【易错题】高中必修五数学上期末试卷带答案(1)

【易错题】高中必修五数学上期末试卷带答案(1)
一、选择题
1．正项等比数列
中，的等比中项为，令
，则
（ ） A ．6
B ．16
C ．32
D ．64
2．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 2
2n n S T n +=，则7
7a b =（ ） A ．
41
26
B ．
2314
C ．
117 D ．
116
3．在△ABC 中，若1tan 15013
A C BC ︒
===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A ．
33
8
- B ．
33
4
- C ．
33
8
+ D ．
33
4
+ 4．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1 B ． 3＋1 C ．23＋2
D ．23－2
5．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22
a a a 成等差数列，则
8967a a a a +=+ A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=
a ，则
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a ＝b
D ．a 与b 的大小关系不能确定
7．已知数列{}n a 满足112,0,2
121,1,
2n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
若135a =，则数列的第2018项为 （ ）
A ．
1
5
B ．
25
C ．
35
D ．
45
8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*
21n n S a n N =-∈，则5
a 等于（ ）
A ．16-
B ．16
C ．31
D ．32
9．已知x 、y 满足约束条件50
{03
x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）
A ．6-
B ．5
C ．10
D ．10-
10．在
中，
，
，
，则
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo
，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）
A ．15
B ．25
C ．40
D ．60
12．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，，
，则2
y
z x =
-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，
B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
，
C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，
D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，
二、填空题
13．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩
，，，，则22
2x y y ++的取值范围是__________.
14．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ．
15．已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()
*
n ∈N ，记数列{}n a 的前n
项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则
M m +=______.
16．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积
术”，即ABC △的面积2
22222142a c b S a c ⎡⎤
⎛⎫
+-=-⎢⎥ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
，其中a b c 、、分别为ABC △内角、、A B C 的对边.若2b =，且3sin tan 13cos B
C B
=-，则ABC △的面积S 的最大值为
__________．
17．已知函数()2x
f x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，
则
()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.
18．若正数,a b 满足3ab a b =++，则+a b 的取值范围_______________。

19．若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}
n a 满足的递推关系分别为:①22
11n n a a +-= ②
111
1n n
a a +-= ③121n n n a a a +=+
④2
121n n a a +-=，则D 型数列{}n a 的序号为_______.
20．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.
三、解答题
21．解关于x 的不等式()2
22ax x ax a R -≥-∈.
22．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设1
1n n n n c b a a +=+
•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2
(1)n S n <+.
23．已知函数()()2
2f x x x a x R =++∈
（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；
（2）若()0f x >对任意的[1,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围。

24．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且2cos 2a C c b +=. （1）求角A 的大小；
（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值。

25．已知正项等比数列{}n a 满足26S =，314S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log n n b a =，已知数列11n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T 证明：1n T <． 26．设递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 3＝13，数列{b n }满足b 1＝a 1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上，n ∈N *. （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）设c n n
n
b a =
，求数列{c n }的前n 项和T n .
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
因为，即
，
又
，所以
.
本题选择D 选项.
2．A
解析：A 【解析】
依题意，113
713113713132412226
132a a a S b b b T +⋅===+⋅.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
由正弦定理求出c ， 【详解】
A 是三角形内角，1tan 3A =，∴10
sin A =
由正弦定理sin sin a c A C
=得sin 10
sin 210a C c A ===
， 又2222cos c a b ab C =+-，即
225
12cos150132
b b b b =+-︒=+， 23302b b +-
=，33b -+=（33b --= ∴113333
sin 12238
ABC S ab C ∆--=
=⨯⨯︒=
． 故选：A ． 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安
排，不致于凌乱．
4．D
解析：D 【解析】
由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，
得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－ ∵a 、b 、c >0.
∴(a ＋c )·(a ＋b )≤2
2b c 2a ++⎛⎫ ⎪
⎝⎭
(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，
∴2a ＋b ＋c ＝1)＝－2. 故选：D
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得． 【详解】
设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0）
由题意可得3121
2322
a a a ⨯
=+， 即q 2-2q-3=0， 解得q=-1（舍去），或q=3，
故()2
672896767
9a a q
a a q a a a a ．++===++ 故选：D ． 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，进而求得a ﹣b 的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a 与b 的大小关系． 【详解】
解：∵∠C ＝120°，c a ，
∴由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，（）2＝a 2+b 2+ab ．
∴a 2﹣b 2＝ab ，a ﹣b ，
∵a ＞0，b ＞0， ∴a ﹣b ，
∴a ＞b 故选A ． 【点睛】
本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】
11
12,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧
≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ， 211215a a =-=
，32225a a ==，43425a a ==，5413
215
a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则20184504221
5
a a a ⨯+===
. 故选A . 【点睛】
本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】
当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；
当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得
12n n a a -=.
