第二讲 二次根式(2)
《二次根式》课件
知识梳理
一般地，我们把形如
概念
（a≥0）
的式子叫做二次根式. 其中“
1 ”
称为二次根号.
二
次
根
式
有意义
的条件
被开方数（式子）为非负数，
（a≥0）
性质
（a≥0）,二次根式的被开方数非负
≥0（a≥0），二次根式的值非负
二
次
根
式
（ ）2 = a （a≥0）
拓展
(
≥
0)
2 = = ቊ
.
3.已知 + 2与 − + 3 互为相反数，
求（ + ）2020 的值.
技巧点拨：解答本类问题时，常先依据“若几
个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0”
列出方程组，然后解方程组求出字母的值，再
把字母的值代入相关式子求值.
解： ∵
+ 2与 − + 3 互为相反数，
（4）原式 = 3 − = − 3.
7
− .
4
注意：（1）三类常见的非负数： ， ，2 .
2
（2）若 + + = 0，则 = 0， =
0， = 0，即若几个非负数的和等于0，则这几
个非负数均为0.
（3）化简形如 2 的式子时，要先转化为 ，
再根据a的符号去掉绝对值符号.
① （a≥0），二次根式的被开方数非负；
② ≥0（a≥0），二次根式的值非负.
（2）（ ）2 = （a≥0）.
（3）
2
≥0 ,
= =ቊ
− < 0 .
4. 代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
二次根式课件
式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式
左边，只要ab≥0即可.
逆用二次根式乘法法则化简的步骤：
1.将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简 18
时，先把 18化成
2.利用
32 × 2的形式;
= ⋅ （a≥0，b≥0）和
2 =
（a≥0），将能开得尽方的因数或因式开到根号外，
2.7 二次根式
知识回顾
（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平
方根或二次方根. a叫做被开方数，a的平方根是 ± .
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平
方根，记作
， 0的算术平方根是0.
如
18 =
32 × 2 = 3 2.
拓展： = ⋅ ⋅
（a≥0，b≥0，c≥0）.
例4
化简：
（1） 16 × 81； 2
42 3 .
在本章中，如果没有
特别说明，所有的字
母都表示正数.
解：（1） 16 × 81= 16 × 81 = 4 × 9 = 36；
（2） 42 3 = 4 ∙ 2 ∙ 3 = 2
1
3−
在实数范围内有意义.
分母不能为0
解：（3）因为不论a为何值，（a+1）2 ≥0恒成立，
∴a取任意实数， （ + 1）2 在实数范围内都有意义.
当二次根式的被开方数出现完全平方公
式或能配方成完全平方公式时，其中所
含字母取任意实数，二次根式在实数范
围内都有意义.
新知探究 知识点3：二次根式的性质
二次根式的有关概念及性质专题(教案)
在今天的教学过程中，我发现学生们对于二次根式的概念和性质的理解存在一些困难。在讲解二次根式的定义时，我意识到需要更多具体的例子来帮助学生形象地理解被开方数和根指数的概念。例如，通过展示√9=3和√(-3)²=3的例子，学生们更能明白被开方数的正负性对于二次根式的意义。
在讲授二次根式的性质时，我发现学生们在运用这些性质进行化简和计算时容易出现混淆。我意识到，除了提供例题，还需要让学生们通过小组讨论和实际操作来加深记忆。比如，在讲解性质（1）√a²=|a|时，可以让同学们通过剪纸活动来直观感受这一性质。
1.培养学生的数学抽象能力：通过二次根式的学习，使学生能够从具体问题中抽象出数学模型，理解并运用二次根式表示实际问题中的数量关系。
2.提高学生的逻辑推理能力：引导学生通过探索二次根式的性质，培养其从特殊到一般的推理方法，并能运用这些性质进行数学证明和解决问题。
3.增强学生的数学运算能力：让学生掌握二次根式的化简与计算方法，提高四则运算的速度和准确性，培养解决实际问题时运用数学运算的能力。
举例：解释为什么√(-3)²=3，而非-3。
（2）二次根式性质的灵活运用：学生在运用二次根式性质进行化简和计算时，容易忘记或混淆性质，导致错误。
举例：在计算√2+√8时，学生可能会直接相加，而忘记化简为√2+2√2。
（3）二次根式的混合运算：学生在进行二次根式的混合运算时，容易出错，如加减乘除运算的顺序和法则。
举例：解释为什么(√2+√3)(√2-√3)=1，而非0。
（4）实际问题中的二次根式应用：学生往往难以将实际问题转化为二次根式的数学模型，从而解决问题。
举例：在求边长为√3的等边三角形面积时，学生可能不知道如何应用二次根式。
绝对值与二次根式-
第二讲 绝对值与二次根式【基础知识】 一、绝对值1、绝对值代数定义：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。
