2019秋人教版九年级数学上册同步练习题：微专题三 求二次函数的解析式

微专题三__求二次函数的解析式__[学生用书A20]
一 设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0
)求二次函数的解析式 (教材P40练习第2题)
一个二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点．求这个二次函数的解析式．
解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a －b ＋c ＝－1，a ＋b ＋c ＝9，解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝4，b ＝5，c ＝0， ∴该二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x .
【思想方法】 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c
的值．
[2018·湖州]已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3(a ≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，
求a ，b 的值．
解：把点(－1，0)，(3，0)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx －3， 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b
＝－2.
[2018·日照节选]如图1，已知点A (－1，0)，B (3，0)，C (0，1)在抛物
线y ＝ax 2＋bx ＋c 上． (1)求抛物线解析式；
(2)在直线BC 上方的抛物线上求一点P ，使△
PBC 的面积为
1.
图1 变形2答图
解：(1)把点A (－1，0)，B (3，0)，C (0，1)代入y ＝ax 2
＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，
c ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，
b ＝2
3，
c ＝1，
∴抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋2
3x ＋1；
(2)∵B (3，0)，C (0，1)，
∴直线BC 的解析式为y ＝－1
3x ＋1，
如答图，过点P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，设P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ，－13x 2＋23x ＋1，易得
D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ，－13x ＋1， ∴PD ＝－13x 2＋23x ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13x ＋1＝－13x 2＋x .
∴S △PBC ＝S △PDC ＋S △PDB ＝1
2PD (x B －x C ) ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13x 2＋x (3－0)＝－12x 2＋32x . 又∵S △PBC ＝1，∴－12x 2＋3
2x ＝1， ∴x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2. ∴P 1⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，43，P 2(2，1)．
[2018·金华、丽水节选]如图2，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)过点E (10，0)，
矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上(点A 在点B 的左边)，点C ，D 在抛物线上．设A (t ，0)，当t ＝2时，AD ＝
4.
图2
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？ 解：(1)设抛物线的函数解析式为y ＝ax (x －10)． ∵当t ＝2时，AD ＝4，∴点D 的坐标是(2，4)． ∴4＝a ×2×(2－10)，解得a ＝－1
4. ∴抛物线的函数解析式为y ＝－14x 2＋5
2x ； (2)由抛物线的对称性得BE ＝OA ＝t ， ∴AB ＝10－2t .
当x ＝t 时，y ＝－14t 2＋52t ，即AD ＝－14t 2＋5
2t ， ∴矩形ABCD 的周长＝2(AB ＋AD ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（10－2t ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14t 2＋52t ＝－12t 2＋t ＋20＝－12(t －1)2＋412.
∵－1
2＜0，
∴当t ＝1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值是41
2.
二 设顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)求二次函数的解析式
(教材P36例4)
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为3 m ，水柱落地处离池中心3 m ，水管应多长？
教材母题答图
解：如答图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．点(1，3)是这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是y ＝a (x －1)2＋3(0≤x ≤3)． 由这段抛物线过点(3，0)可得 0＝a (3－1)2＋3，
解得a ＝－34，∴y ＝－3
4(x －1)2＋3(0≤x ≤3)． 当x ＝0时，y ＝2.25. 答：水管长应为2.25 m.