所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则4
51216a =⨯=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数
列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
作出不等式50
{03
x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，
作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍， 联立3{
x x y =+=，解得3{
3
x y ==-，结合图象知，
当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A. 考点：线性规划
10．D
解析：D
【分析】
根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB .
【详解】 由内角和定理知，
所以，
即，
故选D. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，属于中档题.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，在ABD ∆中由正弦定理求得
AD ，在Rt ADF ∆中求得DF ，从而求得灯塔CD 的高度． 【详解】
过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，
如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AB AD
ADB ABD
=∠∠
，
即
sin[90(90)]sin(90)
h AD
αβα=︒--︒-︒+，
cos sin()h AD αβα∴=
-，在Rt ADF ∆中，cos sin sin sin()
h DF AD αβ
ββα==-，
又山高为a ，则灯塔CD 的高度是
3340cos sin 22356035251sin()
2
h CD DF EF a αβ
βα⨯
⨯=-=
-=
-=-=-． 故选B ．
本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2
y
z x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】
由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：
由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1
x y x
=-⎧⎨
=⎩，解得(11)B --，， 而2
y
z x =
-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，
的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13
BC k =， 所以2y z x =
-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，， 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.
二、填空题
13．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角
形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为：
解析：[]0,9； 【解析】 【分析】 利用
()()
22
01x y -++表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点
(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最值，即可求解222x y y ++的取值范围.
【详解】
()()22
222011x y y x y ++=-++-
()()
22
01x y -++表示点(0,1)A -到点(,)x y 的距离
1AO =，1910,9110AD AC =+==+=，则三角形ACD 为等腰三角形
则点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最小值为：1，最大值为10 所以2
2
2x y y ++的最小值为：2110-=，最大值为：101=9-
故2
2
2x y y ++的取值范围为[]09，
故答案为：[]09，
【点睛】
本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.
14．200【解析】试题分析：等差数列中的连续10项为遗漏的项为且则化简得所以则连续10项的和为考点：等差数列
解析：200 【解析】
试题分析：等差数列{}n a 中的连续10项为*
+129,,,,,()x x x x a a a a x N ++⋯∈，遗漏的项为
*+,x n a n N ∈且19,n ≤≤则
9()10(18)10
(2)
22
x x x x x n x a a a a a a n +++⨯++⨯-=-+，
化简得4494352x n ≤=+≤，所以5x =，511a =，则连续10项的和为
(1111+18)10
=2002
+⨯.
考点：等差数列.
15．1078【解析】【分析】根据数列的递推关系求出数列的前四项的最大最小值得出何时和最大何时和最小进而求得结论【详解】解：因为数列{an}满足：即解得；或或；或所以最小为4最大为8；所以数列的最大值为时
解析：1078 【解析】 【分析】
根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论． 【详解】
解：因为数列{a n }满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()
*
n ∈N ，
{}211a a a ∴-∈即211a a a -=解得22a =； {}3212,a a a a ∴-∈
321a a ∴-=或322a a -= 33a ∴=或34a =；
{}43123,,a a a a a ∴-∈
431a a ∴-=或432a a -=，433a a -=，434a a -=
所以4a 最小为4，4a 最大为8；
所以，数列10S 的最大值为M 时，是首项为1，公比为2的等比数列的前10项和：
()
10112102312
M ⨯-=
=-；
10S 取最小值m 时，是首项为1，公差为1的等差数列的前10项和：
()
101011011552
m ⨯-=⨯+
⨯=； ∴1078M m +=． 故答案为：1078． 【点睛】
本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律．
16．【解析】由题设可知即由正弦定理可得所以当时故填
【解析】
由题设可知
)sin sin sin cos cos sin cos C C B C B C C =⇒=+，即
sin C A =，由正弦定理可得c =，所以
S ==242a a =⇒=时，
max S =
= 17．【解析】【分析】根据指数运算出再利用等差中项的性质得出并得出然后再利用等差数列的性质和指数对数的运算法则求出的值【详解】依题意有且则而因此故答案为【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算同时也考查了等 解析：6-
【解析】 【分析】
根据指数运算出2468102a a a a a ++++=，再利用等差中项的性质得出62
5
a =
，并得出568
25
a a =-=-，然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出
()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦L 的值.
【详解】
依题意有246810625a a a a a a ++++==，625a ∴=
，且5628
2255
a a =-=-=-. 则()()()110123101105610825556255a a a a a a a a a a +⎛⎫
++++=
=+=+=⨯-+=- ⎪⎝⎭
L ， 而()()()()1
2310
61231022a a a a f a f a f a f a ++++-⋅⋅⋅⋅==L L ，
因此，()()()()6
2123102log log 26f a f a f a f a -⋅⋅⋅⋅==-⎡⎤⎣⎦L .
