2020届高考数学一轮复习第5单元 解三角形 B卷

第5单元 解三角形
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在ABC △
中，若BC ，2AC =，45B =︒，则角A 等于（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒
【答案】A
【解析】由正弦定理可得sin sin BC AC A B =
=
1sin 2
A =， 因BC AC <，所以45A
B <=︒，故A 为锐角，所以30A =︒，故选A ．
2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =2，b =3，c =4，则cos C =（ ） A ．14
-
B ．
14 C ．23
-
D ．
23
【答案】A
【解析】a =2，b =3，c =4，根据余弦定理得到22294161
cos 2124
b a
c C ab +-+-=
==-， 故答案为A ．
3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，已知a =4b =，120A =︒， 则△ABC 的面积为（ ） A ．2 B
C ．4
D
．【答案】D
【解析】
因为a =，4b =，120A =︒，所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2c =， 所以△ABC
的面积为1
sin 2
bc A =．故选D ．
4．△ABC 中，60B =︒，2
b a
c =，则△ABC 一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
【答案】D
【解析】△ABC 中，60B =︒，2
b a
c =，()2222
221cos 20022
a c
b B a
c ac a c ac +-=
=⇒+-=⇒-=，故得到a c =，故得到角A 等于角C ，三角形为等边三角形．故答案为D ． 5．钝角△ABC 中，若1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是（ ） A
．
)
B ．()2,3
C
．
)
D
．
【答案】A
【解析】因为钝角△ABC ，所以222
cos 02a b c C ab +-=<，2140c \+-<
，c >
又因为3c a b <+=
，3c <，故选A ．
6．如图，在△ABC 中，45B =︒，D 是BC
边上一点，AD =6AC =，4DC =，则AB 的长为（ ）
A
B
． C
．D
．【答案】B
【解析】
由余弦定理可得222461
cos 2462
C +-==创，60C \=?，
sin sin AB AC C B
=
，得到6
sin sin C AC AB B ×=
=B ． 7．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m
，则河流的宽度是（ ）
A ．)
2401m
B ．)
180
1m
C ．)
30
1m
D ．)
120
1m
【答案】D
【解析】由题意可知：105ABC ∠=︒，45BAC ∠=︒，),2(m A ，
6060120sin sin30AC C ∴=
==︒
，由正弦定理sin sin BC AC
BAC ABC =∠∠，
得)
sin 120sin 45120
1sin sin105AC BAC BC ABC ∠︒=
===∠︒
，
即河流的宽度)
120
1m ，本题正确选项D ．
8．已知ABC
△的面积为AB AC ⋅，则角A 的大小为（ ） A ．60︒ B ．120︒ C ．30︒ D ．150︒
【答案】D 【解析】
cos AB AC c b A ⋅=⋅，又ABC △
的面积为AB AC ⋅，
1sin cos 2S bc A b c A ∴==⋅
，则tan A = 又(0,π)A ∈，150A ∴=︒，故选D ．
9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC △的三个内
角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”
公式为S =若2sin 2sin a C A =，22()6a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC △的面积为（ ） A
B
C ．
12
D ．1
【答案】A
【解析】2sin 2sin a C A =，22a c a ∴=，2ac =，
因为22()6a c b +=+，所以22226a c ac b ++=+，22262642a c b ac +-=-=-=， 从而ABC △
=，故选A ． 10．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为角A 的角平分线，交BC 于D ，
π
4
B =
，AD =2BD =，则b =（ ） A
．B
C ．3
D
【答案】A
【解析】
因为AD =2BD =，π4B =，由正弦定理得sin sin AD BD
B BAD =∠，
即2
πsin sin 4
BAD =
∠，解得1sin 2BAD ∠=， 又由π0,2BAD ⎛⎫
∠∈ ⎪⎝⎭
，所以π6BAD ∠=，则π3BAC ∠=，所以ππ5ππ3412C =--=，
又因为5π
12
ADC B BAD ∠=+∠=
，所以ADC △
为等腰三角形，所以b AD ==，故选A ． 11．已知在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，60A ∠=︒，2a =，则ABC △周长的取值范围是（ ） A ．(0,6) B
