2019年青海省海东市互助县高考数学一诊试卷(文科)精品解析

2019年青海省海东市互助县高考数学一诊试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{x|1﹣x＜5}，则∁R A＝（ ）
A．{x|x≥﹣4}B．{x|x≤4}C．{x|x＜﹣4}D．{x|x≤﹣4}
2．（5分）（3﹣i）2＝（ ）
A．﹣8﹣6i B．8+6i C．8﹣6i D．﹣8+6i
3．（5分）双曲线x2﹣y2＝1的焦距为（ ）
A．B．2C．1D．2
4．（5分）若函数f（x）＝ln（x+1），则函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的定义域为（ ）A．（﹣1，2]B．（﹣1，1）C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]
5．（5分）一正方体的六个面上用记号笔分别标记了一个字，已知其表面展开图如图所示，则在原正方体中，互为对面的是（ ）
A．西与楼，梦与游，红与记B．西与红，楼与游，梦与记
C．西与楼，梦与记，红与游D．西与红，楼与记，梦与游
6．（5分）已知函数f（x）＝A sinωx（A＞0，ω＞0）与g（x）＝cosωx的部分图象如图所示，则（ ）
A．A＝1，ω＝B．A＝2，ω＝C．A＝1，ω＝D．A＝2，ω＝
7．（5分）若tanα，tanβ是方程x2﹣2x﹣4＝0的两根，则tan（α+β）＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）若函数f（x）＝在R上是增函数，则a的取值范围为（ ）A．（﹣∞，1]B．（0，2）C．（0，1]D．[1，2）
9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i＝（ ）
A．10B．11C．12D．13
10．（5分）已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．36πB．52πC．56πD．224π
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin A sin C＝sin2B，a＜c，且
cos B＝，则＝（ ）
A．B．C．D．
12．（5分）设A1，A2，B1分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右、上顶点，O为坐标原点，
D为线段OB1的中点，过A2作直线A1D的垂线，垂足为H，若|A2H|＝b，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．
13．（5分）已知向量，的夹角为120°，且||＝1，||＝4，则•＝ ．
14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为 ．
15．（5分）小周公司的班车早上7点到达A地，停留15分钟．小周在6：50至7：45之间到达A地搭乘班车，且到达A地的时刻是随机的，则他能赶上公司班车的概率为 ．
16．（5分）已知函数f（x）＝（x+a）lnx在x＝1处取得极值，则曲线y＝ax3在点（1，a）处的切线方程为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一)必考题：共60分．17．（12分）在等比数列{a n}中，已知a1＝﹣1，a2＝2．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）若a3，a4分别为等差数列{b n}的前两项，求{b n}的前n项和S n．
18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AC＝BC，且BC⊥AC．（1）证明：平面PBC⊥平面PAC；
（2）设棱AB，BC的中点分别为E，D，若四面体PBDE的体积为，求△PBE的面积．
19．（12分）甲、乙两人2013﹣2017这五年的年度体验的血压值的折线图如图所示．
（1）根据散点图，直接判断甲、乙这五年年度体检的血压值谁的波动更大，并求波动更大者的方差；
（2）根据乙这五年年度体检血压值的数据，求年度体检血压值y关于年份x的线性回归方程，并据此
估计乙在2018年年度体检的血压值．
（附：＝＝，＝﹣）
20．（12分）在直角坐标系xOy中直线y＝x+4与抛物线C：x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB．
（1）求C的方程；
（2）若D为直线y＝x+4外一点，且△ABD的外心M在C上，求M的坐标．
21．（12分）已知函数f（x）＝﹣（a+1）x+alnx．
（1）当a＞1时，求f（x）的单调区间；
（2）当a＜1且a≠0时，若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为
（θ为参数）．
（1）求l和C的直角坐标方程；
（2）讨论l和C的位置关系．
[选修4-5：不等式选]
23．设函数f（x）＝|x﹣a|+3x．
（1）当a＝1时，求不等f（x）≥3x+2；
（2）若∃x0∈R，f（x0）≤0，求a的取值范围．
2019年青海省海东市互助县高考数学一诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{x|1﹣x＜5}，则∁R A＝（ ）
A．{x|x≥﹣4}B．{x|x≤4}C．{x|x＜﹣4}D．{x|x≤﹣4}
【分析】化简集合A，根据补集的定义写出∁R A．
【解答】解：集合A＝{x|1﹣x＜5}＝{x|x＞﹣4}，
则∁R A＝{x|x≤﹣4}．
故选：D．
【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题．
2．（5分）（3﹣i）2＝（ ）
A．﹣8﹣6i B．8+6i C．8﹣6i D．﹣8+6i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：（3﹣i）2＝9﹣6i+i2＝8﹣6i．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5分）双曲线x2﹣y2＝1的焦距为（ ）
A．B．2C．1D．2
