山东省淄博市2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析

高一期中考试
数学
考生注意：
1.本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：新教材人教A 版必修第一册前3章.
第一卷
一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1. 集合{}
35A x x =+<，{}0,1,2,3B =，那么A B =〔 〕
A. {}0
B. {}1,2
C. {}2,3
D. {}0,1
【答案】D 【解析】 【分析】
根据交集的概念，直接得出结果.
【详解】因为{}{}
352A x x x x =+<=<，{}0,1,2,3B =， 所以{}0,1A
B =.
应选：D.
2. “25x <<〞是“34x <<〞的〔 〕 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分
也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】假设34x <<，那么25x <<成立，即必要性成立，反之假设25x <<，那么
34x <<不成立，
所以“25x <<〞是“34x <<〞的必要不充分条件. 应选：B.
3. 以下图中可以表示以x 为自变量的函数图象是〔 〕
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x ，都有唯一确定的数y 与之对应. 【详解】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x ， 都有唯一确定的数y 与之对应，
所以ABD 选项的图象不是函数图象，故排除, 应选：C.
4. 以下结论正确的选项是〔 〕 A. 假设a b >，c b >，那么a c > B. 假设a b >，那么22a b >
C. 假设a b >，c d >，那么ac bd >
D. 假设a b >，c d >，
那么a c b d +>+ 【答案】D 【解析】 【分析】
对于A ，B ，C 举反例可判断，对于D 利用不等式的性质可判断
【详解】假设1,0,2a b c ===，那么a b >，c b >成立，而此时a c <，所以A 错误；
12>-，22
1(2)<-，B 错误；
41>，12->-，4(1)1(2)⨯-<⨯-，C 错误；
由不等式同向可加性知D 正确． 应选：D
5. 假设函数()()2
13f x x m x =+++在区间()3,5内存在最小值，那么m 的取值范围是
〔 〕 A. ()5,9
B. ()11,7--
C. []5,9
D.
[]11,7--
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数()()2
13f x x m x =+++在区间()3,5内存在最小值，那么函数的对称轴满足
1
352
m +<-
<求解. 【详解】函数()()2
13f x x m x =+++的对称轴为：1
2
m x +=-
， 因为函数()()2
13f x x m x =+++在区间()3,5内存在最小值， 所以1
352
m +<-
<， 解得117m -<<-. 应选：B
6. 全集U =R ，集合{
}
2
2730A x x x =-+<，
1
,0B y y x x x ⎧
⎫==+>⎨⎬⎩
⎭
，那么(
)U
A B =
〔 〕 A. (),3-∞ B. 1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C. 1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
D. (),-∞+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
先根据不等式的解法，以及根本不等式，分别化简两集合，再由并集和补集的概念，即可得出结果.
【详解】因为0x >，所以12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立；
即[2,)B =+∞，所以
(,2)U
B =-∞；
又{
}
2
12730,32A x x x ⎛⎫
=-+<= ⎪⎝⎭
， 所以(
)(,3)U
A
B =-∞．
应选：A.
7. 偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()40f =，那么不等式()0xf x >的解集为〔 〕 A ()()4,04,-+∞ B. ()(),40,4-∞- C. ()()4,00,4-
D. ()
(),44,-∞-+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题中条件，分别讨论0x <，0x >两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果. 【详解】假设0x <，那么()0xf x >等价于()0f x <， 因为()()440f f -==，()f x 在(],0-∞上单调递减， 所以由()0f x <得40x -<<；
假设0x >，那么()0xf x >等价于()0f x >， 由题知()f x 在[)0,+∞上单调递增， 所以由()0f x >得4x >； .综上，()0xf x >的解集为()()4,04,-+∞.
应选：A.
8. 关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为(-3，1)，那么关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集为〔 〕 A 1
(,1)3
-
B. 1(1,)3
-
C. ()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
D.
1
(,1)(,)3
-∞-+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意，0a <且3,1-是ax 2+bx +c =0的两根，进一步找到,,a b c 的关系，带入原不等式化简解不等式即可.
【详解】因为不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为(-3，1)，所以0,930,0,a a b c a b c <⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩即0,2,3.a b a c a <⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
不等
式cx 2+bx +a ＞0等价于3x 2-2x -1＞0， 解得1
3
x <-或x ＞1.
应选：C
二、选择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分.
