2019-2020人教A版文科数学课时试题及解析(15)导数与函数的极值、最值A

课时作业(十五)A [第15讲 导数与函数的极值、最值]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．下列命题中正确的是( )
A ．导数为0的点一定是极值点
B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是极大值
C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是极小值
D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是最小值
2．函数y ＝x ＋1x
的极值情况是( ) A ．既无极小值，也无极大值
B ．当x ＝1时，极小值为2，但无极大值
C ．当x ＝－1时，极大值为－2，但无极小值
D ．当x ＝1时，极小值为2，当x ＝－1时，极大值为－2
3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝－1，则( )
图K15－1
A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点
B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点
C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点
D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点
能力提升 5． 函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1a
处有极值，则ab 的值为( ) A ．2 B ．－2
C ．3
D ．－3
6．设函数f (x )＝2x ＋1x
－1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值
C ．是增函数
D ．是减函数
7． 若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
8．已知函数f (x )＝12
x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．m ≥32
B ．m >32
C ．m ≤32
D ．m <32 9． 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能．．．为y ＝f (x )的图象是( )
图K15－2
10．函数f (x )＝12
x 2－ln x 的最小值为________． 11． 已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________.
12．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．
13．已知函数f (x )＝13
x 3－bx 2＋c (b ，c 为常数)．当x ＝2时，函数f (x )取得极值，若函数f (x )只有三个零点，则实数c 的取值范围为________．
14．(10分)已知函数f (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＋1，仅当x ＝－1，x ＝1时取得极值，且极大值比极小值大4.
(1)求a 、b 的值；
(2)求f (x )的极大值和极小值．
15．(13分)已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.
(1)若f (x )在x ＝1时有极值－1，求b 、c 的值；
(2)在(1)的条件下，若函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝k 的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．
难点突破
16．(12分)已知函数f (x )＝x ln x .
(1)求f (x )的最小值；
(2)若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1成立，求实数a 的取值范围．
课时作业(十五)A
【基础热身】
1．B [解析] 根据可导函数极值的判别方法，如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值，反之是极小值，而导数为0的点不一定是极值点．
2．D [解析] 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ′＝1－1x 2＝x 2－1x 2，令y ′＝0，
3．D [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意得f ′(－3)＝0，解得a ＝5.
4．A [解析] x 1、x 4是导函数的不变号零点，因此它们不是极值点，而x 2与x 3是变号零点，因此它们是极值点，且x 2是极大值点，x 3是极小值点．
【能力提升】 5．D [解析] 由f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝3a ⎝⎛⎭
⎫1a 2＋b ＝0，可得ab ＝－3.故选D. 6．A [解析] 由题意可得f ′(x )＝2－1x 2(x <0)，令f ′(x )＝0得x ＝－22
(舍正)， 列表如下：
f (x )在－∞，－22单调递增，在－22
，0单调递减，故选A. 7．D [解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，
∵f (x )在x ＝1处有极值，
∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6，
∵a >0，b >0，
∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9，故选D.
8．A [解析] 因为函数f (x )＝12
x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272
，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32
. 9．D [解析] 设F (x )＝f (x )e x ，
∴F ′(x )＝e x f ′(x )＋e x f (x )＝e x (2ax ＋b ＋ax 2＋bx ＋c )，
又∵x ＝－1为f (x )e x 的一个极值点，
∴F ′(－1)＝e －1(－a ＋c )＝0，即a ＝c ，
∴Δ＝b 2－4ac ＝b 2－4a 2，
当Δ＝0时，b ＝±2a ，即对称轴所在直线方程为x ＝±1；
当Δ>0时，⎪⎪⎪⎪b 2a >1，即对称轴在直线x ＝－1的左边或在直线x ＝1的右边．
又f (－1)＝a －b ＋c ＝2a －b ＜0，故D 错，选D.
10.12 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
f ′(x )＝x －1x >0，x >0，得x >1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )＝x －1x <0，x >0，得0<x <1， ∴f (x )在x ＝1时，取得最小值f (1)＝12－ln1＝12. 11．11 [解析] f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝0，f ′(－1)＝0，即
⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋3m －n －1＝0，－6m ＋n ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3，检验知当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3
时，函数没有极值．所以m ＋n ＝11. 12．4 [解析] ∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝0.
∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，
则x ＝0或x ＝2，∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.
13.⎝⎛⎭⎫0，43 [解析] ∵f (x )＝13
x 3－bx 2＋c ，∴f ′(x )＝x 2－2bx .∵x ＝2时，f (x )取得极值，∴22－2b ×2＝0，解得b ＝1.∴当x ∈(0,2)时，f (x )单调递减，当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增．
若f (x )＝0有3个实根，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝c >0，f (2)＝13×23－22＋c <0，解得0＜c ＜43. 14．[解答] (1)∵f (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＋1，
∴f ′(x )＝5x 4＋3ax 2＋b .
∵x ＝±1时有极值，∴5＋3a ＋b ＝0，∴b ＝－3a －5①，
代入f ′(x )得f ′(x )＝5x 4＋3ax 2－3a －5＝5(x 4－1)＋3a (x 2－1)＝(x 2－1)[5(x 2＋1)＋3a ] ＝(x ＋1)(x －1)[5x 2＋(3a ＋5)]．
∵f (x )仅当x ＝±1时有极值，∴5x 2＋(3a ＋5)≠0对任意x 成立．
∴3a ＋5>0，a >－53
. 考察f (x )、f ′(x )随x 的变化情况：
∴f (－1)－f (1)＝4，即[(－1)5＋a (－1)3＋b (－1)＋1]－(15＋a ·13＋b ·1＋1)＝4，
整理得a ＋b ＝－3②，
由①②解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－2. (2)∵a ＝－1，b ＝－2，
∴f (x )＝x 5－x 3－2x ＋1.
∴f (x )的极大值为f (－1)＝3.
f (x )的极小值为f (1)＝－1.
15．[解答] (1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，
∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .
由已知得f ′(1)＝0，f (1)＝－1，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
3＋2b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＋2＝－1，解得b ＝1，c ＝－5. 经验证，b ＝1，c ＝－5符合题意．
(2)由(1)知f (x )＝x 3＋x 2－5x ＋2，
f ′(x )＝3x 2＋2x －5.
由f ′(x )＝0得x 1＝－53
，x 2＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 根据上表，当x ＝－53
时函数取得极大值且极大值为f ⎝⎭⎫－53＝22927，当x ＝1时函数取得极小值且极小值为f (1)＝－1.
根据题意结合上图可知k 的取值范围为⎝
⎛⎭⎫－1，22927. 【难点突破】
16．[解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )的导数f ′(x )＝1＋ln x .
令f ′(x )>0，解得x >1e ；令f ′(x )<0，解得0<x <1e
. 从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 单调递减，在⎝⎛⎭
⎫1e ，＋∞单调递增． 所以，当x ＝1e 时，f (x )取得最小值－1e
. (2)法一：令g (x )＝f (x )－(ax －1)，则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝1－a ＋ln x ，
①若a ≤1，当x >1时，g ′(x )＝1－a ＋ln x >1－a ≥0，
故g (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以，x ≥1时，g (x )≥g (1)＝1－a ≥0，即f (x )≥ax －1.
②若a >1，方程g ′(x )＝0的根为x 0＝e a －1，
此时，若x ∈(1，x 0)，则g ′(x )<0，故g (x )在该区间为减函数．
所以x ∈(1，x 0)时，g (x )<g (1)＝1－a <0，
即f (x )<ax －1，与题设f (x )≥ax －1相矛盾．
综上，满足条件的a 的取值范围是(－∞，1]．
法二：依题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立，
即不等式a ≤ln x ＋1x
对于x ∈[1，＋∞)恒成立． 令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝1x ⎝
⎛⎭⎫1－1x . 当x >1时，因为g ′(x )＝1x ⎝
⎛⎭⎫1－1x >0，
故g(x)是(1，＋∞)上的增函数，所以g(x)的最小值是g(1)＝1，所以a的取值范围是(－∞，1]．。