【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦距2c．
【解答】解：双曲线x2﹣y2＝1的a＝b＝1，c＝＝，
可得双曲线的焦距为2．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．
4．（5分）若函数f（x）＝ln（x+1），则函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的定义域为（ ）A．（﹣1，2]B．（﹣1，1）C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]
【分析】容易求出f（x）的定义域为（﹣1，2]，从而得出，要使得函数g（x）有意义，则需满足
，解出x的范围即可．
【解答】解：解得，﹣1＜x≤2；
∴要使g（x）有意义，则：；
解得﹣1＜x＜1；
∴g（x）的定义域为（﹣1，1）．
故选：B．
【点评】考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域求f[g（x）]定义域的方法．
5．（5分）一正方体的六个面上用记号笔分别标记了一个字，已知其表面展开图如图所示，则在原正方体中，互为对面的是（ ）
A．西与楼，梦与游，红与记B．西与红，楼与游，梦与记
C．西与楼，梦与记，红与游D．西与红，楼与记，梦与游
【分析】一正方体的六个面上用记号笔分别标记了一个字，已知其表面展开图如图所示，则在原正方体中，互为对面的是
【解答】解：将红作为底面，则西与之相对，楼与游相对，记与梦相对，
综上西与红，楼与游，梦与记相对，
故选：B．
【点评】考查了正方体的展开图，主要考查空间想象能力，属于基础题．
6．（5分）已知函数f（x）＝A sinωx（A＞0，ω＞0）与g（x）＝cosωx的部分图象如图所示，则（
）
A．A＝1，ω＝B．A＝2，ω＝C．A＝1，ω＝D．A＝2，ω＝
【分析】结合图象可知， A＝1，＝1.5，然后再由周期公式即可求解ω
【解答】解：由图象可知， A＝1，＝1.5，
∴A＝2，T＝6，
又6＝T＝，
∴ω＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题．
7．（5分）若tanα，tanβ是方程x2﹣2x﹣4＝0的两根，则tan（α+β）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用根与系数之间的关系求出tanαtanβ＝2，tanαtanβ＝﹣4，利用两角和差的正切公式进行求解即可．
【解答】解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣2x﹣4＝0的两根，则
∴tanαtanβ＝2，tanαtanβ＝﹣4，
则tan（α+β）＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，利用根与系数之间的关系以及两角和差的正切公式是解决本题的关键．
8．（5分）若函数f（x）＝在R上是增函数，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1]B．（0，2）C．（0，1]D．[1，2）
【分析】根据f（x）在R上是增函数即可得出，y＝（2﹣a）•2x在[1，+∞）上是增函数，y＝ax+1在
（﹣∞，1）上是增函数，且（2﹣a）•2≥a+1，从而得出，解出a的范围即可．【解答】解：∵f（x）在R上是增函数；
∴；
解得0＜a≤1；
∴a的取值范围为：（0，1]．
故选：C．
【点评】考查指数函数、一次函数和分段函数的单调性，增函数的定义．
9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i＝（ ）
A．10B．11C．12D．13
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
i＝1
S＝8
不满足条件S＝80，执行循环体，i＝2，S＝3
不满足条件S＝80，执行循环体，i＝3，S＝0
不满足条件S＝80，执行循环体，i＝4，S＝﹣1
不满足条件S＝80，执行循环体，i＝5，S＝0
不满足条件S＝80，执行循环体，i＝6，S＝3
不满足条件S＝80，执行循环体，i＝7，S＝8
不满足条件S＝80，执行循环体，i＝8，S＝15
不满足条件S＝80，执行循环体，i＝9，S＝24
不满足条件S＝80，执行循环体，i＝10，S＝35
不满足条件S＝80，执行循环体，i＝11，S＝48
不满足条件S＝80，执行循环体，i＝12，S＝63
不满足条件S＝80，执行循环体，i＝13，S＝80
此时，满足条件S＝80，退出循环，输出i的值为13．
故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
10．（5分）已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．36πB．52πC．56πD．224π
【分析】设三条侧棱长分别为a，b，c，由已知列式求得a，b，c的值，然后把三棱锥补形为长方体求解．
【解答】解：设三条侧棱长分别为a，b，c，
则，，，
解得：a＝4，b＝2，c＝6．
把三棱锥补形为长方体，则长方体的体对角线长为．
∴三棱锥的外接球的半径为，
则三棱锥的外接球的表面积为．
故选：C．
【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查“分割补形法”是中档题．
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin A sin C＝sin2B，a＜c，且
cos B＝，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用等比数列的定义求得b2＝ac，及余弦定理可得+＝，解得即可
【解答】解：△ABC中，∵sin A，sin B，sin C成等比数列，
∴sin2B＝sin A sin C，
∴b2＝ac．
∴cos B＝＝＝（+﹣1）＝，
∴+＝，
解得＝或＝，
∵a＜c，
∴＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查等比数列的定义，正弦定理余弦定理的应用，属于基础题．