有时也可以记为：(0)(___0)||(0)(___0)a a a a a a a a a ≥⎧⎧=⎨⎨-<-⎩⎩或者 2、绝对值几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作|a|.如：|-2|表示-2的点到原点的距离；|x|则是在数轴上表示x 的点到原点的距离。
那么|x-1|表示在数轴上(x-1)的点到原点的距离.显然绝对值是非负数，即||0a ≥ 3、绝对值的基本性质：(1)任何一个数的绝对值一定是非负数，即 |a|≥0；(2)若干个非负数的和为零，则每个非负数为零；|a|+|b|+|c|=0，则a=0且b=0且c=0 (3)互为相反数的绝对值相等，即|a|=|-a|(4)任何一个数的绝对值都大于或等于它本身，即|a|≥ a ；|x||-2||x-1|1O-1-2x-1x(5)任何一个数都有唯一的绝对值； (6)绝对值最小的数是零；(7)两个互为相反数的数的绝对值相等，即 |a|=|-a|；(8)绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数。
绝对值为零的数只有一个零；(9)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数.即||||0a b a b a b =⇒=+=或二、二次根式1、二次根式的定义：式子(0)a a ≥叫做二次根式。
2、二次根式的性质： (1)2(0)||(0)a a a a a a≥⎧==⎨-<⎩ (2)0a ≥(3)2()(0)a a a =≥(4)(0,0)ab a b a b =≥≥；(0,0)a a a b b b=≥> (5)0a b a b >⇔>≥ 【典型例题】 一、化简求值例1计算下列各式的值:①|3|π-；②02(1sin 60)-；③2|1|x x -+;解: ①∵3<π,即3-π<0,∴|3|π-=π-3;②02(1sin 60)-=033|1sin 60||1|122-=-=-.③22131()44x x x x -+=-++213()024x =-+> 所以22|1|1x x x x -+=-+注: ①化简主要是去绝对值符号, 要去绝对值符号,就得讨论绝对值里面的数或式是正还是负.②对于含有字母的代数式不一定要分类讨论,二次三项式往往采用“配方法”来判断是不是一个非负数. “配方法”是一种重要的数学方法. 例2 化简2||2x x +-解:当x<0时, 2||2x x +-=22x x -- 当x>0时, 2||2x x +-=22x x +-所以2222(0)||22(0)x x x x x x x x ⎧--<+-=⎨+-≥⎩注:x 的符号可“+”可“-”，还可以为“0”，因此，应该对x 进行分类讨论；最后应该有小结，就是把两种结果写在一起，使书写规范.例3 化简222692144x x x x x x +++-++-+ 解:原式=222(3)(1)(2)x x x +++--|3||1||2|x x x =++-+-以下利用零点区间讨论法,显然零值点有-3，1，2三点. 当x ≤-3时,原式=(-x-3)+(1-x)+(2-x)=-3x 当-3<x ≤1时, 原式=(x+3)+(1-x)+(2-x)=-x+6当1<x ≤2时, 原式=(x+3)+(x-1)+(2-x)=x+4 当x>2时, 原式=(x+3)+(x-1)+(x-2)=3x综上所述，原式= 3(3)6(31)4(12)3(2)x x x x x x x x -≤-⎧⎪-+-<≤⎪⎨+<≤⎪⎪>⎩注: 零点区间讨论法是一种重要的数学方法.例4 化简 ||x-1|-2|+|x+1|解:先找零点：|1|01 |1|201|1|01x xx xx x-==⎧⎧⎪⎪--=⇒=-⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩或3所以零值点有－1，1，3三点，因此，我们应将数轴分成4部分．当x<-1时，原式=|-(x-1)-2|+[-(x+1)]=|-x-1|-x-1=-x-1-x-1=-2x-2当-1≤x≤1时,原式=|-(x-1)-2|+x+1=|-x-1|+x+1=x+1+x+1=2x+2当1≤ｘ＜3时，原式=||x-1|-2|+x+1=|x-3|+ x+1=3-x+x+1=4 当ｘ≥3时，原式=|x-1-2|+x+1=|x-3|+x+1=x-3+x+1=2x-2综上所述，原式＝22(1) 22(11) 4(13) 22(3)x xx xxx x--<-⎧⎪+-≤<⎪⎨≤<⎪⎪-≥⎩注: ①本题条件没有给出绝对值符号内的代数式的正负性，应采用零点区间讨论法．须注意的是本题含双重绝对值，应注意考虑||x-1|-2|的零点．②“分类讨论”是一种非常重要的数学思想, 绝对值问题经常采用这种数学思想.二、条件化简求值例5 化简2(3)|4|(34) x x x-+-<<解：因为3<x<4,所以x-3>0,x-4<0,所以原式= x-3+4-x=1.例6已知x＜-3，化简：|3+|2-|1+x|||．