5-4二次曲面44293

5-4 二次曲面
三元二次方程
Ax2 By2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
3. 抛物面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
x
y
4. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
x2 a2

y2 b2
z
2. 椭圆锥面
z
x2 a2

y2 b2

z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2

y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
故旋转曲面方程为
M (x, y, z)
o x
M1(0, y1, z1)
y
f ( x2 y2 , z) 0
mathsoft
例 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
第 九
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
节 二 次
xห้องสมุดไป่ตู้ a2

y2 z2 c2
1
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.

表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.

x2 a2

y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
x
z
C
o
y
z
x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面.
o y
o y
(且 z 轴在平面上) x
x
一般地,在三维空间
平面 x x1 上的截痕为 双曲线 x 平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
oy
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
图形
5.柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C, C
o
M1
y
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
z
x l1
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2 y2 R2 表示圆柱面
定义 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
曲
面
mathsoft
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
第 若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
九 节
f ( y1, z1) 0
C
二 当绕 z 轴旋转时, 该点转到
次 曲
M
(x,
y,
z)
,
则有
面
z z1, x2 y2 y1
y z l2
y
x z l3
x
y
例
表示抛物柱面,
母线平行于 y 轴; 准线为xoz 面上的抛物线.
x2 a2

y2 b2
1
表示母线平行于
z 轴的双曲柱面.
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旋转曲面
定义 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
第 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
九
节轴 .
二 次
例如 :

z2 c2
1
( a,b,c 为正数)
x
y
平面 z z1 上的截痕为 椭圆.
平面 y y1上的截痕情况:
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x2 a2

z2 c2
1
y12 b2
y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
2) y1 b 时, 截痕为 相交直线: x z 0 ac y b (或 b)
曲
面 绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2

z c
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2

z2 c2
1
y12 b2
0
y y1
(实轴平行于z 轴;
虚轴平行于x 轴）
z
x
y
z
x
y
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(2) 双叶双曲面
z
第
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
( a, b, c 为正数)
九 节
平面 y y1 上的截痕为 双曲线
二 次 曲 面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( a,b,c为正数)
(3) 截痕:与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
a2 c2
x2 (c2
z12
)

b2 c2
y (c2
2

z12
)

1
z
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
的截痕
也为椭圆.
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
1. 椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 a2

y2 b2
1,
z 0
y2 b2

z2 c2
1,
x 0
x2 a2

z2 c2
1
y 0