、 ，且 ， ，若向量 与向量 平行，求 的值.
20．已知数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，求 .
21．如图，已知圆 ，点 ， 是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线和半径 相交于 .
2021年湖南常德一中高三上学期月考二数学（文）试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．设 实数 ， 满足 且 ， 实数满足 ，则 是 的（）
（II）设 ，若对任意的 ，
恒成立，求实数 的最小值．
参考答案
1．C
【详解】
试题分析：由 得 ，故 ，选项为C.
考点：集合间的关系.
2．A
【解析】
试题分析：若 且 ，则 成立；当 ， 时，满足 ，但 且 ，不满足，故 是 的充分不必要条件,选项为A.
考点：充分条件，必要条件的判定.
3．B
【分析】
先研究函数 在区间 上的单调性，再根据单调性求最值即可.
6．D
【解析】
试题分析： ，
当 时， ， ，
当 时， ，
观察各选项可知选D.
【考点】对数函数的性质.
【易错点睛】在解不等式 时，一定要注意对 分为 和 两种情况进行讨论，否则很容易出现错误．
7．A
【解析】
试题分析：由题意可知，此函数的周期 ，故 ，解得 ，则 ， ，即 ．∴ .故选：A．
考点：余弦函数的图象.
考点：正弦定理.
【方法点晴】本题考查三角形中的正弦定理的应用，以及三角形的边角关系，考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题．A、由题设中的条件可以得出B，C两角的正弦与余弦都对应相等，由此关系即可得出正确答案；B、利用正弦定理及等比性质，即可求得结论；C、在 中，设外接圆的半径为 ，运用正弦定理和三角形的边角关系，即可得到结论；D、利用题设等式，根据和差化积公式整理求得 或 ，推断出 或 ，则根据三角形形状可判断出．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数 在闭区间 上的最大值、最小值分别是（）
A． B． C． D．
4．将函数 的图象向左平移 个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是
A． B． C． D．
5．若函数 在区间[0,1]单调递增，则 的取值范围为（）
14．已知函数 有两个极值点,则实数 的取值范围是__________．
15．已知 是第四象限角，且 ，则 ___________.
16．平行四边形 中， ，垂足为 ， ，则 __________.
三、解答题
17．在 中，内角 所对的边分别为a,b,c，已知 .
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若 ，求sinC的值.
11．A
【解析】
试题分析：∵点 、 、 三点共线，且 ，∴ ，解得 ，根据向量的加法法则，作出平行四边形 ，则 ，∴ ， ，而 ，则 ，∵ 是角 的角平分线又是平行四边形 的对角线，∴平行四边形 是菱形则 ， ，作 的垂线 交 于 ，则 ，∴ ．故选：A．
A． B． C． D．
6．已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若 ，则
A．
B．
C．
D．
7．已知函数 的图象如图所示， ，则 （）
A． B． C． D．
8．若 是三角形的最小内角，则函数 的最小值是（）
A． B． C．1D．
9．函数 （ 且 ）的图象可能为（）
A． B． C． D．
10．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，则以下结论错误的为（）
【详解】
解： ，解得 ，
再根据二次函数性质得在 上 ，
在 上 ，所以函数 在 单调递增，
在 单调递减，所以 ，
， ，
所以 .
所以函数 在闭区间 上的最大值、最小值分别是 .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是基础题.
4．A
【解析】
试题分析：将函数 的图象向左平移 个单位 ，可得 的图象，若所得图象对应的函数为偶函数，则 ，即 ，故 的最小值为 ，故答案为A.
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设直线 与（Ⅰ）中轨迹 相交于 ， 两点，直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， （其中 ）， 的面积为 ，以 ， 为直径的圆的面积分别为 ， ，若 ， ， 恰好构成等比数列，求 的取值范围.
22．已知函数 ，其中 均为实数， 为自然对数的底数．
（I）求函数 的极值；
考点：函数 的图象变换.
5．A
【解析】
试题分析： ，因为 在 上单调递增，所以 即 在 上恒成立，也即 恒成立，而 在 上单调递增，所以 ，故 .故选A．
考点：函数的单调性.
【方法点睛】本题考查函数单调性的性质，考查导数与函数单调性的关系，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．求导数 ，由 在 上单调递增，得 恒成立，即 在 上恒成立，分离出参数 后转化为函数最值，即 即可，而 在 上单调递增，故当 时最大，代入即可.
试题分析：A，∵ ，∴由正弦定理 ， ，又∵ ， 为 的内角，∴ ，故 ，A正确；B，∵由正弦定理可得 ，∴ ，故B正确；C，在 ，设外接圆的半径为 ，若 ，则 ，由正弦定理可得 ，即 ；若 ，即有 ，即 ，即 ．则在 中， ，故C正确；D，∵ ，∴ ，∴ 或 ∴ 或 ，∴三角形为直角三角形或等腰三角形．故D错误．故选：D．
A．若 ，则
B．
C．若 ，则 ；反之，若 ，则
D．若 ，则
11．已知在 中， ， ， 的平分线 交边 于点 ，且
，则 的长为（）
A． B． C．1D．2
12．设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知 ， ，且 与 的夹角为 ，则 ．
8．B
【解析】
试题分析：令 ，则 ，∴ ．∵ 是三角形的最小内角，∴ ，∵ ，∴ ，∴当 时， 取得最小值 .故选：B．
考点：（1）三角函数的化简求值；（2）三角函数的最值.
9．D
【解析】
因为 ，故函数是奇函数，所以排除A，B；取 ，则 ，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
10．D
【解析】
（Ⅰ）当 时，求函数 取得最大值和最小值时 的值；
（Ⅱ）设锐角 的内角 、 、 的对应边分别是 、 、 ，且 ， ，若向量 与向量 平行，求 的值.