．(
2⎤⎦
C ．(4,6]
D
．2⎡⎤⎣⎦
【答案】C
【解析】
根据三角形正弦定理得到
sin sin sin a b c A B C ===，
变形得到,,2b B c C l B C ==， 因为2
π3
B C +=
，
2π2π22cos 24sin 36l B B B B B ⎛⎫⎛⎫
∴=-=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
， 2ππ5ππ10,π,,sin ,1366662B B B ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎤∈+∈∴+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦，
(]4,6l ∴∈，故答案为C ．
12．在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是（ ） A
．
B
．(2
C
．
D
．
【答案】D 【解析】
由题意，平面四边形ABCD 中，延长BA 、CD 交于点E ， ∵∠B ＝∠C ＝75°，∴△EBC 为等腰三角形，∠E ＝30°， 若点A 与点E 重合或在点E 右方，则不存在四边形ABCD ， 当点A 与点E 重合时，根据正弦定理
sin sin AB BC
ECB BEC
=∠∠，
算得AB =
，∴AB <，
若点D 与点C 重合或在点C 下方，则不存在四边形ABCD ， 当点D 与点C 重合时∠ACB ＝30°， 根据正弦定理
sin sin AB BC
ACB BAC
=∠∠
，算得AB =-
，∴AB ，
综上所述，AB
AB <<．故选D ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角C 等于60︒，若4,2a b ==，则c 的长为_______．
【答案
】【解析】因为角C 等于60︒，4,2a b ==，
所以由余弦定理可得222
1
2cos60164242122
c a b ab =+-︒=+-⨯⨯⨯
=，
所以c =
． 14．在ABC △中，π
3
A =，1b =
，a ABC △的面积为______． 【答案
【解析】
π
3
A =
，1b =
，a =， ∴
1
sin B =
，解得1
sin 2
B =，
b a <，B A ∴<，π6B ∴=
，可得ππ2C A B =--=，
11πsin 1sin 222ABC S ab C ∴==⨯=
△
． 15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，
，
，
，则，两点的距离
为______．
【答案】
【解析】由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，∴∠DAC =15°，
由正弦定理得80sin15040
sin15AC ︒==
=︒
，
△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°，∴∠DBC =30°， 由正弦定理，
sin sin CD BC
CBD BDC
=
∠∠，
所以sin 80sin15160sin1540
1sin 2
CD BDC BC CBD
⋅∠⨯︒
=
==︒=∠，
△ABC 中，由余弦定理，2222cos AB AC BC AC BC ACB +=∠-⋅⋅
(
(
1160081600821600
2
=++-+⨯⨯
⨯
16001616004160020=⨯+⨯=⨯，
解得AB = 则两目标A ，B 间的距离为
，故答案为
．
16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若s i n c o s c o s s i n s i n s i n a b C
a B
b A a A b B
c C
+=+-，
且3a b +=，则c 的取值范围为_______．
【答案】3,32⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【解析】因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以由正弦定理可得cos cos a B b A c +=， 又因为sin cos cos sin sin sin ab C
a B
b A a A b B
c C +=+-，
所以由正弦定理可得2
22
abc
c a b c =
+-，
即222a b c ab +-=，所以2222()3c a b ab a b ab =+-=+-， 因为3a b +=，所以2
93c ab =-，因为2
924a b ab +⎛⎫
≤= ⎪⎝⎭
， 当且仅当32
a b ==时取等号，所以27
304ab -≤-<，
所以
99394ab ≤-<，即2994c ≤<，所以332c ≤<，故c 的取值范围为3,32⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC V
中，45,B AC ∠=︒=
cos C ． （1）求BC 边长；
（2）求AB 边上中线CD 的长． 【答案】（1
）（2
【解析】（1）(0,π)C ∈
，sin C ∴=，
sin sin(π)sin cos cos sin A B C B C B C =--=⋅+⋅=
，
由正弦定理可知中：
sin sin sin sin BC AC AC A
BC A B B
⋅=⇒== （2）由余弦定理可知：
2AB =
=，D 是AB 的中点， 故1BD =，
在CBD △中，由余弦定理可知：
