精品2019学年高一数学3月月考试题新人教版新版

2019学年高一数学3月月考试题
（测试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（ ） A. B.
C.
D.
2．函数的一条对称轴可能是（ ） A.
B. C.
D.
3．已知1sin 3θ=
， ,2πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则tan θ=
A. 2-
B. 4-
D. 8
- 4．已知，
，则
（ ）．
A. B.
C. D.
，
5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A. 2 B.
C.
D.
6．下列区间上函数cos 3y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
为增函数的是（ ） A. ,44ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦ B. 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 711,66ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
7．已知α
cos α+的值是（ ） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 8．如图，函数
（
，
，
）的部分图象如图所示，则
的值分别为（ ）
A. 2，0
B. 2，
C. 2，
D. 2， 9． 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →
，则( )
A.PA →＋PB →＝0
B.PC →＋PA →＝0
C.PB →＋PC →＝0
D.PA →＋PB →＋PC →＝0
10．已知tan 4θ=，则2sin cos sin 17sin 4
θθθ
θ++的值为（ ）
A.
1468 B. 2168 C. 6814 D. 68
21
11．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π
10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐
标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10
B ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －π20 12．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3
x π
=
对称；③在,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上是增函数；④一个对称中心为,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
”的一个函数是（ ） A. sin 26x y π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ B. sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C. sin 26y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
D. sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．
14．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－2x 的单调减区间是____________________． 15．若()()sin 2cos 2,αππα-=-则
()()()()
sin 5cos 23cos sin παπαπαα-+----的值为____________.
16．给出下列四个命题：
①函数2sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的一条对称轴是512
x π=
； ②函数tan y x =的图象关于点(
2
π
,0)对称； ③函数2
cos sin y x x =+的最小值为1-； ④若12sin 2sin 244x x ππ⎛⎫
⎛
⎫-
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
= 0，则12x x k π-=，其中k Z ∈； 以上四个命题中正确的有_____________（填写正确命题前面的序号）．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长。

（1）那么扇形的圆心角是多少弧度？ （2） 扇形面积是多少？
18．（本小题12分）
（1）已知角α
终边上一点()
(0)P y y >
，且sin 4
y α=
，求cos α和tan α的值． （2）已知α是第三象限的角，且()()()()()
3sin cos 2tan tan 2sin f ππαπαααπααπ⎛
⎫
---+
-- ⎪⎝⎭=
--
① 化简()f
α ② 若31
cos 2
5
π
α⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭，求()f α 19．（本小题12分）如图在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ， E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ， b 表示，写出具体求解过程）
.
20．（本小题12分）
某同学用“五点法”画函数()()sin (0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，
列表并填入了部分数据，如下表：
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动
12
π
个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.
21．（本小题12分）已知函数=)(x f <>>+0,0,0)(sin(ωϕωA x A ),R x ∈<πϕ在一个周期内的图象如图，求
直线=
y 3与函数)(x f 图象的所有交点的坐标．
22．（本小题12分）已知函数()()sin ,f x A x ωϕ=+ (0,0,)2
A π
ωϕ>><的
部分图像如图所示.
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及()f x 图像的对称轴方程；
（Ⅱ）把函数()y f x =图像上点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
π
6
个单位，得到函数()y g x =的图象，求关于x 的方程()(02)g x m m =<< 在11,33x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时所有的实数根之和.
答案解析
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【答案】D 【解析】
,选D.
2．【答案】
B
3．【答案】
C 【解析】∵1sin 3θ=， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，∴cos 3θ==-
，则1
sin tan cos 4θθθ===-，
故选C.
4．【答案】D 【解析】 ∵，
，∴
，
，
∴
．故选．
5．【答案】C
【解析】
6．【答案】C
【解析】当4
4
x π
π
-
≤≤
时，
712
3
12
x π
π
π
≤+
≤
， 函数不是增函数；
当
26
3x π
π≤≤
时， 23
x ππ
π≤+≤，函数是减函数；
当
2433x ππ≤≤
时， 533
x πππ≤+≤，函数是增函数；选C.
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】B. 【解析】由BC →＋BA →＝2BP →知，点P 是线段AC 的中点，则PC →＋PA →＝0. 10．【答案】B
【解析】()2222sin cos sin 1sin 17sin 417tan 4sin cos tan θθθθθθθθθ+++=++ ()
22
1411621
17tan 686868
41tan tan tan θθθθ++=+=+=+,故选B
11．【答案】B 【解析】： 函数y ＝sin x 的图象上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π10的图象；
再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10的图象，所以所得函数的解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －π10. 12．【答案】C
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分） 13．【答案】12-
【解析】由题意得()1
1:2:12
λλ=-∴=- . 14．【答案】.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π(k ∈Z)
【解析】y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.由2k π≤2x －π4≤π＋2k π，(k ∈Z)
得
π8＋k π≤x ≤58π＋k π(k ∈Z)时，y ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4单调递减．故选A.
15．【答案】3
5
- 【解析】因为()()sin 2cos 2sin 2cos ,αππααα-=-∴=-
()()()()
sin 5cos 2sin 5cos 3cos 3
3cos sin 3cos sin 5cos 5
παπααααπααααα-+-+=
==-----+-
故答案为3
5
-. 16．【答案】①②③ 【解析】把512
x π
=
代入函数得1y =,为最大值，故正确； 结合函数tan y x =的图象可得点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数tan y x =的图象的一个对称中心，故正确； 函数 2
2215cos sin sin 124y x x x sinx sinx ⎛
⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭
[]1,1sinx ∈-当sin 1x =-时，函数取得最小值
为1-，故正确。

