2019年高中必修五数学上期中试题(带答案)(1)

2019年高中必修五数学上期中试题(带答案)(1)
一、选择题
1．已知等比数列{}n a ，11a =，41
8
a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．12,23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．2
,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
2．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若
(){}n
f a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()()
,00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3
f x x =；
②()x
f x e =；
③(
)f x =
④()ln f x x =
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
3．下列命题正确的是
A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2
B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc
C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3
D ．若a>b ，则
1
a ＜1b
4．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1
n n n
a b a +=
．若10112b b =，则21a =（ ）
A ．92
B ．102
C ．112
D ．122
5．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式
2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）
A ．-3
B ．1
C ．-1
D ．3
6．关于x 的不等式()2
10x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）
A ．[)(]3,24,5--⋃
B ．()()3,24,5--⋃
C ．(]4,5
D ．（4,5）
7．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13
-
B ．-3或
13
C ．3或
13
D ．-3或13
-
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9
B ．22
C ．36
D ．66
9．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14
B ．21
C ．28
D ．35
10．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}n
a 为等差数列，则9=a ( ) A ．
12
B ．
54
C ．
45
D ．45
-
11．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1a
b c
<
B ．
c a c
b a b
->- C ．11a a c b --<
D ．log log c b a a <
12．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且
723
n n S n T n +=+，则220
715
a a
b b +=+（ ）
A ．
49
B ．
378
C ．
7914
D ．
149
24
二、填空题
13．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；
； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;11
2a b
+≥⑤
. 14．设0x >，则23
1
x x x +++的最小值为______.
15．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则
1
12n n
a a a a a a a a +=⋅⋅⋅L _______________．
16．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________． 17．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则
3
2
a a =____. 18．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________． 19．设等差数列{}n
a 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列
{}n a 的通项公式n a =____．
20．若已知数列的前四项是
2112+、2124+、2136+、2
1
48
+，则数列前n 项和为______.
三、解答题
21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．
22．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比
1q >，且2420b b a +=，38b a =.
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）若数列{}n c ，满足4n
n n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和32
n T <
． 23．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且
2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++
（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 24．设函数1
()|(0)f x x x a a a
=+
+- （1）证明：()2f x ≥；
（2）若(3)5f <，求a 的取值范围． 25．在等比数列{}n a 中,(
)*
10a n N >∈,且3
28a
a -=,又15,a a 的等比中项为16.
（1）求数列{}n a 的通项公式:
（2）设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得
1231111n
k S S S S ++++<L 对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由. 26．已知数列为等差数列，且12a =，12312a a a ++=． (1) 求数列的通项公式； (2) 令
，求证：数列
是等比数列．
（3）令1
1
n n n c a a +=
，求数列{}n c 的前n 项和n S .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则3
411
8a q a =
=，解得12
q =， ∴1
1
2n n a -=
， ∴1121
111222n n n n n a a +--=
⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为
12
，公比为1
4的等比数列，
∴1223111(1)
21224(1)134314
n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2
[,)3+∞．选D ．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()
()
1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则
1
n n
a q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，
()()3
3
131
12n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，该函数为“保等比数列函数”；
对于②中的函数()x
f x e =，
()()1
11n n n n a a a n a n f a e e f a e
++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数(
)f x =
()
(
)
1n n f a f a +==
=，该函数为“保等比数
列函数”；
对于④中的函数()ln f x x =，()()1
1ln ln n n n n
a f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函
数”.故选：C. 【点睛】
本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3．C
解析：C 【解析】
对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.
故选C
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】
数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1
n n n
a b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝
，＝4312341233
a
a b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，
，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】
本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出
,a b ，可得答案.
【详解】
由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-.
所以=1,2A B -I ().
因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.
由韦达定理有：1212a b -+=-⎧⎨
-⨯=⎩
,即=1
2a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】
本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得
1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

【详解】
关于x 的不等式()2
10x a x a -++<，
∴不等式可变形为(1)()0x x a --<，
当1a >时，得1x a <<，此时解集中的整数为2，3，4，则45a <≤； 当1a <时，得1<<a x ，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则32a -≤<- 故a 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃，选：A 。

