北京市清华大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷

北京市清华大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中数学
试卷
一、单选题
1．已知集合{13}A x
x =-<<∣，{}1A B ⋂=，则集合B 可以是（）A ．{}
1,2B ．{}
1,3C ．{}
0,1,2D ．{}
1,2,32．在复平面内，复数(1)z i i =-对应的点位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限3．设命题():0,p x ∀∈+∞，e 1x x ≥+，则p ⌝为（）A ．()0,x ∀∈+∞，e 1x x <+B ．()00,x ∃∈+∞，00e 1x
x ≥+C ．()0,x ∀∉+∞，e 1x x <+D ．()00,x ∃∈+∞，00e 1
x
x <+4．已知3sin 5α=，则πsin 22α⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（）A ．35
-B ．
45
C ．
725
D ．
1425
5．已知函数()f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称.若()g x 在区间()2,1--内单调递减，则实数m 的取值范围为（）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．[)
2,+∞D ．(]
,2-∞6．已知α和β是两个不同平面，α∩β=l ，1l ，2l 是不同的两条直线，且1l ⊂α，2l ⊂β，1l ∥2l ，那么下列命题正确的是（）
A ．l 与1l ，2l 都不相交
B ．l 与1l ，2l 都相交
C ．l 恰与1l ，2l 中的一条相交
D ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交7．设a 为实数，则“21a a ＞”是“2
1a a
＞”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于∀11(,)x y M ∈，∃22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：21{(,)|+1}M x y y x ==；2{(,)|ln }M x y y x ==；3{(,)|}x M x y y e e ==-；
4{(,)|sin 1}M x y y x ==+．
其中是“互垂点集”的集合为A ．1M ,2
M B ．2M ,3
M C ．1M ,4
M D ．3M ,4
M 9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱1DD 的中点，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点，则（）
A ．三棱锥111
B A D P -的体积大小不确定B ．当11A P A
C ⊥时，1A P AC ⊥C ．直线1//B E 平面1A BD
D ．直线1B
E 与平面11CDD C 所成角的正弦值为
2
3
10．给定两个不共线的空间向量a 与b ，定义叉乘运算a b ⨯ ，规定：①a b ⨯
为同时与a ，b 垂直的向量；②a ，b ，a b ⨯
三个向量构成右手系（如图1）；③||||||sin ,a b a b a b ⨯=〈〉 .如
图2，在长方体中1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，
则下列说法中错误的是（）
A ．1
AB AD AA ⨯= B ．AB AD AD AB
⨯=⨯ C ．111
()AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯
D ．11111()ABCD C D B A V AB AD CC -=⨯⋅ 二、填空题
11．在等差数列{}n a 中，12a =，2514a a +=，则数列{}n a 的前4项的和为.
12．已知非零向量a ，b 满足a a b =- ，则1()2
a b b -⋅=
.
13．在ABC V 中，
AB =4
B π
∠=，点D 在边BC 上，23
ADC ∠=
π
，1CD =，则（1）AD =
；（2）ACD 的面积为
.
14．将函数sin2y x x =图象向右平移π
6
个单位长度，得到函数()y g x =图象，则7π6g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
15．已知矩形ABCD ，AB =2BC =，将ADC △沿对角线AC 进行翻折，得到三棱锥
D ABC -，在翻折的过程中，下列结论：
①三棱锥D ABC -的体积最大值为
109
；②三棱锥D ABC -的外接球体积不变；③异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90︒；④AD 与平面ABC 所成角的余弦值最小值为23
.所有正确的命题的序号是
.
三、解答题
16．已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2
7
4sin
cos222
B C A +-=.(1)求角A 的大小；
(2)若
a =3cos 5
B =，求边c 及AB
C V 的面积.
17．如图，三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，1AA 的中点.
(1)求证：//AD 平面1BC E ；
(2)若点F 在线段1B E 上，且//DF 平面11ACC A ，求证：点F 为1B E 中点.
18．图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了500张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：
识别结果真实性别
可以识别
无法识别
男
女男180155女
20
275
5该程序对每张照片的识别都是独立的.(1)现从这500张人脸照片中随机抽取，①若抽取一张，求识别结果正确的概率；
②若抽取一张男性照片和一张女性照片，求至少有一张照片无法被成功识别．．．．．．．（含无法识别或识别错误）的概率；
(2)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性或女性概率均为50%）.现从若干张不同人脸照片（其中男性、女性照片数量之比为1:1)中随机抽取一张，分别用方
案一、方案二、方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为1p ，2p ，3p ，试比较
1p ，2p ，3p 的大小.（假设用频率估计概率，结论不要求证明）
19．已知函数()e ax
f x x
=，其中0a >，e 为自然对数的底数.
(1)当1a =时，求曲线=在点1,1处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间；
(3)设12x x <且120x x >，请判断()()21f x f x -与
21
11
x x -的大小，并证明.20．如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥平面ABC ，点M 为AB 中点，且2AB AC =
=，BC
=2AD =.
(1)证明：AC BD ⊥；
(2)求平面BCD 与平面CDM 夹角的余弦值；
(3)在直线BD 上是否存在点P ，使得直线PC 与平面CDM 所成角的正弦值为1
6
若存在；求BP
BD
的值；若不存在，请说明理由.21．设A 为一个n n ⨯（即n 行n 列）的数表.对任意1,≤≤i j n ，记第i 行第j 列元素为,i j a 且
{},1,1i j a ∈-.若存在121i i n ≤<≤，121j j n ≤<≤，使得11211222,,,,i j i j i j i j a a a a ===，则称有序数
组()1212,,,i i j j 为一个同角矩形数组.
(1)直接分别写出下列两个数表中，同角矩形数组的个数；①1A ：11
11-111
1
1
②2A：
1-11-1
-11-11
1-11-1
-11-11
(2)若数表A中没有同角矩形数组，求n的最大值；
n=，求出A中同角矩形数组个数的最小值，并证明同角矩形数组的个数达到最小值(3)若6
时，A的每行每列都恰有3个1和3个1
-.。