2021年中考数学模拟试卷10 含答案

2021年中考模拟数学试卷十
(满分150分，答题时间120分钟)
一、选择题（以下每小题均有A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B 铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，计算结果为6
m 的是（ ） A. 32m m ⋅
B. 33m m +
C. 122m m ÷
D. ()3
2
m
2．如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A ．a 2
+b 2
B ．2a ﹣b 2
C ．a 2﹣b 2
D ．﹣a 2﹣b 2
4．如图，菱形ABCD 的周长是4cm ，∠ABC ＝60°，那么这个菱形的对角线AC 的长是（ ）
A ．1cm
B ．2 cm
C ．3cm
D ．4cm
5．在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ） A ．1
4
B ．2
3
C ．1
3
D ．3
16
6．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，连接BD ．则∠CBD 的度数是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
7．下列采用的调查方式中，不合适的是（ ） A ．了解澧水河的水质，采用抽样调查 B ．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查 C ．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查 D ．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查
8．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程是（ ） A ．1
2x ＝（x ﹣5）﹣5
B ．1
2
x ＝（x +5）+5
C ．2x ＝（x ﹣5）﹣5
D ．2x ＝（x +5）+5
9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AB 于点B 和点D ，再分别以点B ，D 为圆心，大于BD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线CM 交AB 于点E ．若AE ＝2，BE ＝1，则EC 的长度是（ ）
A ．2
B ．3
C ．
D ．
10．在平面直角坐标系内，已知点A （﹣1，0），点B （1，1）都在直线y ＝x +上，若抛物线y ＝ax 2
﹣x +1（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2 B．a＜
C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．使√x−1
在实数范围内有意义的x的取值范围是．
3
12．将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc
＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
̂上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作14．如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为AB
OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝°．
三、解答题(本大题10小题，共100分)
16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
17．（10分）解不等式组{4(x+1)≤7x+13，
x−4＜x−8
3
，
并求它的所有整数解的和．
18.（10分）“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小时）进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：
收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5 整理数据：
时长x（小时）4＜x≤5 5＜x≤6 6＜x≤7 7＜x≤8 人数 2 a8 4
分析数据：
项目平均数中位数众数
数据 6.4 6.5 b
应用数据：
（1）填空：a＝，b＝；
（2）补全频数直方图；
（3）若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5＜x≤7小时的人数．
19．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）若DA＝DB＝2，cos A＝，求点B到点E的距离．
20.（10分）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，
并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
（1）成绩为“B等级”的学生人数有名；
（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为，图中m的值为；
（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生只能怪，选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．
21.（10分）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔
芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．
（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．
22.（8分）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如
图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B 地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.41）
23.（10分）如图所示，反比例函数y1=m
（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B
x
（n，2）．
（1）m ＝ ，n ＝ ；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围；
（3）若点P 是反比例函数y 1=m
x （x ＞0）的图象上一点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，则△POM 的面积为 ．
24.（10分）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD 分别交OC ，BC 于点E ，F ，其中点E 是AD 的中点．
（1）求证：∠CAD ＝∠CBA ． （2）求OE 的长．
25.（14分）如图，二次函数y ＝ax 2
+bx +x 的图象过O （0，0）、A （1，0）、B （3
2，√32
）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与二次函数的图象在x 轴上方的部分相交于点D ，求直线CD 的解析式；
（3）在直线CD 下方的二次函数的图象上有一动点P ，过点P 作PQ ⊥x 轴，交直线CD 于Q ，当线段PQ 的长最大时，求点P 的坐标．
2021年中考模拟数学试卷十
(满分150分，答题时间120分钟)
一、选择题（以下每小题均有A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B 铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，计算结果为6
m 的是（ ） A. 32m m ⋅ B. 33m m +
C. 122m m ÷
D. ()3
2
m
【答案】D
【解析】本题考查了同底数幂的乘法及除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母部分保持不变．
根据同底数幂的乘方和除法运算法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则即可求解． A ．253m m m ⋅=，不符合题意 B ．3332m m m +=，不符合题意 C ．12210m m m ÷=，不符合题意 D ．()
3
2
6m m =，符合题意
2．如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B ．
【解析】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键． 主视图有2列，每列小正方形数目分别为1，2． 如图所示：它的主视图是：
．
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）
A．a2+b2B．2a﹣b2C．a2﹣b2D．﹣a2﹣b2
【答案】C
【解析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．
A.a2+b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B.2a﹣b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
C.a2﹣b2能运用平方差公式分解，故此选项正确；
D.﹣a2﹣b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误。

