人教版八年级上册第十五章分式2学案

知识点
考点1 分式方程
1.分式方程分母里含有字母的方程叫做分式方程。

2.使方程的分母等于零的根
在方程的变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为零，因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中看分母是不是为零。

3.解分式方程的基本思想
把分式方程转化为整式方程，即分式方程去分母整式方程。

考点2 分式方程的常用解法
直接去分母法：方程两边同乘各分式的公分母，约去分母，化为整式方程，再求根、验根。

注意：有些分式方程直接去分母会产生不易解的高次方程，因此可选择一些特殊方法，先将原方程进行有效变形。

考点3 列分式方程解应用题的注意事项
列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。

类型之一 分式方程的概念 命题角度：
1. 分式方程的概念
2. 分式方程的增根：分式方程的分母等于零的根。

例1 若关于x 的分式方程13
1=---x
x a x 无解，则a=
2．下列各式中，不是分式方程的是（ ）
111
..(1)1111
.1.[(1)1]1102
32x A B x x x x x x x C D x x x -=-+=-+=--=+-
111
..(1)1111
.1.[(1)1]110232x A B x x x x x x x C D x x x
-=-+=-+=--=+- 1．若分式方程14
733x x x
-+=
--有增根，则增根为 类型之二 分式方程的解法 命题角度“ 1. 去分母法 2. 换元法
3. 注意解分式方程必须检验 点评：（1）检验是解分式方程重要的步骤，不可忽略；（2）换元法是重要的数学方法，关键是一个未知数替换原方程的一个代数式，使原方程转化为该未知数的方程。

例2 解方程：14
4
222=-++-x x x
变式题：解方程：
)
2)(1(311+-=--x x x x
常用方法
1．一般法
所谓一般法，就是先去分母，将分式方程转化为一个整式方程。

然后解这个整式方程。

解 原方程就是
方程两边同乘以（x ＋3）（x －3），约去分母，得4（x －3）＋x （x ＋3）=x 2－9－2x 。

2．换元法
使用换元法时一定注意:①换元后使原方程或方程组变得简单明显.②能使解题步骤简单.③能使解题省时省力，过程简单，结果准确.④对求出的方程(方程组)的根一定要检验，避免出现增根或漏根现象.
分析 本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的
解 设x 2＋x=y ，原方程可变形为
解这个方程，得y 1=－2，y 2=1。

当y=－2时，x 2＋x=－2。

∵Δ＜0，∴该方程无实根； 当y=1时，x 2＋x=1，∴15x -±=
15
x -±=根是15
x -±=
（1）、单个换元： 1. 解方程。

2. 解方程。

（2）、部分换元： 部分换元之后，一般方程还剩下两个未知数 例 3. 解方程
分析：方程变形：
，
方程可进行部分换元： 设，
方程整理可得
，可解得
， 再代入
，
求出方程的解并检验。

例4. 解方程。

3．配方法
配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。

例6 解方程02625
22=-+x x 。

解：移项，得 262522=+x
x 配方得36)5(2=+x x 直接开平方得：65
±=+x x
∴x 2
±6x ＋5=0， 解这个方程，得x=±5，或x=±1。

检验知，它们都是原方程的根。

所以，原方程的根是x 1=5，x 2=－5，x 3=1，x 4=－1。

练习：
1. 解分式方程 1）.271326x x x +=++ 2）. 22
1046(1)1x x x x -=-- 3）. 2
1
1=+x x 4）01112=-+--x x x 5）21211=++-x x x 6）13
11
62-=--x x 7）1221222-=--x x
x x 8）222746
1x x x x x +=+--
分式的实际应用
应用题基本公式有四种：
(1)行程问题：路程=速度×时间．
(2)数字问题：掌握十进制数的表示法． (3)工程问题：工作量=工时×工效．
(4)顺水逆水问题： v 顺水=v 静水+v 水； v 逆水=v 静水-v 水．
一、营销类应用性问题
例1 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料0.5kg 少3元，比乙种原料0.5kg 多1元，问混合后的单价0.5kg 是多少元？
1．某公司去年产值为50万元，计划今年产值达到x 万元，使去年的产值仅为去年与今年两年产值和的20%，依题意可列方程
二、工程类应用性问题
例2 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全
部工程的3
2
，厂家需付甲、丙两队共5500元．
⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
三、行程中的应用性问题
例3 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．
1、一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．
四、轮船顺逆水应用问题
例4 轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度
1．AB两港之间的海上行程仅为s km，一艘轮船从A港出发顺水航行，以a km／h 的速度到达B港，已知水流的速度为x km／h，则这艘轮船返回到A港所用的时间为h。