故答案为6-. 【点睛】
本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.
18．【解析】【分析】先根据基本不等式可知a+b≥2代入题设等式中得关于不等式a+b 的方程进而求得a+b 的范围【详解】∵正数ab 满足a+b≥2∴ab≤又ab=a+b+3∴a+b+3≤即（a+b ）2﹣4（a 解析：[)6,+∞
【解析】 【分析】
先根据基本不等式可知
a+b 的方程，进而求得a+b 的范围． 【详解】
∵正数a ，b 满足
ab ≤2
2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
又ab=a +b+3，∴a+b+3≤2
2a b +⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，即（a+b ）2﹣4（a+b ）﹣12≥0．
解得 a+b≥6． 故答案为：[6，+∞）． 【点睛】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，考查了学生对基本不等式的整体把握和灵活运用．
19．①②③④【解析】【分析】根据D 型数列的定义逐个判断正项数列是否满足即可【详解】对①因为且正项数列故故所以成立对②故成立对③成立对④故成立综上①②③④均正确故答案为：①②③④【点睛】本题主要考查了新定
解析：①②③④ 【解析】 【分析】
根据D 型数列的定义,逐个判断正项数列{}n a 是否满足11n n a a +-<即可. 【详解】
对①,因为22
11n n a a +-=,且正项数列{}n a .
故()2
222
11211n n n n n a a a a a +=+<++=+,故1
1n n a a +<+.所以11n n a a +-<成立. 对②,
111111
1
11
1n n n n n n n a a a a a a a +++-=?=Þ++, 故22
10111
1n n n n n
n n n n n n a a a a a a a a a a a +--=
---++==<<+成立. 对③, 1122
21101111n n
n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++⎛⎫=
⇒-=-=-<< ⎪+++⎝⎭
成立 对④, ()2
222
112121211n n n n n n n a a a a a a a ++-=⇒=+<++=+.
故11n n a a +<+,11n n a a +-<成立. 综上, ①②③④均正确. 故答案为：①②③④ 【点睛】
本题主要考查了新定义的问题,需要根据递推公式证明11n n a a +-<.属于中等题型.
20．【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得
到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根
解析：11
(,)23
--
【解析】 【分析】
根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式
250bx x a -+>的解集，得到答案.
【详解】
由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，
可得53(2)(3)(2)a b a ⎧
-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=
⎪⎩
，解得1,6a b =-=-，
所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->， 即2
651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得11
23
x -
<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23
--. 【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得
,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
三、解答题
21．当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-； 当0a >时，不等式的解集为2
{|x x a
≥
或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2
{|
1}x x a
≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-； 当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a
-≤≤. 【解析】 【分析】
将原不等式因式分解化为()()210ax x -+≥，对参数a 分5种情况讨论：0a =，
0a >，20a -<<，2a =-，2a <-，分别解不等式． 【详解】
解：原不等式可化为()2
220ax a x +--≥，即()()210ax x -+≥，
①当0a =时，原不等式化为10x +≤，解得1x ≤-， ②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫
-+≥ ⎪⎝⎭
， 解得2
x a
≥
或1x ≤-， ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫
-+≤ ⎪⎝
⎭
. 当2
1a >-，即2a <-时，解得21x a
-≤≤； 当2
1a
=-，即2a =-时，解得1x =-满足题意； 当
21a
<-，即20a -<<时，解得2
1x a ≤≤-.
综上所述，当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-； 当0a >时，不等式的解集为2
{|x x a
≥
或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2
{|
1}x x a
≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-； 当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a
-≤≤. 【点睛】
本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对a 分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述. 22．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得
21n b n =+（2）利用()11
1212111n c n n n n n n ⎛⎫=++
=++- ⎪⋅++⎝⎭
分组求和即可证明
【详解】
（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以1123
51096a d a d d
+=⎧⎨
+=+⎩.
整理得1123549a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得11
1
a d =⎧⎨=⎩，
所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，
()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.
综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()11
1212111n c n n n n n n ⎛⎫=++
=++- ⎪⋅++⎝⎭，
所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 即()()22
2
11211111
n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题 23．（1）1；（2）()3,-+∞ 【解析】 【分析】
(1)根据函数()f x 的值域为[0,)+∞,可得0∆=,从而求出a 的值;
(2)()0f x >对任意的[)1,x ∈+∞成立等价于22a x x >--对任意的[)1,x ∈+∞成立,因此只需(
)
2
max
2a x x >--,然后求出2
2x x --的最小值即可得到a 的范围. 【详解】
解:(1)∵函数()()2
2f x x x a x R =++∈的值域为[)0,+∞,
∴22410a ∆=-⨯⨯=,∴1a =. (2)∵()0f x >对任意的[)1,x ∈+∞成立, ∴220x x a ++>对任意的[)1,x ∈+∞成立,
∴22a x x >--对任意的[)1,x ∈+∞成立,∴只需()
2
max
2a x x
>--.