4．如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（）
A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm
【答案】A．
【解析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长．
∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵菱形ABCD的周长是4cm，
∴AB＝BC＝AC＝1cm．
5．在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（）
A．1
4B．2
3
C．1
3
D．3
16
【答案】C
【解析】用列表法表示所有可能出现的结果，从中找出两次和为5的结果数，进而求出相应的概率．用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种可能出现的结果，其中“和为5”的有4种，
∴P（和为5）=4
12=1
3
．
6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A．
【解析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°。

7．下列采用的调查方式中，不合适的是（）
A．了解澧水河的水质，采用抽样调查
B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查
C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查
D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查
【答案】B
【解析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．
了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A 合适， 了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B 不合适， 了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C 合适， 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D 合适.
8．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程是（ ） A ．1
2x ＝（x ﹣5）﹣5 B ．1
2x ＝（x +5）+5 C ．2x ＝（x ﹣5）﹣5 D ．2x ＝（x +5）+5
【答案】A
【分析】设绳索长x 尺，则竿长（x ﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解． 【解析】设绳索长x 尺，则竿长（x ﹣5）尺， 依题意，得：1
2x ＝（x ﹣5）﹣5．
9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AB 于点B 和点D ，再分别以点B ，D 为圆心，大于BD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线CM 交AB 于点E ．若AE ＝2，BE ＝1，则EC 的长度是（ ）
A ．2
B ．3
C ．
D ．
【答案】D
【解析】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC＝3，然后利用勾股定理计算CE的长．
由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝＝．
10．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）
A．a≤﹣2 B．a＜
C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜
【答案】C．
【解析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．
∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜
①当a＜0时，
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
②当a＞0时，
解得：a≥1
∴1≤a＜
综上所述：1≤a＜或a≤﹣2
二、填空题（每小题4分，共20分）
在实数范围内有意义的x的取值范围是．
11．使√x−1
3
【答案】x≥1．
【解析】由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1，
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
12．将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是．x+2．
【答案】y=1
2
【解析】直接根据一次函数互相垂直时系数之积为﹣1，进而得出答案．
在一次函数y＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，
∴直线y＝﹣2x+4经过点（0，4），
将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（﹣4，0），
x+b，
旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：y=1
2
×(−4)+b＝0，
将点（﹣4，0）代入得，1
2
解得b＝2，
x+2，
∴旋转后对应的函数解析式为：y=1
2
x+2．
故答案为y=1
2
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc ＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴求出2a 与b 的关系．
【解析】①∵由抛物线的开口向上知a ＞0， ∵对称轴位于y 轴的右侧， ∴b ＜0．
∵抛物线与y 轴交于负半轴， ∴c ＜0， ∴abc ＞0；
故错误；②对称轴为x =−b
2a ＜1，得2a ＞﹣b ，即2a +b ＞0， 故错误；
③如图，当x ＝﹣2时，y ＞0，4a ﹣2b +c ＞0， 故正确；
④∵当x ＝﹣1时，y ＝0，
∴0＝a ﹣b +c ＜a +2a +c ＝3a +c ，即3a +c ＞0． 故正确．
综上所述，有2个结论正确．
14．如图所示的扇形AOB 中，OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，C 为AB
̂上一点，∠AOC ＝30°，连接BC ，过C 作OA 的垂线交AO 于点D ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】2
3π−
√3
2
． 【解析】根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S 扇形BOC ﹣S △OBC +S △COD 进行计算． ∵∠AOB ＝90°，∠AOC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，
∵扇形AOB 中，OA ＝OB ＝2，∴OB ＝OC ＝2，∴△BOC 是等边三角形， ∵过C 作OA 的垂线交AO 于点D ，∴∠ODC ＝90°，
∵∠AOC ＝30°， ∴OD =
√3
2
OC =√3，CD =1
2OC ＝1，
∴图中阴影部分的面积═S 扇形BOC ﹣S △OBC +S △COD =
60⋅π×22360−1
2
×2×2×
√3
2
+1
2
×√3×1
=2
3π−
√3
2
． 15．如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝50°，点E 在CD 上，若AE ＝AC ，则∠BAE ＝ °．
【答案】115．
【解析】由菱形的性质得出AC 平分∠BCD ，AB ∥CD ，由平行线的性质得出∠BAE +∠AEC ＝180°，∠B +∠BCD ＝180°，求出∠BCD ＝130°，则∠ACE =1
2∠BCD ＝65°，由等腰三角形的性质得出∠AEC ＝∠ACE ＝65°，
即可得出答案． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC 平分∠BCD ，AB ∥CD ，
∴∠BAE +∠AEC ＝180°，∠B +∠BCD ＝180°， ∴∠BCD ＝180°﹣∠B ＝180°﹣50°＝130°， ∴∠ACE =1
2∠BCD ＝65°， ∵AE ＝AC ，
∴∠AEC ＝∠ACE ＝65°， ∴∠BAE ＝180°﹣∠AEC ＝115° 三、解答题(本大题10小题，共100分)
16．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2
+（2m +1）x +m ﹣2＝0． （1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根x 1，x 2，且x 1+x 2+3x 1x 2＝1，求m 的值． 【答案】见解析。