【点睛】
本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对a 和1的大小进行分类讨论。

其次在观察a 的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B 选项。

7．C
解析：C 【解析】
很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：(
)2
31113S a q q =++=，①
且：()21322a a a +=+，即()2
11122a q a a q +=+，②
①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1
9
13a q =⎧⎪⎨=⎪⎩
，
综上可得：公比q =3或1
3
. 本题选择C 选项.
8．D
解析：D 【解析】
分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.
点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.
9．C
解析：C 【解析】
试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则
()()17412747727282
2
a a a a a a a +⨯+++=
=
==L
考点：等差数列的前n 项和
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】
依题意得：7
32,1a a ==，因为数列1{}n
a 为等差数列，
所以73111
11273738
--===--a a d ，所以
()9711159784a a =+-⨯=，所以945
=a ，故选C ． 【点睛】
本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】
对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1a
b c ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故错误
对于B ，若c a c
b a b
->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误
对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】
本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】
因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以
2201111
7151111
22a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,
故令21n =有2121721214921324
S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以1111149
24a b = 故选：D. 【点睛】
本题主要考查等差数列的等和性质：
若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*
21(21),()n n S n a n N -=-∈
二、填空题
13．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误
解析：①③⑤ 【解析】 【分析】 【详解】 对于①：因为，
，所以
，所以
，故①项正确； 对于②：左边平方可得：
，所以
，故②
项错误； 而利用特殊值，
代入②中式子，也可得出②错误的结论；
对于③：因为
，由①知
，所以
，
故③项正确；
对于④：(
)3
3
22
()a b a b a ab b +=+-+2
2()
3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故
④项错误； 对于⑤
1a +1a =a b ab +=2ab
≥2，故⑤项正确； 故本题正确答案为：①③⑤.
14．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在
解析：1
【解析】 【分析】
利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】
由0x >，可得11x +>.
可令()11t x t =+>，即1x t =-，则
()(
)2
2113331111t t x x t x t t -+-+++==+-=+≥，
当且仅当t =
1x =时，等号成立.
故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．【解析】【分析】根据等比数列通项公式求出计算即可得解【详解】由题故答案为：4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用涉及等比数列求和关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简
解析：【解析】 【分析】
根据等比数列通项公式，求出()
()
1
211
2122
212
n n n n a
a a a ++--++=-
-+=L ，计算
()
2211
1111222222
n n n n n
n a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L 即可得解. 【详解】
由题2n
n a =， ()
()
1
211
2122212
n n n n a a a a ++--++=-
-+=L
()
2211
1111222222
n n n n n
n a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L ()
21
12224n n a
a a a +-+++===L .
故答案为：4 【点睛】
此题考查等比数列通项公式的应用，涉及等比数列求和，关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式，准确进行指数幂的运算化简.
16．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题 解析：1231n -⋅-
【解析】 【分析】
待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ 【详解】
因为{}n a 满足132n n a a +=+， 所以()13n n a a λλ++=+， 即132n n a a λ+=+，得到1λ=， 所以()1131n n a a ++=+， 而112a +=，
故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以1
123n n a -+=⋅，
故1
231n n a -=⋅-.
故答案为：1231n -⋅-. 【点睛】
本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.
17．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了
解析：1
2
【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出
()()()2
211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出
3
2
a a 的值. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2
211131222S a S a S a ∴-=--，
整理得()()2
211321a a a a a a -=-⋅+-，即()(
)
2
2
11q q q -=-+-，化简得
220q q -=，
0q ≠Q ，解得12
q =
，因此，3212a q a ==. 故答案为：1
2
. 【点睛】
本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
18．【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且 故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n 项和的极限属于基础题 解析：(0,4)(4,8)⋃
【解析】 【分析】
由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,1
41a q
=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围. 【详解】
由题意可得,
1
4,||11a q q
=<- ， 且0q ≠
14(1)a q =-
108a ∴<<且14a ≠
故答案为(0,4)(4,8)⋃ 【点睛】
本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.
19．【解析】设等差数列的公差为d ∵且成等差数列∴解得 ∴ 解析：21n -
【解析】
设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，
∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨++=+⎩解得11
,2
a d =⎧⎨
=⎩ ∴21n a n =- 20．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用
解析：
()()
323
4212n n n +-++ 【解析】 【分析】 观察得到2
1111222n a n n n n ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
，再利用裂项相消法计算前n 项和得到答案. 【详解】 观察知()2111112222n a n n n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪+++⎝⎭
.
故数列的前n 项和11111
113111...232422212n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()
323
4212n n n +=
-++. 故答案为：()()
3234212n n n +-++. 【点睛】
本题考查了数列的通项公式，裂项相消求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
三、解答题
21．（1）21n a n =+；（2）()1212n
n +-⋅
【解析】 【分析】
()1由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项
和公差，由此能求出21n a n =+．
(2()111)
2,2212n n n n
n n n
b b a n a ---==⋅=+⋅，由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T ． 【详解】
解：(1)Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠， 且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．
()()1
12
1
113254355022312a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪∴⎨⎪+=⋅+⎩， 解得132a d =⎧⎨=⎩
()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+，
21n a n ∴=+
(2)n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭Q 是首项为1公比为2的等比数列，
()1112,2212n n n n
n n n
b b a n a ---∴
==⋅=+⋅ ()0121325272212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯++⋅...①
()()12312325272212212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅...②
两式相减得：
()()12123221212
n n n T n --=--⨯
++⋅-
()1212n n =+-⋅
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，还考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题。