∵当[)1,x ∈+∞时,()
2
2max
21213x x
--=--⨯=-,
∴3a >-.
∴实数a 的取值范围为()3,-+∞. 【点睛】
本题考查了根据函数的值域求参数的值和不等式恒成立问题,考查了转化思想和计算能力,属中档题.
24．（1）3π；（2）4
【解析】 【分析】
(1)根据2cos 2a C c b +=,利用正弦定理将边化为角,进一步求出角A ; (2)根据条件由余弦定理,可得2
2
2
2
12cos 3
a b c bc π
==+-,再结合222b c bc +≥,求出bc 的
范围,进一步求出ABC ∆面积的最大值. 【详解】
解:(1)∵2cos 2a C c b +=,∴2sin cos sin 2sin A C C B +=,
又∵A B C π++=,∴()2sin cos sin 2sin cos cos sin A C C A C A C +=+, ∴sin 2cos sin C A C =,∴()sin 2cos 10C A -=, ∵sin 0C ≠,∴1cos 2
A =, 又()0,A π∈,∴3
A π
=
(2)由(1)知,3
A π
=
,
∵1a =,∴由余弦定理,有2
2
2
2
12cos 3
a b c bc π
==+-,∴221bc b c +=+.
∵222b c bc +≥, ∴12bc bc +≥, ∴1bc ≤,当且仅当1b c ==时等号成立,
∴()
max
11sin 1sin 23234
ABC S bc ππ∆==⨯⨯=
,
∴三角形ABC 的面积的最大值为4
. 【点睛】
本题考查了正弦定理,余弦定理,面积公式和均值不等式,考查了转化思想和计算能力,属中档题.
25．（1）2n
n a =； （2）见解析.
【解析】 【分析】
（1）由等比数列前n 项和公式求出公比q 和首项1a ，得通项公式； （2）用裂项相消法求出和n T ，可得结论． 【详解】
（1）设等比数列的首项及公比分别为10a >，0q >，
26S =Q ，314S =，显然1q ≠，
()
(
)
213
116
11141a q q
a q
q
⎧-⎪=-⎪∴⎨-⎪=⎪
-⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩， 2n n a ∴=；
（2）证明：由（1）知，n b n =，则
11111
(1)1
n n b b n n n n +==-++， 121n n n T b b b b -∴=++⋯⋯++
11111111
11223111
n n n n n =-
+-+⋯⋯+-+-=-
-++, *n N ∈Q ,
1n T ∴<．
【点睛】
本题考查等比数列的前n 项和与通项公式，考查裂项相消法求数列的和．基本量法是解决等差数列和等比数列的常用方法．裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和法是数列求和的特殊方法，它们针对的是特殊的数列求和．
26．（1）a n ＝3n ﹣
1，b n ＝2n ﹣1（2）T n ＝3﹣（n +1）•（
13
）n ﹣1 【解析】 【分析】
(1)利用基本量法求解n a ,再代入()1,n n P b b +到直线20x y -+=可得{}n b 为等差数列,再进行通项公式求解即可. (2)利用错位相减求和即可. 【详解】
（1）递增等比数列{a n }的公比设为q ,前n 项和为S n ,且a 2＝3,S 3＝13, 可得a 1q ＝3,a 1+a 1q +a 1q 2＝13,解得q ＝3或q 13
=
, 由等比数列递增,可得q ＝3,a 1＝1,则13-=n n a ； P （b n ,b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上,可得b n +1﹣b n ＝2, 且b 1＝a 1＝1,则b n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）c n n
n b a =
=（2n ﹣1）•（13
）n ﹣1, 前n 项和T n ＝1•1+3•1
3
+5•
1
9++L （2n ﹣1）•（13
）n ﹣1, 13T n ＝1•13+3•19+5•
1
27++L （2n ﹣1）•（13
）n ,
相减可得2
3
T n＝1+2（
11
39
+++
L（
1
3
）n﹣1）﹣（2n﹣1）•（
1
3
）n
＝1+2•
1
11
1
33
1
1
3
n-
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭-
-
（2n﹣1）•（
1
3
）n,
化简可得T n＝3﹣（n+1）•（1
3
）n﹣1.
【点睛】
本题主要考查了等比等差数列的通项公式求解以及错位相减的求和方法,属于中档题.。