【分析】（1）根据根的判别式得出△＝（2m +1）2
﹣4×1×（m ﹣2）＝4m 2
+9＞0，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．
【解析】（1）∵△＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出{x1+x2=−(2m+1) x1x2=m−2，
由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，解得m＝8．
17．（10分）解不等式组{4(x+1)≤7x+13，
x−4＜x−8
3
，
并求它的所有整数解的和．
【答案】见解析。

【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可．
{4(x+1)≤7x+13①
x−4＜x−8
3
②
，
由①得，x≥﹣3，
由②得，x＜2，
所以，不等式组的解集是﹣3≤x＜2，
所以，它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，所以，所有整数解的和为﹣5．
18.（10分）“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小时）进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：
收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5 整理数据：
时长x（小时）4＜x≤5 5＜x≤6 6＜x≤7 7＜x≤8 人数 2 a8 4
分析数据：
项目平均数中位数众数
数据 6.4 6.5 b
应用数据：
（1）填空：a＝，b＝；
（2）补全频数直方图；
（3）若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5＜x≤7小时的人数．
【答案】见解析。

【分析】（1）根据各组频数之和等于数据总数，可得5＜x≤6范围内的数据；找出数据中次数最多的数据即为所求；
（2）根据（1）中的数据画图即可；
（3）先算出样本中学习时长在5＜x≤7小时的人数所占的百分比，再用总数乘以这个百分比即可．
【解析】（1）由总人数是20人可得在5＜x≤6的人数是20﹣2﹣8﹣4＝6（人），所以a＝6，
根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以这组数据的众数b＝6.5；
故答案为：6，6.5；
（2）由（1）得a＝6．
频数分布直方图补充如下：
×100%＝70%，
（3）由图可知，学习时长在5＜x≤7小时的人数所占的百分比=6+8
20
∴1000×70%＝700（人）．
∴学习时长在5＜x≤7小时的人数是700人．
19．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）若DA＝DB＝2，cos A＝，求点B到点E的距离．
【答案】见解析。

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴四边形BCED是平行四边形；
（2）解：连接BE，
∵DA＝DB＝2，DE＝AD，
∴AD＝BD＝DE＝2，
∴∠ABE＝90°，AE＝4，
∵cos A＝，
∴AB＝1，
∴BE＝＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得∠ABE＝90°是解题的关键．
20.（10分）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
（1）成绩为“B 等级”的学生人数有 名；
（2）在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中m 的值为 ；
（3）学校决定从本次比赛获得“A 等级”的学生只能怪，选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A 等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率． 【答案】见解析。

【分析】（1）A 等的有3人，占调查人数的15%，可求出调查人数，进而求出B 等的人数；
（2）D 等级占调查人数的4
20
，因此相应的圆心角为360°的4
20
即可，计算C 等级所占的百分比，即可求出m
的值；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率． 【解析】（1）3÷15%＝20（名），20﹣3﹣8﹣4＝5（名）， 故答案为：5； （2）360°×
420
=72°，8÷20＝40%，即m ＝40，
故答案为：72°，40；
（3）“A 等级”2男1女，从中选取2人，所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中女生被选中的有4种， ∴P （女生被选中）=4
6=2
3．
21.（10分）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小
艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元． （1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明． 【答案】见解析。

【分析】（1）设笔记本的单价为x 元，单独购买一支笔芯的价格为y 元，根据“小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）先求两人带的总钱数，再求出两人合在一起买文具所需费用，由二者的差大于2个小工艺品所需钱数，可找出：他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品． 【解析】（1）设笔记本的单价为x 元，单独购买一支笔芯的价格为y 元， 依题意，得：{2x +3y =19x +7y =26，
解得：{x =5
y =3
．
答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元． （2）小贤和小艺带的总钱数为19+2+26＝47（元）．
两人合在一起购买所需费用为5×（2+1）+（3﹣0.5）×10＝40（元）． ∵47﹣40＝7（元），3×2＝6（元），7＞6，
∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．
22.（8分）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A ，B 两地向C 地新建AC ，BC 两条笔直的污水收集管道，现测得C 地在A 地北偏东45°方向上，在B 地北偏西68°向上，AB 的距离为7km ，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km ，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.41）
【答案】见解析。

