高中数学 2.3等比数列(2)教案 苏教版必修5

第 8 课时：§2.3 等比数列（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；
2.深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；
3.提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.
二、过程与方法
通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

三、情感、态度与价值观
充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

【教学重点与难点】：
重点：等比中项的理解与应用
难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0≠q ），即：1
-n n a a q =（0≠q ） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n
3．}{n a 成等比数列⇔n
n a a 1+q =（+∈N n ,q ≠0）“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
二、研探新知
1．等比中项：
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）
推导：若在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，则ab G ab G G
b a G ±=⇒=⇒=2，
反之，若G 2=ab ,则G
b a G =，即b G a ,,成等比数列∴b G a ,,成等比数列⇔G 2=ab （0≠ab ） 探究：已知数列}{n a 是等比数列，（1）2537a a a =是否成立？2519a a a =成立吗？为什么？
（2）211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？
2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？
结论：若}{n a 为等比数列，m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅．
由等比数列通项公式得：11n 11 --==n m m q a a q a a ，111q 1 ,p q p a a q
a a q --==⋅， 故221m n m n a a a q +-⋅=且221p q p q a a a q +-⋅=，∵m n p q +=+，∴q p n m a a a a ⋅=⋅．
2．等比数列的性质：
（1）与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。

与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。

（2）若{}n a 为等比数列，m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅．
（3）若{}n a 为等比数列，则m n m n
a q a -=． 3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
4．等比数列的增减性：
5.探究等比数列与指数函数的关系
等比数列的图象：等比数列的通项公式11n n a a q -=是一个常数与指数式的乘积，表示这个数列的各点(,)n n a 均在函数11x y a q -=的图象上的一些孤立点（图象略）．
6.数列的单调性
（1）当10a >，1>q 时，等比数列}{n a 是递增数列；
（2）当10a <，01q <<，等比数列}{n a 是递增数列；
（3）当10a >，01q <<时，等比数列}{n a 是递减数列；
（4）当10a <，1>q 时，等比数列}{n a 是递减数列；
（5）当0q <时，等比数列}{n a 是摆动数列；当1q =时，等比数列}{n a 是常数列。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（1）求等比数列 ,2,2,1-第11项，第30项；
（2）在等比数列{}n a 中，已知256,6497==a a ，求n a ；
（3）在2与32之间插入3个数 ，使它们成GP ，求这三个数
例2 在等比数列{}n a 中，若10053=⋅a a ，求4a
例3 已知{},{}n n a b 是项数相同的等比数列，求证：{}n n a b ⋅是等比数列。

证明：设数列{}n a 的公比为p ；数列{}n b 公比为q ，则数列{}n n a b ⋅的第n 项和第1n +项与第n 项的分别是11n n a b ++，n n a b ，它们的比为
1111n n n n n n n n
a b a b pq a b a b ++++=⋅=是一个与n 无关的常数，所以，{}n n a b ⋅是以pq 为公比的等比数列．
思考：如果一个数列{}n a 的通项公式为(0,0)n n a aq a q =≠≠，那么这个数列为等比数列数列吗？ 例4 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列． 解：设插入的三个数为234,,a a a ，由题得234243,,,,3a a a 组成等比数列，设公比为q ，则513243q -=， 得13
q =±．所求的三数为81,27,9或81,27,9--． 例5 三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数。

例6 有四个数，前三个成等比数列，且积为27，后三个数成等差数列，且和为18，求些四个数。

例7已知数列{}n a 满足)(12,111*+∈+==N n a a a n n （1）求证：数列}1{+n a 成等比数列；（2）求n a
例8已知等比列}{n a 的通项公式为n n a 23⨯=，求首项1a 和公比q
解： 62311=⨯=a 1223221=⨯=a 所以26
1212===a a q 在此例中，等比数列的通项公式n n a 23⨯=是一个常数与指数式的乘积，从图象上看，表示这个数列的各点),(n a n 均在函数x y 23⨯=的图象上。

四、巩固深化，反馈矫正
1. 教材49P 练习第3,4,5题
2. 教材49P 习题第3,4,5,6,7题
五、归纳整理，整体认识
1．若b G a ,,成等比数列，则G ab G ,2
=叫做a 与b 的等差中项.
2．若m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅
3．判断一个数列是否成等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
4.若{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，则{}n n b a ⋅、{
n n
a b }也是等比数列 六、承上启下，留下悬念 七、板书设计（略）
八、课后记：。