最新2019届高三上学期第一次调研考试数学(文)试题

一、单选题（每小题5分，共60分） 1.设全集为R ，集合2{|
0}x
A x x
-=>，{|1}B x x =≥，则A B ⋂=（ C ） A ．{|01}x x <≤ B ．{|01}x x << C ．{|12}x x ≤< D ．{|02}x x << 2.若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ D ） A ．
1355i + B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355
i --
3.函数()f x =
A ）
A ．(,4]-∞-
B ．(,1]-∞-
C ．[1,)-+∞
D ．[2,)+∞ 4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 值为（ B ）
A ．15
B ．37
C ．83
D ．177
5.已知命题p ：x R ∀∈，23x x <；命题q ：x R ∃∈，32
1x x =-，则
下列命题中为真命题的是：（ B ）
A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧
C ．p q ∧⌝
D ．p q ⌝∧⌝
6.已知1F 、2F 是椭圆
C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且120PF PF uu u r uuu r
g =，若12PF F ∆的面积为9，则b 的值为（ C ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7.在公比为q 的正项等比数列{}n a 中，41a =，则当262a a +取得最小值时，2log q =（ A ） A ．
14 B ．14- C ．18 D ．1
8
-
8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：
3cm ）是（ C ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 9.已知
324π
βαπ<<<，12cos()13αβ-=，3
sin()5
αβ+=-，则sin 2α=（ B ）
A ．
5665 B ．5665- C ．6556 D ．6556
- 10.若函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 为（ C ） A ．2或6 B ．2 C ．6 D ．-2或-6
11.在ABC ∆中，()3
sin sin 2
B C A -+=，AC =，则角C =（ D ） A ．
2π B ．3π C ．6π或3π D ．6
π 12.设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，x ln '()()x f x f x ⋅<-，则使得2(4)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ D ） A ．(2,0)
(0,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞ C ．(2,0)(2,)-+∞ D ．(,2)(0,2)-∞-
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知函数22()log ()f x x a =+，若(1)1f =，则a = ．1 14.已知函数()2sin()(0)3
f x x π
ωω=+
>，A ，B 是函数()y f x =图象上相邻的最高点和
最低点，若AB =(1)f = ．1
15.已知实数m,n 满足21m n -=，则直线30mx y n -+=必过定点 1
2,3
骣琪--琪
桫
16.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，2AB AD ==.
若点E 为边CD 上的动点，则AE BE uuu r uuu r ⋅的最小值为 ．214
三、解答题（17-21题每小题12分，22题10分，共70分） 17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2
243n n n a a S +=+. （1）求{}n a 的通项公式；
（2） 设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和. 17.【解】（1）由2243n n n a a S +=+，可知2
111243n n n a a S ++++=+， 两式相减得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，
即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，∵0n a >，∴12n n a a +-=，
∵2111243a a a +=+，∴11a =-（舍）或13a =， 则{}n a 是首项为3，公差2d =的等差数列， ∴{}n a 的通项公式32(1)21n a n n =+-=+； （2）∵21n a n =+，∴111
(21)(23)n n n b a a n n +==
++111()22123
n n =-++， ∴数列{}n b 的前n 项和
1111111()235572123n T n n =
-+-+⋅⋅⋅+-++111()23233(23)
n n n =-=++. 18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2PA PB AB ===，点N 为AB 的中点
.
（1）证明：AB PC ⊥；
（2）若点M 为线段PD 的中点，平面PAB ⊥平面ABCD ，求点D 到平面MNC 的距离.（文科做）
（3）若点M 为线段PD 的中点，求二面角M-CN-D 的余弦值。

（理科做）
18.【解】（1）连接AC ，因为AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为正三角形， 又点N 为AB 的中点，所以AB NC ⊥.
又因为PA PB =，N 为AB 的中点，所以AB PN ⊥.
又NC PN N =，所以AB ⊥平面PNC ，又PC ⊂平面PNC ，所以AB PC ⊥.
（2）由（1）知PN AB ⊥.又平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ， 所以PN ⊥平面ABCD ，由M NCD D MCN V V --=.
11
322
M NCD V -==，13D MCN MNC V S h -∆=⋅，
4MNC S ∆=
，由等体积法知得7
h =. （3
19.十九大报告提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间[1500,3000]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：
（1）按分层抽样的方法从质量落在[1750,2000)，[2000,2250)的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；
（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：
A .所有蜜柚均以40元/千克收购；
B .低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
19.【解】（1）由题得蜜柚质量在[1750,2000)和[2000,2250)的比例为2:3，∴分别抽取2个和3个.
