材料力学课件第四章扭转

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Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。
对于实心圆截面：
d
Ip A2dA
D
222d 0
O
D
2 4
D 2
D4
4
32
0
24
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对于空心圆截面：
Ip A2dA
D
2 d
2 2d
d
2
(D4 d4)
D) 2
max
T Wt
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面：
Wt Ip RD316
对于空心圆截面：
W tIp RD 3(14)16
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三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件： 沿横截面断开。
铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线 断开。
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四、圆轴扭转时的强度计算
强度条件：
m ax[]
对于等截面圆轴：
Tmax Wt
[ ]
静载下: [] = ( 0.5 ~ 0.6 ) [ ] ( 钢 )
[] = ( 0.8 ~ 1.0 ) [ ] ( 铸铁 )
([] 称为许用切应力。)
强度计算三方面：
① 校核强度：
m
ax
Tm a Wt
②求扭矩（扭矩按正方向设）
mC0, T1m20 m2 1 m3 2 m1 3 m4
T1m2 4.78kNm
n
T 2m 2m 30,
A 1 B2 C3
T 2 m 2m 3 (4 .7 8 D4 .7)8 9 .5k6N m
T3m4 0 , T2 m4 6.37kNm
求扭矩: 任意截面的扭矩,数值上等于截面一侧轴段所有外力偶矩的代数和. 转向与 这些外力偶矩的合力偶矩之转向相反.
T
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x
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[例4] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：
G=80GPa ，[ ]=70M Pa，f´1º/m ，试确定：
①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ N1
②若全轴选同一直径，应为多少？
A
③主动轮与从动轮如何安排合理？
N2 B
N3 C
解：①图示状态下,扭矩如图
§4–1 引 言
轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等。
石油钻机
受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶.
变形特点：任意横截面绕杆轴相对转动。（杆表面纵线~螺 转变形）
旋线~扭
B
A
O
A
O
B
第2页/共59页 m
m
1
扭转角(相对扭转角)（ ）：任意两横截面绕轴线转动而
刚度计算的三方面：
① 校核刚度：
qm axq
② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
T
Ip
max
G[q ]
T m
axGp[Iq]
有时，还可依据此条件进行选材。第杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用切应力
代入物理关系式
G得d：dx
T
Ip
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T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 —该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
C D2=75 D1=70
m
TBCm9.55Pn
9.55 150 (kNm) 15.460
1.55(kN m)
x
②计算并校核切应力强度 m a x W Tt 1 .5 0.0 51371 30 62M 3 P[]a
③此轴满足强度要求。
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§4–5 圆轴扭转时的变形 ·刚度计算
[]=30MPa，试设计杆的外径；若q2º/m ，试校核此杆的刚
度，并求右端面转角。
解：①设计杆的外径
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Wt
Tmax
[ ]
Wt 1D6（ 3 14）
1
D（116Tm4a） x[]3
37
40Nm T
1
D（116Tm4a） x[]3
代入数值得：
D 0.0226m。
② 由扭转刚度条件校核刚度
qm
ax
Tm ax180
GIP
x
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qm
a
x
Tm ax180
GIP
8 0 1 39 0 2 42D 0 1 4(1 8 0 4)1.89 q
③右端面转角为：
0 LG TPId x0 24G 02 PIx0d xG 1P0 I(4xx2)0 2
0.03(弧 3 度） 40Nm
3.结论：①各圆周线的间距均未改变→横截面上无正应力. ②圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对 转动→周向无正应力 ③纵向线倾斜→横截面上有切应力. ④各纵向线均倾斜了同一微小角度 →切应力均匀分布.