解 :原式=｜3+｜2+(1+x)|| (因为1+x＜0)=｜3+｜3+x||=｜3-(3+x)｜ (因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．注: ①这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号；②充分利用已知条件,是解决例5例6的关键,正确运用绝对值的概念是解决例5例6根本.例7 已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜.解：观察数轴得：a<0,b<0,c>0且|a|>|b|>|c|, 所以b-a>0,a+c<0,c-b>0 故｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜ =(b-a)+(-a-c)+(c-b) =-2a注:解决本题充分利用了“数”与“形”的结合.“数形结合”又是数学中的重要数学思想. 例8 已知24|34|0:x x y x y -+-+=，求值.解:由非负数的意义得:2402:1:13402x x x y x y y -==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨-+==⎩⎩.例9 已知212005|1|04x y x ++-+=，求2008200520052y x +⨯的值. 解: 212005|1|04x y x ++-+=20051()2005|1|02x y ⇒-++=10210x y ⎧-=⎪⇒⎨⎪+=⎩ 121x y ⎧=⎪⇒⎨⎪=-⎩20082005200520082005200512(1)2()1122y x ⇒+⨯=-+⨯=+=注:非负数的和为0，那么每个非负数都应为0，你能证明吗？初中常见的非负数有哪些？例10 方程|||1|0xy x y +-+=的图象是（ ）（A ）三条直线：x=0，y=0，x-y+1=0 （B ）两条直线： x=0，x-y+1=0 （C ）一点和一条直线：(0,0)，x-y+1=0 （D ）两个点：(0,1)，(-1,0)Ob ac解:由已知，根据非负数的性质，得010xy x y =⎧⎨-+=⎩即010x x y =⎧⎨-+=⎩或010y x y =⎧⎨-+=⎩解之得：01x y =⎧⎨=⎩或10x y =-⎧⎨=⎩故原方程的图象为两个点：(0,1)，(-1,0).注:利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决.例11 实数a 满足||01a a a +=≠-，， 那么||1|1|a a -=+ .解:由||01a a a +=≠-，， 可得 0a ≤且1a ≠- 当1a <- 时，||111|1|(1)a a a a ---==+-+；当10a -<≤ 时，||111|1|1a a a a ---==-++.所以1(1)||11(10)|1|a a a a <-⎧-=⎨--<≤+⎩注: ①有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论.②若|a|=a ，则a 0；若|a|=-a,则a 0；如果2(2)2x x -=-，则x 0. ③在解决有关数学问题时，经常采用“逆向思维”. 三、求最大（小）值例12 式子|1||2||3|x x x ++-+-的最小值是_________。
《二次根式》PPT课件(第2课时)
《二次根式》PPT课件(第2课时)人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件(第2课时)，共39页。
学习目标1. 经历探索性质(√a)² = a（a≥0）和(√a²) = a（a≥0）的过程，并理解其意义，体验归纳、猜想的思想方法.2. 会运用二次根式的两个性质进行化简计算.3. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.探究新知(√a)² （a≥0) 性质（1）什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.a的平方根是±√a（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根.用√a (a≥0)表示.(√a²) （a≥0) 的性质即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.代数式的定义（1）含有数或表示数的字母；（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.列代数式（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．... ... ...关键词：二次根式PPT课件免费下载，.PPTX格式；。
《二次根式》PPT(第2课时)
取值范围是（ B ）
A.x为任意实数
B.1≤x≤4
C.x≥1
D.x≤4
【分析】
|1−x|−
− 4 2 ＝|1−x|−|x−4|，而结果是2x−5，
∴ 1−x≤0且x−4≤0，即1≤x≤4.
