高中数学第二讲讲明不等式的基本方法一比较法讲义含解析新人教A版选修4_50417112.doc

一 比较法
1．作差比较法
(1)作差比较法的理论依据a －b >0⇔a >b ，a －b <0⇔a <b ，a －b ＝0⇔a ＝b . (2)作差比较法解题的一般步骤：
①作差；②变形整理；③判定符号；④得出结论．
其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定差的符号，常用的手段有：因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等．
2．作商比较法
(1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质： ①b >0，若a
b >1，则a >b ；若a b <1，则a <b ； ②b <0，若a b
>1，则a <b ；若a b
<1，则a >b . (2)作商比较法解题的一般步骤：
①判定a ，b 的符号；②作商；③变形整理；④判定与1大小关系；⑤得出结论．
[例1] 已知[思路点拨] 因为不等式两边是同一种性质的整式，所以可以直接通过作差比较大小． [证明] x 3
－x 2
y ＋xy 2
－(x 2
y －xy 2
＋y 3
) ＝x (x 2
－xy ＋y 2
)－y (x 2
－xy ＋y 2
) ＝(x －y )(x 2
－xy ＋y 2
)
＝(x －y )⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＋3y 2
4.
因为x >y ，所以x －y >0，
于是(x －y )⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＋3y 2
4>0， 所以x 3
－x 2
y ＋xy 2
>x 2
y －xy 2
＋y 3
.
(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．
(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有
效的恒等变形的方法．
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．
1．求证：a 2
＋b 2
≥2(a －b －1)． 证明：a 2
＋b 2－2(a －b －1) ＝(a －1)2
＋(b ＋1)2
≥0， ∴a 2
＋b 2≥2(a －b －1)． 2．已知a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋， 求证：(a ＋b )(a n
＋b n
)≤2(a
n ＋1
＋b
n ＋1
)． 证明：∵(a ＋b )(a n
＋b n
)－2(a n ＋1
＋b
n ＋1
)
＝a
n ＋1
＋ab n ＋ba n ＋b
n ＋1
－2a
n ＋1
－2b
n ＋1
＝a (b n －a n
)＋b (a n
－b n
) ＝(a －b )(b n
－a n
)．
①当a >b >0时，b n
－a n
<0，a －b ＞0， ∴(a －b )(b n
－a n )<0.
②当b >a >0时，b n
－a n
>0，a －b <0. ∴(a －b )(b n
－a n )<0.
③当a ＝b >0时，(b n
－a n
)(a －b )＝0.
综合①②③可知，对于a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，都有(a ＋b )(a n
＋b n
)≤2(a
n ＋1
＋b
n ＋1
).
[例2] 设a >0，b >0，求证：a a b b
≥(ab )
2
.
[思路点拨] 不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用作商比较法． [证明] ∵a a b b
>0，(ab )
a ＋b
2
>0，
∴a a b b (ab )
a ＋
b 2
＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2.
当a ＝b 时，显然有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2
＝1；
当a >b >0时，a b
>1，
a －b
2>0，
∴由指数函数单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2
>1； 当b >a >0时，0<a b
<1，
a －b
2
<0，
∴由指数函数的单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b
a －
b 2
>1.
综上可知，对任意实数a ，b ，都有a a b b
≥(ab )
a ＋b
2
.
当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．
3．已知a >b >c >0.求证：a 2a b 2b c 2c
>a b ＋c b c ＋a c a ＋b
.
证明：由a >b >c >0，得a
b ＋
c b c ＋a c a ＋b >0.
作商a 2a b 2b c 2c a b ＋c b c ＋a c a ＋b ＝a a a a b b b b c c c c a b a c b c b a c a c
b
＝a
a －
b a a －
c b b －c b b －a c c －a c c －b
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b
a －
b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a
c a －c ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c b －c . 由a >b >c >0，得a －b >0，a －c >0，b －c >0， 且a b
>1，a c
>1，b c
>1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b
a －
b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a
c a －c ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c b －c >1.
∴a 2a b 2b c 2c
>a
b ＋
c b c ＋a c a ＋b
.