20．已知数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，求 .
21．如图，已知圆 ，点 ， 是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线和半径 相交于 .
2021年湖南常德一中高三上学期月考二数学（文）试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．设 实数 ， 满足 且 ， 实数满足 ，则 是 的（）
（II）设 ，若对任意的 ，
恒成立，求实数 的最小值．
参考答案
1．C
【详解】
试题分析：由 得 ，故 ，选项为C.
考点：集合间的关系.
2．A
【解析】
试题分析：若 且 ，则 成立；当 ， 时，满足 ，但 且 ，不满足，故 是 的充分不必要条件,选项为A.
考点：充分条件，必要条件的判定.
3．B
【分析】
先研究函数 在区间 上的单调性，再根据单调性求最值即可.
6．D
【解析】
试题分析： ，
当 时， ， ，
当 时， ，
观察各选项可知选D.
【考点】对数函数的性质.
【易错点睛】在解不等式 时，一定要注意对 分为 和 两种情况进行讨论，否则很容易出现错误．
7．A
【解析】
试题分析：由题意可知，此函数的周期 ，故 ，解得 ，则 ， ，即 ．∴ .故选：A．
考点：余弦函数的图象.
考点：正弦定理.
【方法点晴】本题考查三角形中的正弦定理的应用，以及三角形的边角关系，考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题．A、由题设中的条件可以得出B，C两角的正弦与余弦都对应相等，由此关系即可得出正确答案；B、利用正弦定理及等比性质，即可求得结论；C、在 中，设外接圆的半径为 ，运用正弦定理和三角形的边角关系，即可得到结论；D、利用题设等式，根据和差化积公式整理求得 或 ，推断出 或 ，则根据三角形形状可判断出．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数 在闭区间 上的最大值、最小值分别是（）
A． B． C． D．
4．将函数 的图象向左平移 个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是
A． B． C． D．
5．若函数 在区间[0,1]单调递增，则 的取值范围为（）
14．已知函数 有两个极值点,则实数 的取值范围是__________．
15．已知 是第四象限角，且 ，则 ___________.
16．平行四边形 中， ，垂足为 ， ，则 __________.
三、解答题
17．在 中，内角 所对的边分别为a,b,c，已知 .
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若 ，求sinC的值.
11．A
【解析】
试题分析：∵点 、 、 三点共线，且 ，∴ ，解得 ，根据向量的加法法则，作出平行四边形 ，则 ，∴ ， ，而 ，则 ，∵ 是角 的角平分线又是平行四边形 的对角线，∴平行四边形 是菱形则 ， ，作 的垂线 交 于 ，则 ，∴ ．故选：A．
A． B． C． D．
6．已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若 ，则
A．
B．
C．
D．
7．已知函数 的图象如图所示， ，则 （）
A． B． C． D．
8．若 是三角形的最小内角，则函数 的最小值是（）
A． B． C．1D．
9．函数 （ 且 ）的图象可能为（）
A． B． C． D．
10．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，则以下结论错误的为（）
【详解】
解： ，解得 ，
再根据二次函数性质得在 上 ，
在 上 ，所以函数 在 单调递增，
在 单调递减，所以 ，
， ，
所以 .
所以函数 在闭区间 上的最大值、最小值分别是 .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是基础题.
4．A
【解析】
试题分析：将函数 的图象向左平移 个单位 ，可得 的图象，若所得图象对应的函数为偶函数，则 ，即 ，故 的最小值为 ，故答案为A.
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设直线 与（Ⅰ）中轨迹 相交于 ， 两点，直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， （其中 ）， 的面积为 ，以 ， 为直径的圆的面积分别为 ， ，若 ， ， 恰好构成等比数列，求 的取值范围.
22．已知函数 ，其中 均为实数， 为自然对数的底数．
（I）求函数 的极值；
考点：函数 的图象变换.
5．A
【解析】
试题分析： ，因为 在 上单调递增，所以 即 在 上恒成立，也即 恒成立，而 在 上单调递增，所以 ，故 .故选A．
考点：函数的单调性.
【方法点睛】本题考查函数单调性的性质，考查导数与函数单调性的关系，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．求导数 ，由 在 上单调递增，得 恒成立，即 在 上恒成立，分离出参数 后转化为函数最值，即 即可，而 在 上单调递增，故当 时最大，代入即可.
试题分析：A，∵ ，∴由正弦定理 ， ，又∵ ， 为 的内角，∴ ，故 ，A正确；B，∵由正弦定理可得 ，∴ ，故B正确；C，在 ，设外接圆的半径为 ，若 ，则 ，由正弦定理可得 ，即 ；若 ，即有 ，即 ，即 ．则在 中， ，故C正确；D，∵ ，∴ ，∴ 或 ∴ 或 ，∴三角形为直角三角形或等腰三角形．故D错误．故选：D．
A．若 ，则
B．
C．若 ，则 ；反之，若 ，则
D．若 ，则
11．已知在 中， ， ， 的平分线 交边 于点 ，且
，则 的长为（）
A． B． C．1D．2
12．设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知 ， ，且 与 的夹角为 ，则 ．
8．B
【解析】
试题分析：令 ，则 ，∴ ．∵ 是三角形的最小内角，∴ ，∵ ，∴ ，∴当 时， 取得最小值 .故选：B．
考点：（1）三角函数的化简求值；（2）三角函数的最值.
9．D
【解析】
因为 ，故函数是奇函数，所以排除A，B；取 ，则 ，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
10．D
【解析】