9. 以下说法正确的选项是〔 〕 A. 0∈∅ B. ∅⊆{0}
C. 假设a ∈N ，那么-a ∉N
D. π∉Q
【答案】BD 【解析】 【分析】
利用集合与集合和元素与集合的关系，逐一判断四个选项的正误.
【详解】空集中没有元素，A 错误；空集是任何集合的子集，B 正确；假设a ＝0，0∈N ，C 错误；π不是有理数，D 正确. 应选：BD 10. 函数()2
1,0,,0,
x x f x x x x -<⎧=⎨
+≥⎩，()2
7g x x =-，那么〔 〕 A. ()f x 是增函数
B. ()g x 是偶函数
C. ()()13f
f =
D.
()()17f g =-
【答案】ABD
【解析】 【分析】
根据函数解析式，先分别判断()f x 单调性，以及()g x 奇偶性，再求函数值，即可得出结果.
【详解】对于函数()21,0,
,0,x x f x x x x -<⎧=⎨+≥⎩
当0x <时，()1f x x =-显然单调递增；当0x ≥时，()2
f x x x =+是开口向上，对称轴为
1
2
x =-的二次函数，所以在0x ≥上单调递增；且20100-<+，所以函数()f x 在定义域内
是增函数；A 正确； 又()1112f =+=，所以()()()12426f
f f ==+=，故C 错；
对于函数()2
7g x x =-，()()()2
277g x x x g x -=--=-=，所以()g x 是偶函数，B 正确； 又()1176g =-=-，所以()()
()16617f g f =-=--=-，D 正确； 应选：ABD.
11. 以下结论不正确的选项是〔 〕 A. “x ∈N 〞是“x Q ∈〞的充分不必要条件 B. “*x N ∃∈，230x -<〞是假命题 C.
ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，那么“222+=a b c 〞是“ABC 是直角
三角形〞的充要条件
D. 命题“0x ∀>，230x ->〞的否认是“0x ∃>，230x -≤〞 【答案】BC 【解析】 【分析】
利用充分条件与必要条件定义判断AC ；利用特例法判断B ；利用全称量词命题的否认是存在量词命题判断D.
【详解】自然数一定是有理数，有理数不一定是自然数，所以“x ∈N 〞是“x Q ∈〞的充分不必要条件，A 正确；
2130-<，所以“*x N ∃∈，230x -<〞是真命题，B 错误；
由222+=a b c ，可得90C =︒，ABC 是直角三角形，但是ABC 是直角三角形不一定意味着90C =︒，所以“222+=a b c 〞是“ABC 是直角三角形〞的充分不必要条件，C 错误； 根据全称量词命题的否认是存在量词命题，可得命题“0x ∀>，230x ->〞的否认是“0x ∃>，230x -≤〞，D 正确. 应选：D.
【点睛】方法点睛：断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否认性的命题或比拟难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 12. 实数x ，y 满足13x y -≤+≤，429x y ≤-≤，那么〔 〕. A. 14x ≤≤ B. 21y -≤≤
C. 2415x y ≤+≤
D.
123
33
x y <-< 【答案】AC 【解析】 【分析】
根据不等式的根本性质同向可加性可判断AB ，把()()422x y x y x y +=++-，
()()12
233
x y x y x y -=-
++-分别转化，再利用不等式的性质可判断CD. 【详解】因为13x y -≤+≤，429x y ≤-≤，3312x ≤≤，所以14x ≤≤，故A 正确；
因为6222,429,
x y x y -≤--≤⎧⎨≤-≤⎩所以2311y -≤-≤，解得112
33y -≤≤，故B 错误；
因为()()422x y x y x y +=++-，又()226x y -≤+≤，所以2415x y ≤+≤，故C 正确； 因为()()12233
x y x y x y -=-
++-，又()11133x y -≤-+≤，()82
2633x y ≤-≤，所以
519
33
x y ≤-≤，故D 错误.
第二卷
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 集合{
}
1,2A a =+-，{},2B b =，假设A B =，那么a b +=________.
【答案】1- 【解析】 【分析】
根据集合相等，列出方程求解，得出1,
2,a b =⎧⎨
=-⎩
，从而可得出结果.
【详解】因为集合{
}
1,2A a =
+-，{},2B b =，A B =，所以12,
2,a b ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩
解得1,
2,a b =⎧⎨
=-⎩
从而1a b +=-.
故答案为：1-.