【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，根据锐角三角函数即可求出新建管道的总长度．
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意可知：
AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，∴AD＝CD，
∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD=CD
BD
，
∴CD
7−CD
≈0.40，
∴CD＝2，
∴AD＝CD＝2，
BD＝7﹣2＝5，
∴AC＝2√2≈2.83，
BC=CD
sin22°≈2
0.37
≈5.41，
∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2（km）．
答：新建管道的总长度约为8.2km．
23.（10分）如图所示，反比例函数y1=m
x
（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B （n，2）．
（1）m＝，n＝；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）若点P 是反比例函数y 1=m
x （x ＞0）的图象上一点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，则△POM 的面积为 ． 【答案】见解析。

【分析】（1）把A 的坐标代入反比例函数的解析式求出m ，得出反比例函数的解析式，把B 的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n ，即可得出B 的坐标；
（2）分别把A 、B 的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y 1＜y 2时x 的取值范围； （3）根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得．
【解析】（1）∵把A （1，4）代入y 1=m
x （x ＞0）得：m ＝1×4＝4，
∴y =4
x ，
∵把B （n ，2）代入y =4
x
得：2=4
n
，
解得n ＝2； 故答案为4，2；
（2）把A （1，4）、B （2，2）代入y 2＝kx +b 得：{k +b =42k +b =2，
解得：k ＝﹣2，b ＝6，
即一次函数的解析式是y ＝﹣2x +6．
由图象可知：y 1＜y 2时x 的取值范围是1＜x ＜2；
（3）∵点P 是反比例函数y 1=m
x （x ＞0）的图象上一点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ， ∴S △POM =1
2|m |=1
2×4=2， 故答案为2．
24.（10分）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD 分别交OC ，BC 于点E ，F ，其中点E 是AD 的中点．
（1）求证：∠CAD ＝∠CBA ． （2）求OE 的长．
【答案】见解析。

【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可． （2）证明△AEC ∽△BCA ，推出CE
AC =AC
AB ，求出EC 即可解决问题． 【解析】（1）证明：∵AE ＝DE ，OC 是半径， ∴AC
̂=CD ̂， ∴∠CAD ＝∠CBA ． （2）解：∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵AE ＝DE ，
∴OC ⊥AD ，∴∠AEC ＝90°， ∴∠AEC ＝∠ACB ， ∴△AEC ∽△BCA ， ∴CE
AC =AC
AB ， ∴CE
6=6
10， ∴CE ＝3.6， ∵OC =12AB ＝5，
∴OE ＝OC ﹣EC ＝5﹣3.6＝1.4．
25.（14分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +x 的图象过O （0，0）、A （1，0）、B （3
2，
√3
2
）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与二次函数的图象在x 轴上方的部分相交于点D ，求直线CD 的解析式；
（3）在直线CD 下方的二次函数的图象上有一动点P ，过点P 作PQ ⊥x 轴，交直线CD 于Q ，当线段PQ 的长最大时，求点P 的坐标． 【答案】见解析。

【分析】（1）将点O 、A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由点B 的坐标知，直线BO 的倾斜角为30°，则OB 中垂线（CD ）与x 负半轴的夹角为60°，故设
CD 的表达式为：y =−√3x +b ，而OB 中点的坐标为（3
4，√34
），将该点坐标代入CD 表达式，即可求解；
（3）过点P 作y 轴额平行线交CD 于点H ，PH =−√3x +√3−（2√33
x 2−2√33x ）=−2√33x 2−√3
3x +√3，即可
求解．
【解析】（1）将点O 、A 、B 的坐标代入抛物线表达式得{c =0a +b +c =0√32
=94a +32b +c ，解得{ a =−2√3
3b =−2√33c =0， 故抛物线的表达式为：y =
2√33x 2−2√3
3
x ； （2）由点B 的坐标知，直线BO 的倾斜角为30°，则OB 中垂线（CD ）与x 负半轴的夹角为60°，
故设CD 的表达式为：y =−√3x +b ，而OB 中点的坐标为（3
4，√3
4
），
将该点坐标代入CD 表达式并解得：b =√3， 故直线CD 的表达式为：y =−√3x +√3； （3）设点P （x ，
2√33
x 2−2√3
3x ），则点Q （x ，−√3x +√3），
则PQ =−√3x +√3−（
2√33
x 2−2√33x ）=−2√3
3x 2−√33x +√3， ∵−2√3
3＜0，故PQ 有最大值，此时点P 的坐标为（−1
4，27√3
16
）．。