五、浓度应用性问题
例5 要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．
1．在x克水中加入a克盐，则盐水的浓度为
六、货物运输应用性问题
例6 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t．问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t付运费20元计算)
练习题
1.甲、乙、丙三个数字一次大1，若丙数的倒数的两倍与乙数的倒数之和与甲数的倒数的三倍相等，求甲、乙、丙
2.一个两位数的个位上的数为7，若把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值为8：3，求原两位数
3.甲乙两地相距125千米，从甲地到乙地，有人乘车，有人骑自行车，自行车比汽车早出发4小时，晚到1/2小时，已知骑车的速度与乘车的速度之比为2：5，求自行车与汽车的速度各式多少？
课堂练习：
1、解方程：
111
21=++-+x x x 2、方程23
32-=
-x x 的解是 3、方程4
1
143-=
---x x x 的解是 4、如果关于x 的方程0331=----x
m
x x 无解，则m 的值为（ ）
A 、1
B 、3
C 、―2
D 、2 5、方程
x
m
x x --=
-+3132无解，则m 的值为…………………………（ ） A 、0 B 、1 C 、3 D 、6 6、如果方程
23
=-+x
a x 的根是1，则a 的值为
7、在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息： 信息一：甲班共捐款300元，乙班共捐款232元
信息二：乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的
5
4
信息三：甲班比乙班多2人
请你根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元？
对应练习：
8、某商店销售一种衬衫，4月份的营业额为5000元，为了扩大销售，在5月份将每件衬衫按原价的8折销售，销量比4月份增加了40件，营业额比4月份增加了600元，求4月份每件衬衫的售价。

课后作业：
一、选择题
1．下列式子是分式的是（ ）
A ．2x
B ．x 2
C ．π
x
D ．2y x +
2．下列各式计算正确的是（ ）
A ．11--=b a b a
B ．ab b a b 2
= C ．()0,≠=a ma na m n D ．a
m a n m n ++=
3．化简2
293m m
m --的结果是（ ）
A.
3+m m B.3
+-m m
C.3-m m
D.m m -3 4．若把分式xy
y
x +中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A ．扩大2倍
B ．不变
C ．缩小2倍
D ．缩小4倍
5．若分式方程x
a x
a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．—1 D ．—2
6．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ）
A ．x x -=+306030100
B ．3060
30100-=+x x C ．x x +=-306030100 D ．3060
30100+=-x x 二、填空题（每小题3分，共18分）
7．计算2323()a b a b --÷= ．
8．用科学记数法表示—0.000 000 0314= ．
9．计算221
42
a a a -=-- ． ． ．
10．如果记 221x y x =+ =f(x)，并且f(1)表示当x=1时y 的值，即f(1)=22
11
211=
+；f(
12)表示当x=1
2
时y 的值，即f(12)=2
21()12151()2
=+；……那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(n)+f(1
n
)= （结果用含n 的代数式
表示）．
三、解答题（共52分） 11．（10分）计算： （1）)2(216322b a a bc a b -⋅÷ ； （2）93234962
2
2-⋅+-÷-+-a a b a b
a a ．
12．（10分）解方程求x ：
（1）114112=---+x x x ； （2）0(,0)1
m n m n mn x x -=≠≠+．
13．（7分）有一道题：
“先化简，再求值：22
241
()244
x x x x x -+÷+-- 其中，x=—3”． 小玲做题时把“x=—3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
14．（8分）今年我市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。

某校师生也活动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
15．（9分）某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m³，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格．。