14. 函数()2135f x x -=-，假设()04f x =，那么0x =________. 【答案】5 【解析】 【分析】
先利用换元法求解出原函数的解析式，然后利用()04f x =得出0x 的值. 【详解】令21t x =-，那么12
t x +=，3337
()5222t f t t +=-=-.
因为()04f x =，所以037
422
x -=，解得05x =. 故答案
：5
【点睛】求解复合函数()f ax b +的解析式时，只需用换元法，令ax b t +=，用含t 的式子表示出x 然后代入原函数解析式便可得出()f x 的解析式.
15. 幂函数()()
2
1m
f x m m x =--的图象关于y 轴对称，那么不等式30m x mx +-<的解集
是______． 【答案】(3,1)-
【分析】
由题意得211m m --=，解方程可得2m =或1m =-，由于此函数的图象关于y 轴对称，所以可得2m =，从而可得不等式为2230x x +-<，解不等式可得答案 【详解】因为(
)
2
()1m
f x m m x =--是幂函数， 所以211m m --=，解得2m =或1m =-， 又因为()f x 的图象关于y 轴对称，所以2m =， 原不等式整理得(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<． 故答案为：(3,1)-
16. 实数0a >，0b >，且30a ab b -+=，那么3a b +的最小值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】
根据题中条件，得到311b a +=，由()3133a b a b b a ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
展开后，根据根本不等式，即可
求出结果.
【详解】因为0a >，0b >，且30a ab b -+=，
所以311b a +=，故()3133331016a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭
， 当且仅当4a b ==时取等号， 那么3a b +的最小值为16. 故答案为：16.
【点睛】易错点睛：利用根本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： 〔1〕“一正二定三相等〞“一正〞就是各项必须为正数；
〔2〕“二定〞就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，那么必须把构成积的因式的和转化成定值；
〔3〕“三相等〞是利用根本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，假设不能取等号那么这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在①一次函数y ax b =+的图象过()0,3A ，()2,7B 两点，②关于x 的不等式
13ax b <+≤的解集为{}4|3x x <≤，③{}{}2
1,22,1,0a a a a ⊆-+-这三个条件中任选一
个，补充在下面的问题中并解答.
问题：___________，求关于x 的不等式230ax x a -->的解集. 【答案】选择见解析；解集为1
(,)(2,)2
-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】
先根据所选择的条件求出a 的值，然后代入230ax x a -->并求解二次不等式即可得到答案. 【详解】解：假设选①，由题得3,27,b a b =⎧⎨
+=⎩解得2,
3.a b =⎧⎨=⎩
将2a =代入所求不等式整理得：
()()2210x x -+>，解得2x >或12x <-
，故原不等式的解集为：1
(,)(2,)2
-∞-⋃+∞. 假设选②，因为不等式13ax b <+≤的解集为{}4|3x x <≤，所以31,43,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得2,
5.
a b =⎧⎨
=-⎩将2a =代入不等式整理得()()2210x x -+>，解得2x >或1
2
x <-
，故原不等式的解集为：1
(,)(2,)2
-∞-⋃+∞.
假设选③，假设2122a a =-+，解得1a =，不符合条件；假设11a =-，解得2a =，那么
2222a a -+=符合条件.将2a =代入不等式整理得()()2210x x -+>，解得2x >或
12x <-，故原不等式的解集为：1
(,)(2,)2
-∞-⋃+∞.
【点睛】此题主要考查根据集合的运算及包含关系求参数的值，考查一元二次不等式的解法，较简单.
解答时，根据所选择的条件确定出参数的取值是解答的关键.
18. 集合A ＝{x |x 2-ax +a 2-13＝0}，B ＝{x |x 2-7x +12＝0}，C ＝{x |x 2-4x +3＝0}. 〔1〕假设A ∩B ＝B ∩C ，求a 的值； 〔2〕假设A ∩B ＝∅，A ∩C ≠∅，求a 的值.
【答案】〔1〕a ＝4或a ＝-1；〔2〕a ＝-3. 【解析】 【分析】
求出集合B 、C 再根据元素互异性，即可求解.
结合题目条件A B A C ⋂∅⋂≠∅＝，，分情况讨论即可.
【详解】解：〔1〕因为B ＝{3，4}，C ＝{1，3}，所以B ∩C ＝{3}.又因为A ∩B ＝B ∩C ，所以3∈A ，4∉A ，即9-3a +a 2-13＝0，解得a ＝4或a ＝-1.当a ＝4时，A ＝{1，3}，符合题意；当a ＝-1时，A ＝{-4，3}，符合题意.故a ＝4或a ＝-1.