随堂训练
1 − 2 2 ＝2a−1，那么（ D ）
3.如果
1
2
B.a≤
1
2
D.a≥
A.a＜
C.a＞
1
2
1
这就是说，当a≥0时， ≥0.
新课导入
问题2 二次根式 ( )2 的被开方数a的取值范围是什么？
它本身的值又是什么？
当a＞0时， ( )2 表示a的算术平方根的平方，因此 ( )2 ＝a；
当a=0时， ( )2 表示0的算术平方根的平方，因此 ( )2 ＝0 ，
这就是说，当a≥0时， ( )2 =a.
练一练
3.若 − 2＋9与|x−y−3|互为相反数，则x＋y的值为（ D ）
A.3
B.9
C.12
D.27
【分析】
根据互为相反数的两数相加得0，
可知 − 2＋9＋|x−y−3|＝0，
所以ቊ
− 2＋9＝0，
＝15，
解得 ቊ
即x＋y＝27.
− − 3＝0，
＝12，
知识讲解
例3
解：由题意，得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+4×2=9，
∴x+4y的平方根为±3.
随堂训练
1.下列运算中不正确的是（
A.
2
2
B. 3D2 ＝3
《二次根式》PPT课件(第2课时)
需要注意的几点：
1.在 a b a （
b a 0, b 0) 中被开方数一定是积的形式，
不能出现
a2 b2 a2 b2 的错误．
2.最后要检验开出来的数(式)及留在根号内的数(式)，要
保证它们都是非负数．
★ 练一练
A .
(1) x 2 1 x 1 x 1成立的条件是______
4x
9x • x
7 2 2 7 2；
22 • x 2 x
；
2
(3 x)
3x
2 x ( x) 2 x x .
2
2
课堂小结
a b a b a 0，b 0
二次根式
的 性 质
a
a
a 0，b＞0
b
b
二次根式
最简二次根式
二次根式的被开方式
中都不含分母，并且
也都不含能开得尽方
的因式
2
2
与其他的二次根式不同
2
被开方数中不含能开
得尽方的因数或因式
2
2
被开方数不含分母
一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，
我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.
简记为：
不含分母
不含小数
不含平方
★ 练一练
1、下列根式是最简二次根式的是( C )
1
A. 3
B.
0.3
C. 3
D.
20
2
2.在二次根式 ，12，30， x 2 , 40 x 2 , x 2 y 2中，
15.1 二次根式
第2课时
- .
学习目标
二次根式课件
知识回顾
1.13的平方根是 ± 13 ，13的算术平方根是
13 .
2.如果x2=9，那么x= ±3 .
正数有两个平方根，
3.如果x2=0，那么x= 0
它们互为相反数,
4.如果x2=-5，那么实数x
5.如果x2=a(a≥0)，那么x=
.
无解 .
0的平方根是0,
± .
负数没有平方根.
学习目标
1.了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式(根
式子是否相等，借助计算器验证.
67 与 6 7 ，
6
6
与
.
7
7
知识点2：二次根式的性质
ab a · （
b a 0， b 0），
a
b
a
（ a 0， b 0），
b
积的算术平方根，等于各个因式算术平方根
的积；
商的算术平方根，等于被除数的算术平方根
除以除数的算术平方根.
例1 化简：
被开方数不含分母
不含能开得尽方的因数或因式
5
（3） 2;
解：（3） 原式 =
（4） 48.