【思想方法】 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，可设所求二次函数的解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，将已知条件代入，求出待定系数即可．
已知某二次函数的图象如图3所示，则这个二次函数的解析式为
( D )
图3
A ．y ＝2(x ＋1)2＋8
B ．y ＝18(x ＋1)2－8
C ．y ＝2
9(x －1)2＋8 D ．y ＝2(x －1)2－8
[2017秋·瑞安期末]如图4，二次函数图象的顶点坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，23，现将
等腰直角三角板直角顶点放在原点O ，一个锐角顶点A 在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B 在第二象限，且点A 的坐标为(2，1)． (1)求该二次函数的解析式；
(2)判断点B 是否在此二次函数的图象上，并说明理由．
图4 变形2答图
解：(1)设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2＋2
3， ∵图象过A (2，1)， ∴a ＋23＝1，即a ＝13，
∴该二次函数的解析式为y ＝13(x －1)2＋2
3； (2)点B 在这个函数图象上．理由如下：
如答图，过点A ，B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D . 在△AOC 与△OBD 中，
∠AOC ＝∠OBD ＝90°－∠BOD ，∠ACO ＝∠ODB ＝90°，OA ＝OB ， ∴△AOC ≌△OBD ，
∴DO ＝AC ＝1，BD ＝OC ＝2， ∴B (－1，2)，
当x ＝－1时，y ＝13(－1－1)2＋2
3＝2， ∴点B 在这个函数图象上．
[2018·永州节选]如图5，抛物线的顶点A 的坐标为(1，4)，抛物线与x
轴相交于B ，C 两点，与y 轴交于点E (0，3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点F (0，－3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G ，使得EG ＋FG 最小？如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．
图5 变形3答图
解：(1)设所求二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2＋4， ∵抛物线与y 轴交于点E (0，3)， ∴a (0－1)2＋4＝3，解得a ＝－1，
∴所求二次函数的解析式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3； (2)存在一点G ，使得EG ＋FG 最小． ∵抛物线的顶点A 的坐标为(1，4)，
∴点E (0，3)关于抛物线对称轴对称的点为E ′(2，3)， 如答图所示，设直线E ′F 的函数解析式为y ＝kx ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－3，
即y ＝3x －3， 当x ＝1时，y ＝0，即点G 的坐标为(1，0)时，EG ＋FG 最小．
三 利用平移规律求二次函数的解析式
(教材P34思考)
抛物线y ＝－12(x ＋1)2，y ＝－12(x －1)2
与抛物线y ＝－12x 2有什么关系？
解：把抛物线y ＝－12x 2向左平移1个单位，就得到抛物线y ＝－1
2(x ＋1)2；把抛
物线y ＝－12x 2向右平移1个单位，就得到抛物线y ＝－1
2(x －1)2.
【思想方法】(1)可按照口诀“左加右减，上加下减”写出平移后的解析式；(2)平移所得函数的解析式与平移的先后顺序无关．
[2018·绍兴]若抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线过点(B) A．(－3，6) B．(－3，0)
C．(－3，－5) D．(－3，－1)
【解析】∵某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴该定弦抛物线过点(0，0)，(2，0)，
∴该抛物线解析式为y＝x(x－2)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线的解析式为y＝(x－1＋2)2－1－3＝(x＋1)2－4，
当x＝－3时，y＝(－3＋1)2－4＝0，
∴得到的新抛物线过点(－3，0)．故选B.
[2017秋·下城区期末]二次函数y＝x2＋bx＋1的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后对应的函数解析式为y＝x2＋c，则(C)
A．b＝4，c＝－2 B．b＝－4，c＝0
C．b＝4，c＝－4 D．b＝－4，c＝－4
【解析】∵y＝x2＋c先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可得y＝(x＋2)2＋c＋1，
∴y＝(x＋2)2＋c＋1＝x2＋bx＋1，
则x2＋4x＋5＋c＝x2＋bx＋1，
故b＝4，c＝－4.故选C.
[2017秋·吴兴区校级月考]已知P(－5，m)和Q(3，m)是二次函数y＝
2x2＋bx＋1图象上的两点．
(1)求b的值；
(2)将二次函数y＝2x2＋bx＋1的图象进行一次平移，使图象经过原点．(写出一种即可)
解：(1)∵P(－5，m)和Q(3，m)是二次函数y＝2x2＋bx＋1图象上的两点，
∴此抛物线的对称轴是直线x＝－1.
∵二次函数的解析式为y＝2x2＋bx＋1，
∴有－b
4
＝－1，∴b＝4；
(2)由(1)知，抛物线的解析式为y＝2x2＋4x＋1，故向下平移1个单位长度，图象经过原点．
如图6，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
图6
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．
解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，
∴可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
把C(0，－3)代入，得3a＝－3，解得a＝－1，
∴抛物线解析式为y＝－(x－1)(x－3)，
即y＝－x2＋4x－3.
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴顶点坐标为(2，1)；
(2)答案不唯一，合理即可．例如，先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y ＝－x上．。