CD === 18．（12分）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2sin 2sin sin B A C =． （1）若2a b ==，求cos B ；
（2）若90B ∠=︒且2a =，求ABC V 的面积． 【答案】（1）
14
；（2）2． 【解析】2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理可得22b ac =，
（1）21a b c ==∴=，，由余弦定理222
cos 2a c b B ac +-=，可得1cos 4B =．
（2）90B ∠=︒，由勾股定理可得22222()02b a c ac a c a c =+=⇒-=⇒==，
11
22222
ABC S ac ∴==⋅⋅=△．
19．（12分）如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒
．已知AD
BD =
（1）求sin ABD ∠的值；
（2）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长． 【答案】（1
（2）1BC =． 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AD BD
ABD A =∠∠．
因为60,
A AD BD ∠=︒==
所以sin sin sin 60AD ABD A BD ∠=
⨯∠=︒=． （2）由（1
）可知，sin ABD ∠=
， 因为90ABC ∠=︒，所以(
)cos cos 90sin CBD ABD ABD ∠=︒-∠=∠=
． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠．
因为2,CD BD ==
2462BC BC =+- 即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =．
又CD BC >，则1BC =．
20．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC V 内角A ，B ，C 的对边．角A ，
B ，
C 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列．
（1）求sin sin A C 的值；
（2
）若a ABC V 的周长． 【答案】（1）3
sin sin 4
A C
?；（2）ABC V
的周长为 【解析】（1）角A ，B ，C 成等差数列，2B A C ∴=+，即60B =︒，
sin ,sin sin A B C ，
成等比数列，2
23sin sin sin 4
A C
B \?==
桫
． （2）由（1）可知2sin sin sin A C B ?，即2ac b =， 由余弦定理可得2222cos60b a c ac =+-?， 化简得2()0a c -=
，即a c =
b ，
a b c \++=，因此ABC V
的周长为．
21．（12分）某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，
，（单位：百米），记，且已知圆的内
接四边形对角互补，如图所示．请你为规划部门解决以下问题：
（1）如果
，求四边形的区域面积；
（2）如果圆形公园的面积为
28π
3
万平方米，求的值．
【答案】（1）；（2）
12或1
7
． 【解析】（1）∵πcos cos ADC ABC ADC θ∠+∠=∠=-，， 在
和
中分别使用余弦定理得：
，得1
cos 7
θ=
，
∴sin sin ADC θ∠= ∴四边形的面积()1
sin 2
ABC ADC S S S BA BC DA DC θ=+=
⋅+⋅△△ (
)126442=
⨯+⨯=． （2）∵圆形广场的面积为28π
3
，∴圆形广场的半径R =，
在
中由正弦定理知：2sin AC R θθ==， 在
中由余弦定理知：
，
∴2
4024cos θθ⎫=-⎪⎪⎝⎭
，化简得，
解得1cos 2θ=
或1
cos 7
θ=． 22．（12分）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π02B <<
，b ，22a c +-1
sin sin tan 12
A C
B =
． （1）求内角B 的大小；
（2）求(2)(2)a c b a c b +++-的最大值． 【答案】（1）π6B =
（2
【解析】（1）3b =
，22
1sin sin tan 12a c A C B +-=，
222sin sin tan a c A C B b ∴+-=，即222sin sin tan a c b A C B +-=，
由余弦定理得2cos sin sin tan ac B A C B =，2tan sin sin cos ac B A C B
∴
=，
由正弦定理得222tan cos sin b B
B
B =，即222cos sin tan b B B B =，
231
cos sin 6B B ∴=，231sin 6sin B B ∴-=，即326sin sin 10B B +-=， 变形得2(2sin 1)(3sin 2sin 1)0B B B -++=，解得1sin 2
B =
， π02B <<
，∴π6
B =． （2）3b =
，π6B =，∴由余弦定理得22
π12cos 612a c ac +-=，
化简得22112a c +=
，2
1()(212a c ac ∴+-=，
2()4a c ac
+≤
，(2ac ∴-
+≥，
2
()(2a c ac ∴+-
≥
， 112
≤
，2()a c ∴
+≤ 22(2)(2)()4a c b a c b a c b ∴+++-=+-≤
，当且仅当a c =时等号成立， ∴(2)(2)a c b a c b +
++-。