5 5× 2
=
2 2× 2
=
10
2
（4） 原式 = 16 × 3 = 4 3
3.把下列二次根式化成最简二次根式.
4
（1） 32 ；
（2） 40 ； （3） 1.5 ； （4） .
3
解：（1） 32 = 16 × 2 = 16 × 2 = 4 2;
（2）
2.7.1 二次根式
知识回顾
（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？
一般地，如果一个数的平方等于a，即 2 = , 那么这
二次根式的概念 经典课件(最新版)
当x=9时， x 2 9 2 7.
（3）要使式子
1 x 1
有意义，则x的取值范围是（ A）
A. x>1
B. x>-1
C. x ≥1
D. x ≥-1
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等 式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
初中数学课件
（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2016, 所以x+2y=1+2×2016=4033.
归纳 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初 中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
当堂练习
初中数学课件
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）
a C D
想一想：
当x是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
初中数学课件
二 二次根式的双重非负性
思考: 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平
方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号，a叫做被开方数.
要点提醒
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
初中数学课件
典例精析
例1 下列各式是二次根式吗?不含二次根号
被开方数是负数
(1) 32, (2) 6, (3)
是
不是
(4) -m 当m>0时被开 方数是负数
21.1二次根式2
(1)因 为 a 1 0， 所 以 a 1 .。
即 : a 1时 ， a 1有 意 义 。 (2)因 为2a 3 0， 所 以 a 3 。
2 即 :当 a 3 时 ， 2a 3有 意 义 。
2
当a 0时， a表示a的算术平方根， 因此 a 0; 当a 0时， a表示0的算术平方根， 因此 a 0。 这 就是说，
a 2 a (a 0).
例3化简 :
(1)
16
(2)
52 .
解 : (1)
(2)
16 42 4;
52 52 5.
1.计算 :
2
(1)
3 3
(2)
3 2 2 32 ( 2)2 9 2 18
2.说出下列各式的值:
(1) 0.32 0.3
(2)
1 2
1
2
1
7 7 7
因为x3 0,所以x 0.
即 :当x 0时， x3 有意义。
设 : 矩 形 的 边 长 分 别 为 2 x 、3 x 。
由 矩 形 面 积 公 式 得 :2x 3x 18
6x2 18 x2 3
x1 3 , x2 3 (舍 )
所 以 2 x 2 3 ,3 x 3 3。
也 就 是 矩 形 的 边 长 分 别 为 2 3、3 3。
(3) 2 2
(4) 102
1 102
1 2 1 10 10
a (a 0) 是一个非负数。
2
4
1
0
3
Hale Waihona Puke 4是4的算术平方根 ， 根据算术平方根的意义 ，
4是一个平方等于 4的非负数 。 因此 4 2 4。
同理， 2， 1，0分别是2，1，0的算术平方
16.1 二次根式2-精品课件
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
2 a 0， b 2 0
而 2a b2 0
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
实数p在数轴上的位置如图所示，化简
x0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
(8) 3 x | x | 4
解：由３－x≥０ 得 由｜x｜－４≠０
x≤３ 得 x≠±４
所以当 x ≤３且x≠－４时，
3 x 有意义 | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
1、练习册16.1 2、一课一练P1-2
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是___3____x____0
∵
2x+6≥0 -2x＞0
∴
x≥-3 x＜0
?
12 n为一个整数,
求自然数n的值.
-
代数式 a (a 0)叫做二次根式.
代数式 a (a 0)叫做二次根式.
1.二次根式的两个特征：
（1）根指数为2
形
（2）被开方数大于等于零
质
2. a可以是数,也可以是式.
如 2, 2 , a2 1, b2 4ac (b2 4ac), 1 (x 2)等
3
x2
《二次根式》PPT(第2课时二次根式的性质)
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解： (1) ( 1.5)2 1.5;
积的乘方：
(2) (2
5)2 22 (
5)2
45
（ab）2=a2b2
20.
二 a2 (a 0) 的性质
填一填：
a
-4
平方运算
a2
算术平
（-4）2=16 方根
a2
4
0
02=0
0
1
12=1
1
-1
（-141）2 2=1161
1
观察：两 者有什么 关系？
思考：根据前面得出的结论填一填，并说明理由．
一、导入新课：
导入2
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《二次根式》课件
1.13的平方根是 ± 13 ，13的算术平方根是
2.如果x2=9，那么x= ±3 .
