高考复习课件专题二几何证明选讲

高中数学课件
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几何证明选讲
主讲教师：李应 华南师范大学附属中学
学习指导
1.了解平行线截割定理，理解相似三角形的定义与性质； 2.会证明并应用直角三角形射影定理； 3.会证明并应用圆周角定理、圆的切线判定定理与圆幂定理； 4.会证明并应用圆内接四边形的性质定理与判断定理.
备考策略
重视三角形与圆的综合应用，主要考查相似三角形、圆幂定理及与圆的切线有关的比例 线段的计算与证明。
因为 BE⊥AC，AB＝
3，所以
AE＝
3 2.
在△EAD 中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知：
ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝34＋9－2× 23×3× 23＝241，
故 ED＝
21 2.
例 3(2014·广州调研)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，BC 是直径，MN 与⊙O 相切， 切点为 A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.
直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例中项； 两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比例中项．
如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边上的高． 则有 CD2＝ AD·BD . AC2＝ AD·AB ， BC2＝ BD·AB .
圆中与角相关的定理
(1)圆周角定理及其推论 ①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ②推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径．
解析 连接 BD，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，
故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°.
例4(13 湖南卷)如图，在半径为 7的 O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2， PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为 ________．
解析 根据相交弦定理求出 PC 的长，过 O 作弦 CD 的垂线．
解：(1)证明：∵CD 为△ABC 外接圆的切线，BC 是弦，∴∠DCB＝∠A. 由题设知BFAC＝DEAC，故△CDB∽△AEF，∴∠DBC＝∠EFA. ∵B，E，F，C 四点共圆，∴∠CFE＝∠DBC.故∠EFA＝∠CFE＝90°， ∴∠CBA＝∠CBD＝90°.因此 CA 是△ABC 外接圆的直径．
核心知识点梳理
相似三角形的判定与性质 1.相似三角形的判定定理 (1)两角对应 相等 的两个三角形相似． (2)两边对应 成比例并且夹角相等 的两个三角形相似． (3)三边对应成比例 的两个三角形相似． 2．相似三角形的性质定理 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 相似比． (2)相似三角形周长的比等于 相似比． (3)相似三角形面积的比等于 相似比的平方 .
(2)连接 CE，∵∠CBE＝90°，∴过 B，E，F，C 四点的圆的直径为 CE， 由 DB＝BE＝EA，有 EC＝DC，又 BC2＝DB·BA＝2DB2， 所以 CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2. 而由圆的切割线定理知 DC2＝DB·DA＝3DB2， ∴CCDA22＝CCEA22＝36DDBB22＝12. 故过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.
例 7(13，新课标 1)如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，
∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于点 D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为 1，BC＝ 3，延长 CE 交 AB 于点 F，
求△BCF 外接圆的半径．
OG
(1)证明 如图，连接∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以 BE＝CE. 又因为 DB⊥BE，所以 DE 为圆的直径，∠DCE＝90°. 由勾股定理可得 DB＝DC.
（2）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
与圆有关的比例线段：圆幂定理
相交弦定理
割线定理
切割线定理
切线长定理
PA PB PC PD PA PB PC PD
PA2 PB PC
PA PB
圆内接四边形的性质与判定定理
(1)圆内接四边形的性质定理 ①定理1：圆内接四边形的对角互补． ②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
(1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2. (2)由切割线定理得 PA2＝PB·PC， 因为 PA＝PD＝DC, 所以 DC＝PA＝2PB，BD＝PB， 由相交弦定理得 AD·DE＝BD·DC，所以 AD·DE＝2PB2.
例 6(13，新课标 2)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D， E，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C 四点共圆． (1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径； (2)若 DB＝BE＝EA，求过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．
例 7(13，新课标 1)如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，
∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于点 D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为 1，BC＝ 3，延长 CE 交 AB 于点 F，
求△BCF 外接圆的半径．
OG
(2)解 由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故 DG 是 BC 边
例 6(13，新课标 2)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D， E，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C 四点共圆． (1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径； (2)若 DB＝BE＝EA，求过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．
(2)圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． ②推论：如果四边形一个外角等于它内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
例 1(2014·湛江模拟)如图，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD 的中点， AE 交于 BC 于 F，则BFFC＝________. 解 如图，过点 D 作 DG∥AF，交 BC 于点 G，易得 FG＝GC，
又在△BDG 中，BE＝DE，即 EF 为△BDG 的中位线，
BF 1 故 BF＝FG，因此FC＝2.
G
例 2(2013·广东卷) 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ 3，BC＝3，BE⊥AC， 垂足为 E，则 ED＝________.
解析 在 Rt△ABC 中，BC＝3，AB＝ 3，所以∠BAC＝60°.
的中垂线，所以 BG＝ 23.设 DE 的中点为 O，连接 BO，则∠BOG＝60°， 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以 CF⊥BF，
故
Rt△BCF
外接圆的半径为
3 2.
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
由相交弦定理得 PA·PB＝PC·PD.
又 PA＝PB＝2，PD＝1，则 PC＝4，∴CD＝PC＋PD＝5.
E
过 O 作 CD 的垂线 OE 交 CD 于 E，则 E 为 CD 中点，
∴OE＝
r2－C2D2＝
7－245＝
3 2.
例 5 (2014·新课标全国卷Ⅱ)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为 切点，割线 PBC 与⊙O 相交于点 B，C，PC＝2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点 E.证明：
(1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2.
(1)连接 AB，AC，由题设知 PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA. 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，
∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而
.因此 BE＝EC.
例 5 (2014·新课标全国卷Ⅱ)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为 切点，割线 PBC 与⊙O 相交于点 B，C，PC＝2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点 E.证明：