记抽取质量在[1750,2000)的蜜柚为1A ，2A ，质量在[2000,2250)的蜜柚为1B ，2B ，3B ，
则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下10种：
12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B ，
其中质量小于2000克的仅有12A A 这1种情况，故所求概率为110
. （2）方案A 好，理由如下：
由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[1500,1750)的频率为2500.00040.1⨯=，
同理，蜜柚质量在[1750,2000)，
[2000,2250)，[2250,2500)，[2500,2750)，[2750,3000]的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，
若按方案A 收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250， 于是总收益为1500175017502000(
50050022++⨯+⨯200022507502
++⨯
22502500250027502000100022+++⨯+⨯27503000250)4010002++⨯⨯÷
250250[(67)2(78)22
=⨯⨯+⨯++⨯(89)3(910)8(1011)4++⨯++⨯++⨯(1112)1]401000++⨯⨯÷2550[2630511528423]=⨯+++++457500=（元），
若按方案B 收购：∵蜜柚质量低于2250克的个数为(0.10.10.3)50001750++⨯=， 蜜柚质量低于2250克的个数为500017503250-=，
∴收益为175060325080⨯+⨯25020[73134]365000=⨯⨯⨯+⨯=元， ∴方案A 的收益比方案B 的收益高，应该选择方案A .
20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 离心率为
)1,3(,3
6
P 为椭圆上一点. （1）求E 的方程； （2）已知斜率为3
3
，不过点P 的动直线l 交椭圆E 于B A 、两点.证明：直线BP AP 、的斜率和为定值.
解:（1
）由题知2222231
1c e a a b a b c ⎧==⎪
⎪
⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩
,解得226,2a b ==.
即所求E 的方程为22
1.
62x y +=
（2）1122(,),(,)A x y B x y 设
,(0)3
l y x m m =
+≠设方程为.
联立方程组22
1
6
2y m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得
222360x m ++-=248120,(2,0)(0,2)m m ∆=->∈-⋃即.
所以2121236
,.
2m x x x x -+=⋅=
所以PA PB k k =
=.
即1212(2)()1)
PA PB
x x m x x m k k +-+--+==
因为
1212(2)()1)03
x x m x x m +-+--= 故0PA PB k k +=.
21.已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---（a 为常数）. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（2）若函数()y f x =，1
(0,)2
x ∈的图象与x 轴无交点，求实数a 的最小值. 21.【解】（1）1a =时，()2ln 1f x x x =--，()2'1f x x
=-， 由()'0f x >得2x >；()'0f x <得02x <<.
故()f x 的减区间为()0,2，增区间为()2,+∞.
（2）因为0x +
→时，(2)(1)2a x a --→-，同时2ln x -→+∞，
因此0x +
→时，()f x →+∞，故要使函数()f x 图象与x 轴在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上无交点，
只有对任意的10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()0f x >成立，
即10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ln 21x a x >-
-.令()2ln 21x l x x =--，10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
， 则()()
2
22ln 2
'1x x l x x +
-=
-，再令()22ln 2m x x x =+-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()()2
21'0x m x x --=
<，于是在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上()m x 为减函数， 故()122ln 202m x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，∴()'0l x >在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立，
∴()l x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为增函数，∴()12l x l ⎛⎫<
⎪⎝⎭在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立， 又124ln 22l ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，故要使ln 21
x
a x >--恒成立，只要[24ln 2,)a ∈-+∞， 所以实数a 的最小值为24ln 2-.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角
坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为
6cos ρθ=.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(2,1)，求PA PB +的最小值.
22.【解】（1）由6cos ρθ=，得26cos ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y x +=， 即22(3)9x y -+=.
（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得2(2sin 2cos )70t t αα+--=， 因为0∆>，可设1t ，2t 是上述方程的两根，所以122(cos sin )t t αα+=-，127t t =-， 又因为(2,1)为直线所过定点，
∴1212PA PB t t t t +=+=-===
所以PA PB +的最小值为23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数.
(I)求的最小值;
(II)若
均为正实数，且满足3a b
c ++=,求证:
.
【答案】(1) .
(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）利用零点分段法去绝对值，将写成分段函数的形式，由此求得最
小值
.（2）由（1）得
，原不等式左边加上
，然后分成三组，对这三组
分别利用基本不等式求得最小值，相加后可证得原不等式成立. 试题解析：（1）因为函数
，所以当
时，
；当
时，；
当
时，
，综上，的最小值
. （2）据(1)求解知
，所以
，又因为
，所以
，
即
，当且仅当时，取“=” 所以
，即
.
23. 已知函数
.(文科做）
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：（1）由已知得：，分成三段解不等式即可；（2）不等式的解集非空等价于，利用绝对值三角不等式易得，即可求得的取值范围.
试题解析：
（1），
①当时，；
②当时，，；
综上①②，不等式解集为.
（2）因为，
所以若关于的不等式的解集非空，
则，
即的取值范围是.。