3.如果x2=0，那么x=
0
正数有两个平方根，
.
4.如果x2=-5，那么实数x 无解 .
5.如果x2=a(a≥0)，那么x=
13 .
± .
它们互为相反数,
0的平方根是0,
负数没有平方根.
学习目标
1.理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的
∴a取任意实数， （a+1）2 在实数范围内都有意义.
当二次根式的被开方数出现完全平方公
式或能配方成完全平方公式时，其中所
含字母取任意实数，二次根式在实数范
围内都有意义.
随堂练习
1. 下列式子中一定是二次根式的是（ C ）
A. + B.
3
−7 C. 2 + 4 + 4 D. 2 − 1
条件.
2.利用二次根式的概念解决具体问题.
课堂导入
圆形喷泉的面积为 70πm², 那么它的半径是多少？
圆的面积公式是 S=πr²,所以
半径 r = 70m.
这个式子有什么特
点呢？
新知探究
思考 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么
共同特点：
（1）面积为 3 的正方形的边长为
正方形的边长为
3 ，面积为 S 的
（1） − 1. （2）
1
3−
. （3）
( + 1)2 .
解：（1）由 a-1≥0 得，a≥1.
被开方数为非负数
∴当 a≥1时， − 1 在实数范围内有意义.
（2）由
1
3−
≥0 且 3-a≠0 得，a<3.
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第二讲
二次根式（2）
1．以下二次根式：①
12；②2
2；③
23
；④
27中，与3是同类二次根式的是（ ）
． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 2．下列各式：①3
3+3=63；②1
7
7=1；③2+6=8=22；④24
3
=2
2，其中错误的有（ ）
． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 3.下列各等式成立的是（ ）． A ．4
5×25=8 5 B ．53×42=205 C ．43×32=75 D ．53×42=206
4．已知t <1，化简1212---+t t t 得（ ）．
A ．22-t
B ．2t
C ．2
D ．0
5．在下列各式中，化简正确的是（ ） A ．
53
=3
15 B ．
12
=±1
22 C ．4a b =a 2 b D ．
32x x -=x 1x -
6．计算
112121335
÷÷的结果是（ ）． A ．
2
7
5 B ．
2
7
C ．2
D ．
27
7．化简26的结果是（ ） A ．2 B ．6 C ．1
36 D ．6
8．如果
x y
（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）．
A ．
x y （y>0） B ．xy （y>0） C ．
xy y
（y>0） D ．以上都不对 9．化简a
1a
-
的结果是（ ）． A ．a - B ．a C ．-a - D ．-a
10．把（a-1）
11
a -
-中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）
． A ．1a - B ．1a - C ．-1a - D ．-1a - 11．分母有理化:(1)
132
=_______; (2)
112=______; (3) 1025
=____. 12．已知x=3，y=4，z=5，那么yz xy ÷的最后结果是_______．
13．在
8、1
753
a 、
2
93
a 、
125、3
23a a
、3
0.2、-2
18
中，与3a 是同类二次根式的有________．
14．计算二次根式5a -3b -7a +9b 的最后结果是________．
15．若最简二次根式
22
323
m -与212410n m --是同类二次根式，则m =________、n =________. 16．计算：32n n m m ·（-3
3
1n m m ）÷
32n m （m>0，n>0）
17.已知996
6
x
x x x --=
--，且x 为偶数，求（1+x ）22541
x x x -+-的值．
18．已知
5≈2.236，求（80-
41
5）-（13
5+4455
）的值．（结果精确到0.01）
19．先化简，再求值．（6x
y x +3
3
xy y
）-（4x
x y
+36xy ）
，其中x=3
2
，y=27．
20．若x 、y 为实数，且y=22
4412
x x x -+-++，求
x y x y +- 的值．
21.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
121
+=_______， 132
+
=________， 同理可得：
143
+
==_______， …… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
（121++132
+
+
143
+
+……
120022001
+
）（2002+1）的值．。