4．设n ∈N ，n >1，求证log n (n ＋1)>log (n ＋1)(n ＋2)． 证明：因为n >1，
所以log n (n ＋1)>0，log (n ＋1)(n ＋2)>0， 所以log (n ＋1)(n ＋2)log n (n ＋1)＝log (n ＋1)(n ＋2)·log (n ＋1)n
≤⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤log (n ＋1)(n ＋2)＋log (n ＋1)n 22
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n 2
＋2n )22
<⎣⎢⎡⎦
⎥⎤log (n ＋1)(n ＋1)2
22＝1.
故log (n ＋1)(n ＋2)<log n (n ＋1)， 即原不等式得证.
[例3] m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
[思路点拨] 先用m ，n 表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较．
[解] 设从出发地点至指定地点的路程为s ，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t 1，t 2 ，
依题意有t 12m ＋t 12n ＝s ，s 2m ＋s
2n ＝t 2.
∴t 1＝
2s m ＋n ，t 2＝s (m ＋n )2mn
. ∴t 1－t 2＝
2s m ＋n －s (m ＋n )
2mn
＝s [4mn －(m ＋n )2]2mn (m ＋n )＝－s (m －n )2
2mn (m ＋n )
.
其中s ，m ，n 都是正数，且m ≠n ， ∴t 1－t 2<0.即t 1<t 2.
从而知甲比乙先到达指定地点．
应用不等式解决实际问题时， 关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．
5．某人乘出租车从A 地到B 地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适？
解：设A 地到B 地距离为m 千米．起步价内行驶的路程为a 千米． 显然当m ≤a 时，选起步价为8元的出租车比较便宜．
当m >a 时，设m ＝a ＋x (x >0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P (x )元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q (x )元，则P (x )＝10＋1.2 x ，
Q (x )＝8＋1.4x .
∵P (x )－Q (x )＝2－0.2x ＝0.2(10－x )，
∴当x >10时，P (x )<Q (x )，此时选择起步价为10元的出租车较为合适． 当x <10时，P (x )>Q (x )，此时选起步价为8元的出租车较为合适． 当x ＝10时，P (x )＝Q (x )，两种出租车任选，费用相同．
1．下列关系中对任意a <b <0的实数都成立的是( ) A ．a 2
<b 2
B ．lg b 2
<lg a 2
C.b a
>1
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2>⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b 2 解析：选B ∵a <b <0，∴－a >－b >0. (－a )2
>(－b )2
>0.
即a 2
>b 2
>0.∴b 2
a
2<1.
又lg b 2
－lg a 2
＝lg b 2
a
2<lg 1＝0，
∴lg b 2<lg a 2
. 2．已知P ＝1a 2
＋a ＋1
，Q ＝a 2
－a ＋1，那么P ，Q 的大小关系是( )
A ．P >Q
B ．P <Q
C ．P ≥Q
D ．P ≤Q
解析：选D 法一：Q
P
＝(a 2－a ＋1)(a 2
＋a ＋1) ＝(a 2
＋1)2
－a 2
＝a 4
＋a 2
＋1≥1， 又∵a 2＋a ＋1>0恒成立， ∴Q ≥P .
法二：P －Q ＝1－(a 2
－a ＋1)(a 2
＋a ＋1)
a 2＋a ＋1
＝－(a 4
＋a 2
)a 2＋a ＋1
， ∵a 2
＋a ＋1>0恒成立且a 4
＋a 2
≥0， ∴P －Q ≤0，即Q ≥P . 3．已知a >0，b >0，m ＝a b ＋b a
，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小关系是( ) A ．m ≥n >p
B ．m >n ≥p
C ．n >m >p
D ．n ≥m >p
解析：选A 由m ＝
a b ＋b
a
，n ＝a ＋b ，得a ＝b >0时，m ＝n, 可排除B 、C 项．比较A 、D 项，不必论证与p 的关系．取特殊值a ＝4，b ＝1，则m ＝4＋12＝9
2
，n ＝2＋1＝3，∴
m >n ，可排除D ，故选A.
