八年级数学上册第一部分课时拔尖13等边三角形的性质与判定习题课件新版苏科版
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＋∠ BPE ，即∠ EPH ＝∠ APB .
∠＝∠，
在△ APB 和△ EPH 中，ቐ＝，
∴△ APB
∠＝∠，
≌△ EPH (ASA)，∴ PA ＝ PE .
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(3)【拓展延伸】当点 P 在射线 CB 上移动时，用等式表示
线段 BC ， BP ， BE 之间的数量关系，并说明理由.
序号).
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3. 【新考法·分类讨论法·2024南通期末】某兴趣小组在学习
了三角形的相关知识后，对等边三角形进行了再探究.在
等边三角形 ABC 中，过点 B 作射线 BM ∥ AC ，在射线
CB 上取一点 P (不与点 B ， C 重合)，作∠ APE ＝60°，
∠ APE 的边 PE 交射线 BM 于点 E .
解：(3)当点 P 在线段 BC 上时， BC ＝ BP ＋ BE ；当点
P 在线段 CB 的延长线上时， BE ＝ BP ＋ BC . 理由如
下：当点 P 在线段 BC 上时，由(2)可知：△ APB ≌△
EPH ，∴ AB ＝ EH ，∵△ ABC 是等边三角形，∴ AB
＝ BC . ∴ BC ＝ EH ＝ BE ＋ BH ＝ BE ＋ BP .
∠ EDP ＝180°－∠ BDP ＝120°，
∴∠ BPD －∠ APD ＝∠ APE －∠ APD ，
即∠ APB ＝∠ EPD .
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∵∠ ABP ＝180°－∠ ABC ＝120°，
∴∠ EDP ＝∠ ABP . 在△ APB 和△ EPD 中，
∠＝∠，
∴△ APB ≌△ EPD (ASA)，∴ ED ＝
ቐ＝，
∠＝∠，
AB ，∴ ED ＝ BC . ∴ BE ＝ BD ＋ ED ＝ BP ＋ BC . 综
上，当点 P 在线段 BC 上时， BC ＝ BP ＋ BE ，当点 P
在线段 CB 的延长线上时， BE ＝ BP ＋ BC .
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第一部分
课时拔尖13
课时拔尖3道题
等边三角形的性质与判定
1. [2024福州台江区期末]如图，∠ MON ＝60°，以点 O 为
圆心，适当长为半径画弧，交 OM 于点 A ，交 ON 于点
B ；分别以点 A ， B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，
两弧在∠ MON 的内部相交于点 P ，画射线 OP ；连接
点 A ， E 重合)，在 AE 同侧分别作等边三角形 ABC 和等
边三角形 ECD ， AD 与 BE 交于点 O ， AD 与 BC 交于点
P ， BE 与 CD 交于点 Q . 有以下五个结论：① AD ＝
BE ；② PQ ∥ AE ；③ DP ＝ DE ；④△ PCD 为轴对称图
形；⑤∠ AOB ＝60°.其中正确的结论是 ①②⑤ (填
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当点 P 在线段 CB 的延长线上时，在 BE 上截取 BD ＝
BP ，连接 PD ，如备用图.
∵ BM ∥ AC ，∴∠ PBD ＝∠ ACB ＝60°.
又∵ BP ＝ BD ，∴△ BPD 是等边三角形，
∴ PD ＝ PB ，∠ BDP ＝∠ BPD ＝60°，
∴∠ BPD ＝∠ APE ，
是等边三角形，
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∴∠ ACB ＝∠ ABC ＝60°.∵ BM ∥ AC ，∴∠ CBH
＝∠ ACB ＝60°.又∵ BH ＝ BP ，∴△ BPH 是等边三
角形，
∴ PH ＝ BP ，∠ H ＝∠ BPH ＝60°，∴∠ BPH ＝
∠ APE ，∠ ABC ＝∠ H . ∴∠ BPH ＋∠ BPE ＝∠ APE
AB ， AP ， BP ，过点 P 作 PE ⊥ OM 于点 E ， PF ⊥ ON
于点 F ，则以下结论错误的是(
)
1ห้องสมุดไป่ตู้
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A. △ AOB 是等边三角形
B. PE ＝ PF
C. △ PAE ≌△ PBF
D. S△ AOB ＝ S△ APB
答案：D
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2. [2024扬州广陵区期中]如图， C 为线段 AE 上一动点(不与
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(1)【问题解决】如图，若点 P 在线段 CB 上，则图中与
∠ EPB 相等的角为
∠ PAC ；
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(2)【问题探究】在(1)的基础上，猜想线段 PA 与 PE 的数
量关系，并说明理由；
解：(2)猜想： PA ＝ PE . 理由如下：如图，延长
MB 至点 H ，使 BH ＝ BP ，连接 PH . ∵△ ABC
∠＝∠，
在△ APB 和△ EPH 中，ቐ＝，
∴△ APB
∠＝∠，
≌△ EPH (ASA)，∴ PA ＝ PE .
