高中数学第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列课堂探究教案新人教B版选修2-3

2.1 离散型随机变量及其分布列
课堂探究
探究一 求离散型随机变量的分布列
求离散型随机变量的分布列，首先要确定离散型随机变量X 所有可能的取值，并确定其意义．然后求出各取值对应的概率P (X i )，最后将其列成表格的形式．
【典型例题1】 袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现从中随机地取出3个球，用ξ表示取出球的最大号码，求ξ的分布列．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：①已知黑球的数量和编号；②随机取出3个球．解答本题可先写出ξ的可能取值，再求出ξ中每一个可能值的概率，从而列出分布列．
解：随机变量ξ的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为C 3
6.事件“ξ＝3”包含的基本事件总数为C 3
3；事件“ξ＝4”包含的基本事件总数为C 1
1C 2
3；事件“ξ＝5”包含的基本事件总数为C 11C 2
4；事件“ξ＝6”包含的基本事件总数为C 11C 2
5.从而有P (ξ＝3)＝C 3
3C 36＝120，P (ξ＝4)＝C 11C 2
3C 36＝320，P (ξ＝5)＝C 11C 2
4C 36＝310，P (ξ＝6)＝C 11C 2
5C 36＝12.
所以随机变量ξ的分布列为
探究二 利用离散型随机变量的分布列可求出随机变量在某个范围内取值时的概率，此时可根据随机变量取值的范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可求得对应范围内的概率．
若分布列中的概率取值中含有字母，可利用性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1求出字母的值，求解时注意p i ≥0，i ＝1，2，…，n .
【典型例题2】 (1)若离散型随机变量X 的分布列为
则a ＝__________.
(2)设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i
a
(i ＝1,2,3,4)，求： ①P (X ＝1或X ＝2)；
②P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12<X <72. 思路分析：(1)利用分布列的性质∑n
i ＝1
p i ＝1求解．
(2)先由分布列的性质求a ，再根据X ＝1或X ＝2，12＜X ＜7
2的含义，利用分布列求概率．
(1)解析：由分布列的性质可知 ⎩⎪⎨⎪⎧
0≤4a －1≤1，0≤3a 2
＋a ≤1，4a －1＋3a 2＋a ＝1，
解得a ＝1
3(a ＝－2舍去)．
答案：1
3
(2)解：①因为∑4
i ＝1
p i ＝1a ＋2a ＋3a ＋4
a
＝1，所以a ＝10. 则P (X ＝1或X ＝2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝110＋210＝310
.
②由a ＝10，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝110＋210＋310＝35.
探究三 两类特殊的分布
如果一个随机试验只有两个可能的结果，就可以用二点分布来研究．如果某个随机试验有多个结果，而我们只关心某一事件是否发生时，依然可以将其定义为二点分布．
应用超几何分布，首先要确定所给问题是否是超几何分布问题，若是超几何分布问题，则写出N ，M ，n 的取值，然后利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，写出其分布列．
【典型例题3】 设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )
A ．0 B.1
2
C.13
D.23
解析：因为2P (ξ＝0)＝P (ξ＝1)，且P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝1，所以P (ξ＝0)＝1
3.
答案：C
【典型例题4】 从含有5件次品的20件产品中，任取3件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列；
(2)至少取到1件次品的概率．(精确到0.001)
思路分析：次品数X 服从参数为N ＝20，M ＝5，n ＝3的超几何分布，根据超几何分布的概率公式可求出次品数X 的分布列．
解：(1)根据题意，取到的次品数X 为离散型随机变量，且X 服从参数为N ＝20，M ＝5，
n ＝3的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3，由公式可得随机变量X 的分布列为
(2)P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 15C 2
15C 320＋C 25C 1
15C 320＋C 35C 0
15C 320＝5251 140＋1501 140＋10
1 140＝
525＋150＋101 140＝6851 140≈0.601或P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 05C 3
15C 320＝1－4551 140＝
685
1 140≈0.601.
故至少取到1件次品的概率约为0.601. 探究四 易错辨析
易错点：不能正确理解离散型随机变量分布列的性质而致误 【典型例题5】 若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示：
求常数c 的值．
错解：由9c 2－c ＋3－8c ＝1，得9c 2
－9c ＋2＝0，解得c ＝23或c ＝13
.
错因分析：离散型随机变量的概率分布必须同时满足：(1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；(2)p 1
＋p 2＋p 3＋…＋p n ＝1，错解错在只满足性质(2)而忽略了性质(1)．
正解：由离散型随机变量的性质，得 ⎩⎪⎨⎪⎧
9c 2
－c ＋3－8c ＝1，0≤9c 2
－c ≤1，0≤3－8c ≤1.
解得c ＝13
.。