4．设m >n ，n ∈N ＋，a ＝(lg x )m ＋(lg x )－m ，b ＝(lg x )n ＋(lg x )－n
，x >1，则a 与b 的大小关系为( )
A ．a ≥b
B ．a ≤b
C ．与x 值有关，大小不定
D ．以上都不正确
解析：选A a －b ＝lg m
x ＋lg －m
x －lg n x －lg －n
x ＝(lg m
x －lg n
x )－⎝
⎛⎭
⎪
⎫1lg n x －1lg m x
＝(lg m
x －lg n
x )－lg m
x －lg n
x
lg m x lg n
x ＝(lg m x －lg n
x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1lg m x lg n x
＝(lg m x －lg n
x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1lg m ＋n x .
∵x >1，∴lg x >0. 当0<lg x <1时，a >b ； 当lg x ＝1时，a ＝b ； 当lg x >1时，a >b . ∴应选A.
5．若0<x <1，则1x 与1
x
2的大小关系是________．
解析：1x －1x 2＝x －1x
2.
因为0<x <1，所以1x －1
x
2<0.
所以1x <1x
2.
答案：1x <1x
2
6．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2
－4a ，若P >Q ，则实数a ，b 满足的条件为________．
解析：P －Q ＝a 2b 2＋5－(2ab －a 2
－4a ) ＝a 2b 2
＋5－2ab ＋a 2
＋4a ＝a 2b 2
－2ab ＋1＋4＋a 2
＋4a ＝(ab －1)2
＋(a ＋2)2
， ∵P >Q ，∴P －Q >0， 即(ab －1)2
＋(a ＋2)2
>0， ∴ab ≠1或a ≠－2. 答案： ab ≠1或a ≠－2
7．一个个体户有一种商品，其成本低于3 500
9元．如果月初售出可获利100元，再将本
利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．
解析：设这种商品的成本费为a 元．
月初售出的利润为L 1＝100＋(a ＋100)×2.5%， 月末售出的利润为L 2＝120－2%a ， 则L 1－L 2＝100＋0.025a ＋2.5－120＋0.02a
＝0.045⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －
3 5009，
∵a <3 500
9
，
∴L 1<L 2，月末出售好． 答案：月末
8．已知x ，y ∈R, 求证：sin x ＋sin y ≤1＋sin x sin y . 证明：∵sin x ＋sin y －1－sin x sin y ＝sin x (1－sin y )－(1－sin y ) ＝(1－sin y )(sin x －1)． ∵－1≤sin x ≤1，－1≤sin y ≤1. ∴1－sin y ≥0，sin x －1≤0. ∴(1－sin y )(sin x －1)≤0. 即sin x ＋sin y ≤1＋sin x sin y .
9．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：a a b b c c
≥(abc )
a ＋
b ＋c
3
.
证明：不妨设a ≥b ≥c ≥0，那么由指数函数的性质，有
⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 3≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3≥1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a c －a 3≥1.
所以a a b b c c (abc )
a ＋
b ＋
c 3
＝a a －b 3＋a －c 3b b －c 3＋b －a 3c c －a 3＋c －b
3
＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫a b a －b 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a c －a 3
≥1.
∴原不等式成立．
10．已知a <b <c ，x <y <z ，则ax ＋by ＋cz ，ax ＋cy ＋bz ，bx ＋ay ＋cz ，bx ＋cy ＋az 中最大的是哪一个？证明你的结论．
解：ax ＋by ＋cz 最大．理由如下：
ax ＋by ＋cz －(ax ＋cy ＋bz )＝(b －c )y ＋(c －b )z ＝(b －c )(y －z )，
∵a <b <c ，x <y <z ，∴b －c <0，y －z <0， ∴ax ＋by ＋cz －(ax ＋cy ＋bz )>0， 即ax ＋by ＋cz >ax ＋cy ＋bz .
ax ＋by ＋cz －(bx ＋ay ＋cz )＝(a －b )x ＋(b －a )y ＝(a －b )(x －y )>0，
∴ax ＋by ＋cz >bx ＋ay ＋cz .
ax ＋by ＋cz －(bx ＋cy ＋az )＝(a －b )x ＋(b －c )y ＋(c －a )z ＝(a －b )x ＋(b －c )y ＋[(c
－b )＋(b －a )]z ＝(a －b )(x －z )＋(b －c )(y －z )>0，
∴ax ＋by ＋cz >bx ＋cy ＋az . 故ax ＋by ＋cz 最大．
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

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幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。