〔2〕因为A B ∅＝∩，所以3∉A ，4∉A.又因为A C ⋂≠∅，所以1∈A ，即1-a +a 2-13＝0，解得a ＝4或-3.当a ＝4时，A ＝{1，3}，不符合条件；当a ＝-3时，A ＝{1，-4}，符合条件.故a ＝-3.
19. 〔1〕用定义法证明函数()2
1
f x x x
=-
在()0,∞+上单调递增； 〔2〕()g x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()3
2
31g x x x =++，求()g x 的解析式．
【答案】〔1〕见详解；〔2〕()323231,0,
0,0,31,0x x x g x x x x x ⎧++<⎪
==⎨⎪-->⎩
．
【解析】 【分析】
〔1〕任取1x ，()20,x ∈+∞，令12x x <，作差比拟()1f x 与()2f x ，根据函数单调性的定义，即可证明结论成立；
〔2〕根据条件，由函数奇偶性，先求出0x >时的解析式，以及()00g =，进而可得出结果. 【详解】〔1〕任取1x ，()20,x ∈+∞，令12x x <，
那么()()()()22
12121212121212
11x x f x f x x x x x x x x x x x --=-
-+=+-+ ()1212121x x x x x x ⎛⎫
=++- ⎪⎝⎭
.
因为120x x <<，所以120x x -<，1212
1
0x x x x ++
>，即()()12f x f x <，
故函数()2
1
f x x x
=-
在()0,∞+上单调递增. 〔2〕因为0x <时，()3
2
31g x x x =++，
所以当0x >时，0x -<，()()()3
2
323131g x x x x x -=-+-+=-++， 因为()g x 是定义在R 上的奇函数，所以()()3
2
31g x g x x x =--=--，
且()00g =，
故()323231,0,0,0,31,0x x x g x x x x x ⎧++<⎪
==⎨⎪-->⎩
．
【点睛】方法点睛：
定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤： 1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <， 2.作差：计算()()12f x f x -； 3.定号：确定()()12f x f x -的正负； 4.得出结论：根据同增异减得出结论.
20. 某商品的日销售量y 〔单位：千克〕是销售单价x 〔单位：元〕的一次函数，且单价越高，销量越低．把销量为0时的单价称为无效价格．该商品的无效价格为150元，该商品的本钱价是50元/千克，店主以高于本钱价的价格出售该商品．
〔1〕假设店主要获取该商品最大的日利润，那么该商品的单价应定为多少元？
〔2〕通常情况下，获取商品最大日利润只是一种“理想结果〞，如果店主要获得该商品最大日利润的64%，那么该商品的单价应定为多少元？
【答案】〔1〕商品的单价应定为100元；〔2〕商品的单价应定为70元或130元． 【解析】 【分析】
〔1〕先设(0)y kx b k =+<，根据题中条件，求出150b k =-，设该商品的日利润为w 元，由题中条件，得到(50)(50)(150)w x y k x x =-=--，根据二次函数的性质，即可求出结果； 〔2〕由〔1〕，根据题中条件，可得(150)(50)250064%k x x k --=-⨯，求解，即可得出结
果.
【详解】〔1〕依题意可设(0)y kx b k =+<， 将150x =，0y =代入(0)y kx b k =+<， 解得150b k =-，即(150)(50150)y k x x =-<≤． 设该商品的日利润为w 元，
那么(50)(50)(150)w x y k x x =-=--
()222007500(100)2500(50150)k x x k x x ⎡⎤=-+=--<≤⎣⎦．
因为0k <，所以当100x =时，w 最大，且最大值为2500k -，
故假设店主要获取该商品最大的日利润，那么该商品的单价应定为100元， 〔2〕由题得(150)(50)250064%k x x k --=-⨯， 即220091000x x -+=，解得70x =或130x =， 故假设店主要获得该商品最大日利润的64%， 那么该商品的单价应定为70元或130元． 【点睛】思路点睛：
求解给定函数模型的问题，一般需要根据题中条件，得出对应函数关系式，再结合函数的性质等，即可求出结果.
21. 〔1〕比拟213a +与63a +的大小；
〔2〕解关于x 的不等式()2
2
31220x m x m m -+++≤．
【答案】〔1〕21363a a +>+；〔2〕见详解. 【解析】 【分析】
〔1〕两式作差比拟，即可得出结果；
〔2〕分别讨论21m m <+，21m m =+，21m m >+三种情况，分别解不等式，即可得出结果.