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(3)【拓展延伸】当点 P 在射线 CB 上移动时，用等式表示
线段 BC ， BP ， BE 之间的数量关系，并说明理由.
序号).
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3. 【新考法·分类讨论法·2024南通期末】某兴趣小组在学习
了三角形的相关知识后，对等边三角形进行了再探究.在
等边三角形 ABC 中，过点 B 作射线 BM ∥ AC ，在射线
CB 上取一点 P (不与点 B ， C 重合)，作∠ APE ＝60°，
∠ APE 的边 PE 交射线 BM 于点 E .
解：(3)当点 P 在线段 BC 上时， BC ＝ BP ＋ BE ；当点
P 在线段 CB 的延长线上时， BE ＝ BP ＋ BC . 理由如
下：当点 P 在线段 BC 上时，由(2)可知：△ APB ≌△
EPH ，∴ AB ＝ EH ，∵△ ABC 是等边三角形，∴ AB
＝ BC . ∴ BC ＝ EH ＝ BE ＋ BH ＝ BE ＋ BP .
∠ EDP ＝180°－∠ BDP ＝120°，
∴∠ BPD －∠ APD ＝∠ APE －∠ APD ，
即∠ APB ＝∠ EPD .
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∵∠ ABP ＝180°－∠ ABC ＝120°，
∴∠ EDP ＝∠ ABP . 在△ APB 和△ EPD 中，
∠＝∠，
∴△ APB ≌△ EPD (ASA)，∴ ED ＝
ቐ＝，
∠＝∠，
AB ，∴ ED ＝ BC . ∴ BE ＝ BD ＋ ED ＝ BP ＋ BC . 综
上，当点 P 在线段 BC 上时， BC ＝ BP ＋ BE ，当点 P
在线段 CB 的延长线上时， BE ＝ BP ＋ BC .
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第一部分
课时拔尖13
课时拔尖3道题
等边三角形的性质与判定
1. [2024福州台江区期末]如图，∠ MON ＝60°，以点 O 为
圆心，适当长为半径画弧，交 OM 于点 A ，交 ON 于点
B ；分别以点 A ， B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，
两弧在∠ MON 的内部相交于点 P ，画射线 OP ；连接
点 A ， E 重合)，在 AE 同侧分别作等边三角形 ABC 和等
边三角形 ECD ， AD 与 BE 交于点 O ， AD 与 BC 交于点
P ， BE 与 CD 交于点 Q . 有以下五个结论：① AD ＝
BE ；② PQ ∥ AE ；③ DP ＝ DE ；④△ PCD 为轴对称图
形；⑤∠ AOB ＝60°.其中正确的结论是 ①②⑤ (填
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当点 P 在线段 CB 的延长线上时，在 BE 上截取 BD ＝
BP ，连接 PD ，如备用图.
∵ BM ∥ AC ，∴∠ PBD ＝∠ ACB ＝60°.
又∵ BP ＝ BD ，∴△ BPD 是等边三角形，
∴ PD ＝ PB ，∠ BDP ＝∠ BPD ＝60°，
∴∠ BPD ＝∠ APE ，
是等边三角形，
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∴∠ ACB ＝∠ ABC ＝60°.∵ BM ∥ AC ，∴∠ CBH
＝∠ ACB ＝60°.又∵ BH ＝ BP ，∴△ BPH 是等边三
角形，
∴ PH ＝ BP ，∠ H ＝∠ BPH ＝60°，∴∠ BPH ＝
∠ APE ，∠ ABC ＝∠ H . ∴∠ BPH ＋∠ BPE ＝∠ APE
AB ， AP ， BP ，过点 P 作 PE ⊥ OM 于点 E ， PF ⊥ ON
于点 F ，则以下结论错误的是(
)
1ห้องสมุดไป่ตู้
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A. △ AOB 是等边三角形
B. PE ＝ PF
C. △ PAE ≌△ PBF
D. S△ AOB ＝ S△ APB
答案：D
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2. [2024扬州广陵区期中]如图， C 为线段 AE 上一动点(不与
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(1)【问题解决】如图，若点 P 在线段 CB 上，则图中与
∠ EPB 相等的角为
∠ PAC ；
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(2)【问题探究】在(1)的基础上，猜想线段 PA 与 PE 的数
量关系，并说明理由；
解：(2)猜想： PA ＝ PE . 理由如下：如图，延长
MB 至点 H ，使 BH ＝ BP ，连接 PH . ∵△ ABC