如12sin 2sin 244x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫-
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭则有1222244x k x πππ-=+-或 1222244x k x π
πππ⎛
⎫-
=+-- ⎪⎝⎭
, k z ∈, 12x x k π∴-=，或123,4x x k k z ππ+=+∈,故不正确。

故答案为①②③.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题10分）解：设弧长为l ，所对圆心角为α， 则r r l π=+2，即r l )2(-=π， 因为2||-==
παr
l
所以α的弧度数是2-π 从而2)2(2
1
21r lr S -==
π扇形 18．（本小题12分） 【答案】（1
）3-
；（2
）5
【解析】试题分析：（1
）根据三角函数的定义求出3
y =，在根据定义求出cos α和tan α的值；（2）①利用诱导公式、同角三角函数基本关系式即可得出()cos f αα=-，②利用诱导公式得到1
sin 5
α=-
，根据角的位置求出cos α，继而得最后结果. 试题解析：（1
）sin 4y α=
=
解得y =
3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭，
r = ∴3
cos 4
α=-
，
tan α=.
(2)①()()()()()sin cos 2tan tan 2sin f ππαπαπααπαπα⎡⎤
⎛⎫⎡⎤--+--+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦=⎡⎤-+⎣⎦
()()sin cos tan tan 2sin παααπαπα⎛⎫
⎡⎤⋅⋅--+ ⎪⎣⎦⎝⎭=
⎡⎤-+⎣⎦
()sin cos cot tan cos sin αααααα⋅⋅-==- ②由31cos 25απ⎛
⎫-
= ⎪⎝
⎭得： 1cos 2cos sin 225πππααα⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-++=+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，∴1sin 5α=-，∵α是第三象限的角，∴cos 0α<，∴(
)cos f αα=-==. 19．（本小题12分）【答案】2133
a b +
【解析】
∵AC a =， BD b =，∴11112222
AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点，∴＝，∴DF＝AB .
∴11111
133226
6DF AB AC BD a b ⎛⎫=
=-=- ⎪⎝⎭， ∴111121
226633
AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 20．
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) ,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. 【解析】试题分析：
(Ⅰ)补充完整相应的表格，然后计算可得函数()f x 的解析式是()226f x sin x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
； (Ⅱ)由题意可求得()223g x sin x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，据此可得()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心是,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
.试题解析：
（Ⅰ）数据补全如下表：
根据表中已知数据可得： 2A =， 2
6
2
{
{ 236
32
π
π
ωωϕππ
πϕωϕ=+=
⇒=
+= 且函数表达式为 ()226f x sin x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
21.解：由图象可知函数)(x f 的振幅A=2，周期-=
27πT ππ4)2(=-． 因为||2ωπ=T ，0>ω，所以2
1=ω， 所以)2
1
sin(2)(ϕ+=x x f ． 又
πϕπk 2)2
(21=+-，Z k ∈，πϕ<<0，所以4πϕ=． 所以)421sin(2)(π+=x x f ． 由3)421sin(2=+
πx ，即23)421sin(=+πx ， 得32421πππ+=+k x 或3
22421πππ+=+k x ，Z k ∈． 所以64ππ+=k x 或6
54ππ+=k x ，Z k ∈． 所以所求交点的坐标为)3,64(ππ+k 或)3,6
54(ππ+k ，其中Z k ∈． 22．（本小题12分）【答案】(Ⅰ) ()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭； ,26k x k Z ππ=+∈；(Ⅱ) 143
π.
试题解
析：
（Ⅰ）由题设图象知，周期111212T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 22T πω∴==. ∵点,012π⎛⎫-
⎪⎝⎭在函数图象上， 2?012Asin πϕ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭ 即06sin πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 又∵22π
π
ϕ-<<， ∴2363πππϕ-<-<，从而6
πϕ=. 又∵点()0,1在函数图象上， ∴1,26Asin A π
=∴=.
故函数()f x 的解析式为()226f x sin x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭. 令2,62
x k k Z πππ+=+∈， 解得,26
k x k Z ππ=+∈即为函数()f x 图像的对称轴方程. （Ⅱ）依题意，得()π23g x sin x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
∵()π23g x sin x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的周期2T π=， ∴()π23g x sin x ⎛
⎫=+
⎪⎝⎭在11,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦内有2个周期. 令()32x k k Z π
π
π+=+∈，所以()6
x k k Z ππ=+∈， 即函数()π23g x sin x ⎛
⎫=+
⎪⎝⎭的对称轴为()6x k k Z ππ=+∈. 又11,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]0,43x ππ+∈ 且02m <<，所以()(02)g x m m =<<在11,33x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦内有4个实根 不妨从小到大依次设为()1,2,3,4i x i =，则1226x x π+=， 341326
x x π+=. ∴关于x 的方程()(02)g x m m =<<在11,33x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时所有的实数根之和为1234143x x x x π+++= .。