广东省汕头市英华外国语学校高二数学下学期开学检测测试(文)新人教版【会员独享】

汕头英华外国语2010年度开学高二检测
数学科（文）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．
第一部分（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑．
1、若抛物线2
y ax =的焦点与椭圆22
162
x y +=的左焦点重合，则a 的值为. A ．4- B ．2 C ．8- D ．4
2、已知在∆ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3
A π
=，a =1b =，
则c =
A ．1
B ．2
C ．
1
D
3,则6是该数列的
A ．第10项
B ．第11项
C ．第12项
D ．第13项
4、已知命题2,210p x R x ax ∀∈++>：，命题q a Z ∈：，若“p ∧q ”是真命题，则实数a 的值可能是
A ．1-
B ．1
C ．1±
D ．0
5、已知实数a b c d ，，，成等比数列，若曲线33y x x =-恰好在x b =处取得极大值c ，则ad 等于
A ．2
B ．1
C ．1-
D ．2-
6、已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项依次成等比数列，则这个等比数列的公比是 A ．4
B ．3
C ．2
D ．
12
7、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，则 “cos c a B =”是 “△ABC 为直角三角形”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8、如果双曲线22
221x y a b
-=右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则
双曲线离心率的取值范围是
A ．(]1 2，
B ．()2+∞，
C ．()1 2，
D ．[)2+∞， 9、若对任意的x ＞0，恒有ln 1(0)x px p ?>，则p 的取值范围是 A ．(0,1] B ．(1,)+∞ C ．(0,1)
D ．[1,)+∞
10、点()P x y ，在直线430x y +=上，且x y ，满足147x y -≤-≤，则点P 到坐标原点距
离的取值范围是
A．[0,5]B．[5,10]C．[0,10]D．[5,15]
第二部分（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷相应位置的横线上．
11、双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2，一个焦点的坐标为()
0,2，则此双曲线的方程是；
12、已知等差数列{
n
a}的前n 项和为
n
S．若
36
20
a a
+=，则
8
S等于；
13、若函数1
)
(2
3+
+
+
=x
mx
x
x
f在R上没有极值点，则实数m的取值范围
是；
14、不等式组
20,
20,
220,
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
++≥
⎨
⎪--≤
⎩
所确定的平面区域记为D.若点()
,x y是区域D上的点，
则2x y
+的最大值是 , 若圆:
O222
x y r
+=上的所有点都在区域D上,
则圆O的面积的最大值是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15、(本小题满分12分)
建造一个容积为83
m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，
（1）设池底的长为x m，试把水池的总造价S表示成关于x的函数；
（2）如何设计池底的长和宽，才能使总造价S最低，求出该最低造价。

16、(本小题满分12分)
已知函数32
()5
f x x ax bx
=+++，若2
x=-时，()
f x有极值，且曲线()
y f x
=在点1
x=处的切线斜率为3，
（1）求函数)
(x
f的解析式；
（2）判断当2
x=-时，()
f x是取到极大值还是极小值，说明理由。

17、(本小题满分12分)
如下图所示，现有A、B、C、D四个海岛，已知B在A的正北方向5海里处，C在A 的东偏北30°方向，又在D的东北方向，且B、C相距7海里，求C岛分别到A、D两岛的距离。

18、(本小题满分14分)
已知动点(,)(0)
P x y y≥到定点F(0,1)的距离和它到直线1
y=-的距离相等，记点P 的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程；
（2）设圆M过点A(0,2)，且圆心(,)
M a b在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为1
(,0)
E x、
2
(,0)
G x，求线段EG的长度。

19、(本小题满分15分)
设数列{}n a的前n项和为n S，点*)
)(
,
(N
n
n
S
n n∈均在函数2
3-
=x
y的图象上
（1）求数列{}n a的通项公式；
（2）设
1
3
+
=
n
n
n a
a
b，
n
T是数列{}n b的前n项和，求使得
20
m
T
n
<对所有*
N
n∈都成立的最小正整数m．
20、(本小题满分15分)
已知()ln
f x x
=，2
17
()
22
g x x mx
=++(0
m<)，直线l与函数()
f x、()
g x的图像都相切，且与函数()
f x的图像的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若()(1)()
h x f x g x
'
=+-，求函数()
h x的最大值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，总有
2
1111
ln(1)ln(1)ln(1)1
2222
n n
++++++<-。

汕头英华外国语2010年度开学高二检测
数学（文）参考答案
二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．
11、2
2
13
x y -= 12、 80 13、[ 14、 14 , 45π
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
15、(本小题满分12分) 建造一个容积为83
m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，
（1）设池底的长为x m ，试把水池的总造价S 表示成关于x 的函数； （2）如何设计池底的长和宽，才能使总造价S 最低，求出该最低造价。

解：（1）∵池底的长为x m ，故宽为
4
m x ， ∴84
41202(2)80480320()S x x x x
=⨯+⨯+⨯=++
（2）∵4
480320()S x x
=++48032041760≥+⨯=
当且仅当4
x x
=，即x =2时等号成立
∴当池底的长为2 m ，宽也是2m 时，总造价最低为1760元。