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微小矩形单元体如图所示：
①横截面上无正应力 ②周向无正应力 ③横截面上各点处，只产生垂直于半径 的均匀分布的切应力 ，沿周向大小不变， 方向与该截面的扭矩方向一致。
三、刚度条件
qm axGTIp ' (rad/m)
或
qm axGTpI180' (/m)
q称为许用单位扭转角。
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q 根据机器要求、轴的工作条件确定。 可查手册。 精密机器轴： [q] = （ 0.15 ~ 0.30 ）º/m 一般传动轴： [q] = （ 0.30 ~ １.0 ）º/m 精度不高的轴： [q] = （ １.0 ~ ２.５ ）º/m
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2. 物理关系：
胡克定律： 代入上式得：
G
G G d d xG d d x
Gddx
距圆心等距离处的切应力相等
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3. 静力学关系： dA
T A dA
O
AG 2
d dx
dA
G
d dx
A
2d A
TGIp
d
dx
令 Ip A2dA
d
dx
T GIp
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性 材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：
G
E 2(1
)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。
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§4–4 圆轴扭转时的应力 ·强度计算
一、等直圆轴扭转实验观察： 1. 横截面变形后 仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。
圆轴横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面
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二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：
1. 变形几何关系：
tg G d1G xd d x
d
dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率(单位长度扭转角)。 dx
a
b
c
d
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二、薄壁圆筒切应力 与剪应变：
①切应力
AdAr0 T
r 0 A d A r 0 2r 0 t T
2Tr02t
T 2 A0 t
A0：平均半径所作圆的面积。
②剪应变
LR A
O
B
R/ L
第14页/共59页 m
m
13
三、切应力互等定理：
´
a
b
mz 0
5
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4 扭矩图：表示扭矩沿轴线方向变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
T
x
6
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[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出
P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
x[]
② 设计截面尺寸：
Wt
Tmax
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（ 3 14）
③ 计算许可载荷：
Tm axWt[]
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[例2] 功率为150kW，转速为转/秒的电动机转子轴如图，
许用切应力 []=30M Pa, 试校核其强度。
m
m
解：①求扭矩及扭矩图
A T
B D3 =135
一、扭转时的变形
由公式
d
dx
T GIp
知：长为 l一段等截面杆两截面间相对扭转角 为
d
0l
T GI p
dx
单位: 弧度(rad)
Tl GI p
(若 T 值不变）
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二、单位扭转角q： 或
qd T (rad/m)
dx GIp
qd T 180(/m) dx GpI
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
因此还需要研究斜截面上的应力。
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(a)
´ (b)
M
1. 点M的应力单元体如图(b)：
2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)：
´ (c)
第30页/共59页
x
´ (d)
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(d)
n
转角规定：
x 轴正向转至截面外法线
逆时针：为“+”
顺时针：为“–” ´
由平衡方程： t
F n 0 ; d A ( d A c) o s ( s d i A s n ) ic n 0 os
8
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③绘制扭矩图
T 9.56 kN mBC段为危险截面。 max
m2
m3
m1
m4
n
A
B
C
TD
– –
x
9
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§4–3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 m。
10
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2.实验后： ①圆周线的大小、形状、间距 不变； ②纵向线变成斜 直线， 倾角相同。
32
(
d D
)
D4 (14)
32
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d
D O
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④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，
结构轻便，应用广泛。
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⑤ 确定最大切应力：
由
T
Ip
知：当
R D ,
2
m ax
TD
max
2 Ip
T
Ip
D 2
T Wt
(令Wt Ip
当 = – 45°时，
45 m a x , 45 0
当 = 90°时，
90 0, 90 m a x
由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面 上的切应力为最大值；在方向角 = 45的斜截 45° 面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一 结论，就可解释前述的破坏现象。
´
31
m2
m3
m1
m4
解：①计算外力偶矩
m1 9.55Pn1 9.55 530000 A
15.9(kNm)
D
n
B
C
m 2 m 3 9 .5P n 2 5 9.1 3 55 0 5 4 .7 0 0(8 k m N)
m 49 .5P n 5 49.3 2 50 0 5 6 .0 0 3(7km N) 7 第8页/共59页
m7.02P n4(kN m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
4
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二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
mx 0 T m 0
m
m
T m
3 扭矩的符号规定：
x
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正，反之为负。
dy
t dxdy t dxdy
´
c
d
故
t
z
dx
上式称为切应力互等定理。
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且 数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
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单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯 剪切应力状态。 四、剪切虎克定律：
薄壁圆筒体扭转实验
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T=m
在一定范围内
T (2A0t) (L/R)
剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp) (在弹性范围 内)，切应力与剪应变成正比关系。
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G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。
发生的角位移。
剪应变(切应变)（）：直角的改变量。
A
O
B
m
m
2
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工 程 实 例
3
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§4–2 外力偶矩和扭矩
一、外力偶矩 使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上等于杆件所受外力对杆轴的力矩。
传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
m9.55P n(kN m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
F t 0 ; d A ( d A c) o c ( s d o A ss ) is n 0 in
解得： s2 in ; c2 o s 30 第31页/共59页
分析：
s2 in ; c2 o s
当 = 0°时， 当 = 45°时，
00, 0m a x
45 m i n , 45 0