人教A版高中同步训练数学必修第一册精品课件 第4章 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用

学以致用
1.把物体放在空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气
的温度是θ0 ℃,经过t分钟后物体的温度θ(单位:℃)可由公式
θ=θ0+(θ1-θ0)·e-kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状
况而定的正常数.现有60 ℃的物体,放在20 ℃的空气中冷却,1
分钟以后物体的温度是50 ℃,则k=
空间,实际养殖量x小于m,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的
年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养
殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2)求鱼群年增长量y的最大值.
-
解:(1)根据题意知,空闲率是 ,
-




x=1 时,y 有最大值,且最大值为 ,

x=t2,此时
由 t∈[0, ],知当 t=1,即
即当投资甲项目 1 亿元,投资乙项目 2 亿元时,

所获得总利润最大,且最大为亿元.
规律总结
当实际应用题中没有给出函数模型时,其解题步骤为
第一步:认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实际
背景,找出题意中所蕴含的函数关系;
第二步:恰当地设未知数,列出函数解析式,将实际问题转化成
函数问题,即实际问题函数化;
第三步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出
函数问题的解;
第四步:将所得函数问题的解还原成实际问题的结论,要注意
检验所得的结论是否符合实际问题的意义.
学以致用
2.渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0),为了保证鱼群的生长
4.5.3
函数模型的应用
课前·基函数模型
一次函数模型 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0)
二次函数模型
y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)
指数型函数模型 y=bax+c(a,b,c 为常数,b≠0,a>0,且 a≠1)
y=mlogax+n(m,a,n 为常数,m≠0,a>0,且
解:(1)当投资甲项目 x(0≤x≤3)亿元时,
获得利润为

M=

(亿元),
此时投资乙项目(3-x)亿元,获得利润为
则有

y=


+ (3-x),x∈[0,3].

(2)令 =t,t∈[0, ],则

N= (3-x)(亿元),




2
2
y= t+ (3-t )=- (t-1) + .
2.某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(单
位:亿元)和N(单位:亿元),它们与投资额m(单位:亿元)的关系


有经验公式: M= ,N= m .今该公司将用3亿元投资这两


个项目,若设投资甲项目x亿元,投资这两个项目所获得的总利
润为y亿元.
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)求总利润y的最大值.
对数型函数模型
a≠1)
n
幂型函数模型
y=ax +b(a,b,n 为常数,a≠0,n≠0,n≠1)
()( < ),
分段函数模型 y=
()( ≥ )
微训练某商场在销售空调旺季的某4天的利润如下表所示.
时间
利润/千元
第1天
2
第2天
3.98
第3天
8.01
第4天
15.99
现构建一个销售这种空调的利润关于时间的函数模型,应选
(精确到0.01)
(参考数据:ln 2≈0.693,ln 3≈1.099).
答案:0.29
解析:60 ℃的物体,放在20 ℃的空气中冷却,1分钟以后物体的
温度是50 ℃,则50=20+(60-20)e-k,
∴e

=,
-k
∴k=ln 4-ln 3=2ln 2-ln 3≈0.29.
二 自建确定性函数模型解决实际问题
即




=


=


=







,解得

,




.
,
t=30.
因此,降温到 32 ℃,需要 30 min.
规律总结
已知函数模型解决实际问题,这类题目给出的函数解析式中
一般含有参数,需要将题中的数据代入函数模型,求得函数模
型中的参数,再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自
变量的值.



,其中Ta表示环境温度,h称为
半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间
中,如果咖啡降温到40 ℃需要20 min,那么降温到32 ℃,需要
多长时间?
解:由题意,得
40-24=(88-24)×





,即



=
解得 h=10,则 T-24=(88-24)×
当 T=32 时,32-24=(88-24)×
故 y 关于 x 的函数解析式是 y=kx· ,0<x<m,k>0.
- 2

2
(2)由(1)知,y=kx· =-x +kx=-(x- ) + ,0<x<m,k>0.


因为 k>0,m>0,所以当 x= 时,ymax= .



所以,鱼群年增长量的最大值为 .

下列函数中的(
)
A.y=log2x B.y=2x
C.y=x2
D.y=2x
答案:B
解析:逐个检验可得答案为B.
课堂·重难突破
一 利用已知函数模型求解实际问题
典例剖析
1.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述,设物
体的初始温度是T0,经过一定时间t(单位:min)后的温度是T
(单位:℃),则 T-Ta=(T0-Ta)×