16、(本小题满分12分) 已知函数32
()5f x x ax bx =+++，若2x =-时，()f x 有极值，且
曲线()y f x =在点1x =处的切线斜率为3， （1）求函数)(x f 的解析式；
（2）判断当2x =-时，()f x 是取到极大值还是极小值，说明理由。

解：（1）.23)(2
b ax x x f ++='
由题意，得(2)1240,2,
(1)32 3. 4.
f a b a f a b b '-=-+==⎧⎧⎨
⎨
'=++==-⎩⎩解得 所以，.542)(23
+-+=x x x x f
（2）由（1）知2
()44(2)(32).f x x x x x '=+-=+-，
.32
,2,0)(21=
-=='x x x f 得令 列表如下：
y
2=4y
∴由上表可知，当2x =-时，()f x 取到极大值
17、(本小题满分12分) 如下图所示，现有A 、B 、C 、D 四个海岛，已知B 在A 的正北方向5海里处，C 在A 的东偏北30°方向，又在D 的东北方向，且B 、C 相距7海里，求C 岛分别到A 、D 两岛的距离。

解：设A 、C 两岛相距x 海里。

∵C 在A 的东偏北30°方向 ∴∠BAC=60°
在△ABC 中，由余弦定理得222
7525cos60x x =+-⨯︒ 化简得2
5240x x --=
解得8x =或3x =-（不合题意，舍去） ∵C 在D 的东北方向 ∴∠ADC=135° 在△ADC 中，由正弦定理得︒
=︒135sin AC
30sin CD
∴ACsin 30CD 42sin135︒
=
=
=︒
∴C 岛到A 岛的距离为8海里，C 岛到D 岛的距离为
18、(本小题满分14分) 已知动点(,)(0)P x y y ≥到定点F (0,1)的距离和它到直线1y =-的距离相等，记点P 的轨迹为曲线C 。

（1）求曲线C 的方程；
（2）设圆M 过点A (0,2)，且圆心(,)M a b 在曲线C 上，若圆M 与x 轴的交点分别为
1(,0)E x 、2(,0)G x ，求线段EG 的长度。

解：（1）依题意知，曲线C 是以F (0,1)为焦点，1y =-为准线的抛物线
∵焦点到准线的距离2p = ∴ 曲线C 方程是2
（2）∵圆M ∴其方程为222
2
()()(2)x a y b a b -+-=+- 令0y =得：2
2440x ax b -+-= 则122x x a +=，1244x x b ⋅=-
∴22121212()
()4x x x x x x -=+-⋅22
(2)4(44)41616a b a b =--=-+
又∵点(,)M a b 在抛物线2
4x y =上，∴2
4a b =，
∴212()16x x -=，即124x x -= ∴线段EG 的长度是4
19、(本小题满分15分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*))(,
(N n n
S n n
∈均在函数 23-=x y 的图象上．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
3
+=
n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有*N n ∈都成立的
最小正整数m ． 解：（1）∵依题意有
23-=n n
S n
，故n n S n 232-= ∴当n =1时， 111==S a
当n ≥2时，221323(1)2(1)65n n n a S S n n n n n -=-=-----=-， 又∵11a =满足上式
故56-=n a n
（2）∵)161
561(21)16)(56(331+--=+-==
+n n n n a a b n n n
∴111(1)2612n T n =
=
-<+， ∴要使20m T n <对所有*N n ∈都成立，则20
21m
≤，
∴m 的最小值为10
20、(本小题满分15分)已知()ln f x x =，217
()22
g x x mx =
++(0m <)，
直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1． （Ⅰ）求直线l 的方程及m 的值；
（Ⅱ）若()(1)()h x f x g x '=+-，求函数()h x 的最大值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n ，总有21111
ln(1)ln(1)ln(1)12222n n
+++
+++<-。

解：（Ⅰ）依题意知直线l 的斜率1
(1)11
k f '===
∵(1)0f =，故直线l 与函数()f x 的图像的切点坐标是(1，0)
∴直线l 的方程为1y x =- -----------2分 又∵直线l 与()g x 的图像也相切
∴由211722
y x y x mx =-⎧⎪⎨=++⎪⎩ 得2
2(1)90x m x +-+=
令2
(1)90m ∆=--=
0m < ∴解得2m =- -----------5分
（II ）
()2g x x m x '=+=-
∴()(1)()ln(1)2h x f x g x x x '=+-=+-+ ∴1()111
x
h x x x -'=
-=
++ -----------7分 ()010h x x '>-<<令，解得， ()01()0h x x x '<<->令，解得舍去或
∴()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减 ∴当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h = -------------10分 （Ⅲ）∵由（II ）知：当1x >-时，()2h x ≤，即ln(1)22x x +-+≤ ∴当1x >-时，ln(1)x x +≤，当且仅当0x =时等号成立 ∵
102n >，故11ln(1)22n n
+< ∴2211
(1)1
11111122ln(1)ln(1)ln(1)1122
222
2212
n n n n
-+++
+++
<+++==--。