【详解】〔1〕()()2
22136361031a a a a a +-+=-+=-+， 因为()2
30a -≥，所以()2
3110a -+≥>，
即21363a a +>+.
〔2〕()()()2
2
312221x m x m m x m x m -+++=---.
当21m m <+，即1m <时，解原不等式，可得21m x m ≤≤+； 当21m m =+，即1m =时，解原不等式，可得2x =； 当21m m >+，即1m 时，解原不等式，可得12m x m +≤≤. 综上所述，当1m <时，原不等式的解集为[]2,1m m +； 当1m =时，原不等式的解集为{}2； 当1m 时，原不等式的解集为[]1,2m m +. 22. a ＞0，函数f (x )＝x 2-ax +3，()x a g x a x
=
+ 〔1〕求f (x )在[1，3]上的最小值h (a )；
〔2〕假设对于任意x 1∈[1，3]，总存在x 2∈[1，3]，使得f (x 1)＞g (x 2)成立，求a 的取值范围.
【答案】〔1〕24,02,()3,26,4123, 6.
a a a h a a a a -<≤⎧⎪⎪=-+<<⎨⎪
-≥⎪⎩；〔2
〕(1.
【解析】 【分析】
〔1〕依题意可得函数的对称轴02
a
x =>，再对对称轴分类讨论，分别求出相对应的函数的最小值，即可得解；
〔2〕由题意知，原不等式等价于在[]1,3内，()()min min f x g x >成立，任取[]34,1,3x x ∈ 234343434
)()(()
()x x x x a g x g x ax x ---=，对参数a 分类讨论，求出()g x 的最小值，再解不等式，
即可求出参数a 的取值范围；
【详解】解：〔1〕因为0a >，所以函数()2
3f x x ax =-+图象的对称轴方程02
a
x =
>. 假设012a
<
≤，即0＜a ≤2，那么f (x )在[1，3]上单调递增，h (a )＝f 〔1〕＝4-a ； 假设132
a <<，即2＜a ＜6，那么f (x )在[1,)2a 上单调递减，在(,3]2a
上单调递增，
2
()()324
a a h a f ==-+；
假设
32
a
≥，即a ≥6，那么f (x )在[1，3]上单调递减，h (a )＝f 〔3〕＝12-3a . 综上，24,02,()3,26,4123, 6.
a a a
h a a a a -<≤⎧⎪⎪=-+<<⎨⎪-≥⎪⎩ 〔2〕由题意知，原不等式等价于在[]1,3内，()()min min f x g x >成立，任取[]34,1,3x x ∈，令34x x <，那么2334344343434
()()
()()x x x x x a x a a g x g x a x a x ax x ---=+--
=. 假设0＜a ≤1，那么x 3x 4-a 2
＞0，
2343434
()()
0x x x x a ax x --<，g (x )在[1，3]上单调递增，min 1
()(1)g x g a a
==
+. 假设1＜a ＜3，那么当x 3，x 4∈[1，a )时，x 3x 4-a 2
＜0，
2343434
()()
0x x x x a ax x -->；当x 3，x 4∈(a ，3]时，x 3x 4-a 2＞0，
2
3434
34
()()0x x x x a ax x --<，即g (x )在[1，a )上单调递减，在(a ，3]上单调递增，g (x )min ＝g (a )＝2.
假设a ≥3，那么x 3x 4-a 2
＜0，
2343434
()()
0x x x x a ax x -->，g (x )在[1，3]上单调递减，min 3()(3)3
a g x g a ==
+. 故当0＜a ≤1时，那么14a a a ->
+
，解得11a <≤； 当1＜a ≤2时，那么4-a ＞2，解得1＜a ＜2； 当2＜a ＜3时，那么2
324
a -+>，不等式无解；
当3≤a ＜6时，那么23343a a a -+>+，因为23
344
a -+≤，323a a +≥，所以不等式无解；
当a ≥6时，那么31233
a
a a ->+，因为12-3a ≤-6，所以不等式无解.
综上，a 的取值范围为122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
. 【点睛】此题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规那么转化： 一般地，函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈
〔1〕假设[]1,x a b ∀∈，[]
2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； 〔2〕假设[]1,x a b ∀∈，[]
2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； 〔3〕假设[]
1,x a b ∃∈，[]
2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； 〔4〕假设[]1,x a b ∀∈，[]
2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，那么()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．。