22．（1）n a n =，2n
n b =；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出343
4
a a =⎧⎨=⎩，可计算出1a 和d
的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件
1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ；
（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1
122213
n n n
B
++--=
，可得出
131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出3
2
n T <. 【详解】
（1）1359a a a ++=Q ，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =， 设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-⨯=，
()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.
由题意得()
2
241231120
8
b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，两个等式相除得
2152q q +=，整理得22520q q -+=.
1q >Q ，解得2q =，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==⨯=；
（2）442n n n
n n c b =-=-Q ，
()()()
1122424242n n n B =-+-++-Q L ()()()
()()11
2
1
2
141421244
444222
221412
3
n n n n
n
n ++---=+++-+++=-
=----L L ()()1
1
11222143223
3
n n n n ++++---⋅+==
，
()()()()()()111112323222221222121213
n n n
n n n n n n n n b B +++++⋅∴===⋅
------()()()()
111212133112221212121n n
n n n n +++---⎛⎫
=⋅=- ⎪----⎝⎭
，
22311313113113131122122121221212212n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-<
⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与分组求和法，考查计算能力，属于中等题. 23．(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A 的大小； (Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得sin sin B C +的最大值. 【详解】
(Ⅰ)()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++Q ，
()()2222a b c b c b c ∴=+++,即222a b c bc =++.
2221cos 22
b c a A bc +-=-∴=，120A ∴=︒.
(Ⅱ)sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒
-()1
sin sin 6022
B B B =
+=︒+， 060B ︒<<︒Q ，∴当6090B ︒+=︒即30B =︒时，sin sin B C +取得最大值1.
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 24．（1）详见解析；（2
）15(,22
． 【解析】
试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出min ()2f x =，从而得出结论；对第（2）问，由0a >去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出a 的取值范围.
试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min ()f x =1
2a a
+≥，当且仅当1a =时，取等号，所以()2f x ≥.
（2）因为(3)5f <，所以
1335a a ++-<⇔1335a a ++-<⇔132a a
-<-⇔ 11232a a a -<-<-
a <<. 【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.
考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
25．（1）1
2n n a +=（2）3.
【解析】 试题分析：
（1）由题意可得316a =，又328a a -=，故28a =，由此可得等比数列的公比2q =，
因此可得1
2n n a +=．（2）由（1）得1
2n n b +=
，所以()34
n n n S +=，从而()14411333n S n n n n ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
，求和可得123111141111141122113231233239
n S S S S n n n L ⎛⎫⎛⎫++++=⨯++---<⨯++= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，所以可得22
9
k ≥，故存在满足题意得k ，且k 的最小值为3． 试题解析：
（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，
∵15a a ，的等比中项为16． ∴316a =， 又328a a -=，
28a ∴=，
∴3
2
2a q a =
=， ∴2
182
2n n n a -+=⨯==． （2）由（1）得1
41
log 2
2
n n n b ++==
， ∴数列{}n b 为等差数列，且11b =．
∴()113224
n n n n n S +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==
， ∴
()14411333n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， ∴
123111141111111131425363n S S S S n n ⎛⎫++++=⨯-+-+-++- ⎪+⎝⎭L L 4111111323123n n n ⎛⎫=⨯++--- ⎪+++⎝⎭ 4112213239
⎛⎫<
⨯++= ⎪⎝⎭， ∴229
k ≥
， ∴存在满足题意得k ，且k 的最小值为3． 点睛：用裂项法求和的原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，消项后的剩余部分具有对称性． 26．解: (1)∵数列为等差数列,设公差为
, 由,得
,
,
∴
，
.
(2)∵,
∴
∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 .
（3）∵1
1
n n n c a a +=，2n a n =， ∴1111
()22(1)41
n c n n n n =
=-⋅++
∴11111(1)()42423n S =
-+-+…111()41n n +-+11(1)41
n =-+ 【解析】
试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分
由,得
,
,
∴
， …………………… 3分
. …………………… 4分
(2)∵, …………………… 5分 ∴， …………………… 6分
∴数列
是首项为9，公比为9的等比数列 . …………………… 8分
（3）∵1
1
n n n c a a +=，2n a n =， ∴1111
()22(1)41
n c n n n n ==-⋅++………………… 10分
∴11111(1)()42423n S =
-+-+…111()41n n +-+11(1)41
n =-+……… 12分 考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n 项和的求法．
点评：裂项法是求前n 项和常用的方法之一．常见的裂项有：
，
，，
，，。