2024版高考复习A版数学考点考法PPT讲解：空间几何体的表面积和体积

表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底
V=S底h
锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台)
球
S表面积=S侧+S底 S表面积=S侧+S上+S下 S=4πR2
V= 1S底h
3
V= 1(S上+S下+ S上S下)h
3
V= 4πR3
3
注意:1.几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与所
答案 C
考法二 与球有关的切、接问题 1.“切”“接”问题的处理规律 1)“切”的处理:球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时 要找准切点,通过作截面来解决. 2)“接”的处理:把一个多面体的顶点放在球面上,即球外接于该多面体. 解题的关键是抓住球心到多面体的顶点的距离等于球的半径. 2.当球的内接多面体为共顶点的棱两两垂直的三棱锥或三组对棱分别相 等的三棱锥时,常构造长方体或正方体以确定球的直径. 3.与球有关的组合体的常用结论 1)长方体的外接球: ①球心:体对角线的交点;
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名称 母线
轴截面 侧面 展开图
圆柱 平行、相等且垂直于
底面 全等的矩形
矩形
圆锥 相交于一点
全等的等腰三角形 扇形
圆台 延长线交于一点
全等的等腰梯形 扇环
注意:1.球是旋转体,球面不能展开,球的截面是圆面; 2.球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面; 3.球心到截面(不过球心)的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=
.
解析 连接AC,BD,交于点O,取AD的中点M,连接PM,因为PA=PD=2,所以 PM⊥AD.
因为等腰Rt△PAD与矩形ABCD所在平面垂直,平面PAD∩平面ABCD= AD,PM⊂平面PAD,所以PM⊥平面ABCD. 连接OM,OP,则PM⊥OM, 因为等腰Rt△PAD和矩形ABCD中,PA=PD=AB=2,所以AD=2 2,PM= 2, AC=BD= 8 4 =2 3 ,所以OA=OB=OC=OD= 3,MO=1, 所以OP= PM 2 OM 2 = 3 , 所以OP=OA=OB=OC=OD= 3 , 所以点O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心,且球的半径为 3 ,所以四棱 锥P-ABCD的外接球的表面积为4π·( 3)2 =12π.
又∵△AMO∽△AO1C,∴OO1MC
=AO ,即r =2
AC 1
2 r ,故3r=2 2 -r,∴r= 2
3
2
.
∴该圆锥内半径最大的球的体积V=4
3
π×
2 3
2
=
2.
3
答案 2
3
例3 (2022山东枣庄二调,14)如图,等腰Rt△PAD与矩形ABCD所 在平面垂直,且PA=PD=AB=2,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为
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立体几何
空间几何体的表面积和体积
基础篇
考点一 空间几何体的结构特征 1.多面体的结构特征
名称 底面
侧棱
侧面 形状
Байду номын сангаас
棱柱
棱锥
棱台
有两个,是平行且全等 有一个,是多边形 的多边形
有两个,是平行且相似 的多边形
平行且相等
相交于一点,不一定相 延长线交于一点 等
平行四边形
三角形
梯形
2.旋转体的结构特征
一部分):
①外接球:球心是正四面体的中心,半径r= 6 a;
4
②内切球:球心是正四面体的中心,半径r= 6 a.
12
例2 (2020课标Ⅲ,16,5分)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥
内半径最大的球的体积为
.
解析 圆锥内球半径最大时的轴截面图如图.其中球心为O,设其半径为r,
AC=3,O1C=1,∴AO1= AC2 O1C2 =2 2 . ∵OO1=OM=r,∴AO=AO1-OO1=2 2 -r,
B.252π cm2 D.336π cm2
解析 由题意可得圆锥体的母线长为l= 62 82 =10 cm,所以圆锥体的侧 面积为π×8×10=80π cm2,又圆柱体的侧面积为16π×8=128π cm2,圆柱体的 底面面积为π×82=64π cm2,所以这个陀螺的表面积为80π+128π+64π=272π (cm2).故选C.
答案 12π
名师点睛 1.外接球问题的解答关键是找出球心的位置,球心和几何体的顶点及球 心在面内的射影构成直角三角形,运用勾股定理建立方程. 2.熟记不同特征的几何体的外接球球心的位置,和求外接球半径的方法, 能更准确快速地解决这类问题. 3.内切球的计算除了找球心运用勾股定理以外,等体积法也是常用的一 种方法.
R2 d2 .
3.斜二测画法下几何体的直观图 1)原图与直观图中的“三变”与“三不变”原则:
坐标轴的夹角改变 与y轴平行的线段的长度变为原来的一半 图形改变
平行性不改变 与x轴平行的线段的长度不改变 相对位置不改变
2)用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面
积的
2
4.
考点二 空间几何体的表面积与体积
②半径:r= a2 b2 c2 (a,b,c为长方体的长、宽、高).
2
2)棱长为a的正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球:
①外接球:球心是正方体的中心,半径r= 3 a;
2
②内切球:球心是正方体的中心,半径r= a ;
2
③与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心,半径r= 2 a.
2
3)棱长为a的正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的
有底面面积之和.
2.组合体的表面积应注意重合部分的处理.
3.一个组合体的体积等于它的各部分体积的和.
综合篇
考法一 空间几何体的表面积和体积 1.求空间几何体表面积的方法 1)求多面体的表面积:把各个面的面积相加; 2)求简单旋转体的表面积:公式法; 3)求组合体的表面积:注意重合部分的处理,防止漏算或多算. 2.求空间几何体体积的方法 1)求简单几何体(柱体、锥体、台体或球)的体积:公式法. 2)求组合体的体积:一般不能直接利用公式求解,常用转换法、分割法、 补形法等进行求解.
例1 (2022山东菏泽二模,4)民间娱乐健身工具陀螺起源于我国,最早出 土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的.下图是一个陀螺 的立体结构图.已知底面圆的直径AB=16 cm,圆柱体部分的高BC=8 cm,圆 锥体部分的高CD=6 cm,则这个陀螺的表面积是 ( )
A.192π cm2 C.272π cm2