12．（5分）设A1，A2，B1分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右、上顶点，O为坐标原点，
D为线段OB1的中点，过A2作直线A1D的垂线，垂足为H，若|A2H|＝b，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意画出图形，分别写出A1D，A2H的方程，联立求得H的坐标，再由|A2H|＝b列式求解．
【解答】解：直线A1D的方程为y＝（x+a），直线A2H的方程为y＝﹣（x﹣a），
联立，得x＝．
∴＝．
∵|A2H|＝b，
∴，即a2＝2b2，
∴e＝．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．
13．（5分）已知向量，的夹角为120°，且||＝1，||＝4，则•＝　﹣2　．【分析】由向量的数量积公式：•＝||||cosθ运算即可．
【解答】解：由向量的数量积公式得：
•＝||||cos120°＝1×4×（﹣）＝﹣2，
故答案为：﹣2
【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属简单题．
14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为　7　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合即可求得z＝2x+y的最大值．
【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（﹣1，9），
化z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5分）小周公司的班车早上7点到达A地，停留15分钟．小周在6：50至7：45之间到达A地搭
乘班车，且到达A地的时刻是随机的，则他能赶上公司班车的概率为 ．
【分析】小周要赶上公司班车，则必须在7点至7：15内到达，代入几何概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：小周要赶上公司班车，则必须在7点至7：15内到达，
则他能赶上公司班车的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
16．（5分）已知函数f（x）＝（x+a）lnx在x＝1处取得极值，则曲线y＝ax3在点（1，a）处的切线方程为　3x+y﹣2＝0　．
【分析】求出f（x）的导函数，由f′（1）＝0求得a值，再求出y＝ax3的导数，得到曲线y＝ax3在点（1，a）处的切线的斜率，利用直线方程点斜式得答案．
【解答】解：由f（x）＝（x+a）lnx，得f′（x）＝lnx+．
∴f′（1）＝a+1＝0，即a＝﹣1．
由y＝ax3＝﹣x3，得y′＝﹣3x2，
则y′|x＝1＝﹣3，
∴曲线y＝ax3在点（1，a）处的切线方程为y+1＝﹣3（x﹣1），
即3x+y﹣2＝0．
故答案为：3x+y﹣2＝0．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数极值点与导函数零点的关系，是中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一)必考题：共60分．17．（12分）在等比数列{a n}中，已知a1＝﹣1，a2＝2．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）若a3，a4分别为等差数列{b n}的前两项，求{b n}的前n项和S n．
【分析】（1）求出公比可得{a n}的通项公式；
（2）求出首项和公差可得{b n}的前n项和S n．
【解答】解：（1）∵公比，
∴；
（2）∵a3＝﹣4，a4＝8，
∴b1＝﹣4，公差d＝8﹣（﹣4）＝12，
∴．
【点评】本题考查等比数列的通项公式与等差数列的求和公式，考查运算能力，属于基础题．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AC＝BC，且BC⊥AC．（1）证明：平面PBC⊥平面PAC；
（2）设棱AB，BC的中点分别为E，D，若四面体PBDE的体积为，求△PBE的面积．
【分析】（1）由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，再由BC⊥AC，得BC⊥平面PAC，由此能证明平面
PBC⊥平面PAC．
（2）设AC＝PA＝BC＝a，则BD＝DE＝，由四面体PBDE的体积为：＝，求出a＝2，由此能求出△PBE的面积．
【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，
又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．
解：（2）设AC＝PA＝BC＝a，
则BD＝DE＝，
∴四面体PBDE的体积为：＝，
解得a＝2，
∴△PBE的面积S△PBE＝＝．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三角形的面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）甲、乙两人2013﹣2017这五年的年度体验的血压值的折线图如图所示．
（1）根据散点图，直接判断甲、乙这五年年度体检的血压值谁的波动更大，并求波动更大者的方差；
（2）根据乙这五年年度体检血压值的数据，求年度体检血压值y关于年份x的线性回归方程，并据此
估计乙在2018年年度体检的血压值．
（附：＝＝，＝﹣）
【分析】（1）根据散点图知甲的血压值波动更大些，计算甲的平均值和方差；
（2）计算平均数和回归系数，写出回归方程，利用回归方程求出x＝2018时的值即可．【解答】解：（1）根据散点图知，甲的血压值波动更大些，
甲这五年年度体检的血压值的平均值为
＝×（100+110+120+115+105）＝110，
其方差为
s2＝×[（100﹣110）2+（110﹣110）2+（120﹣110）2+（115﹣110）2+（105﹣110）2]＝50；
（2）计算＝2015，＝115，
回归系数为＝＝1，
＝﹣＝115﹣2015＝﹣1900；
y关于x的线性回归方程为＝x﹣1900；
当x＝2018时，＝2018﹣1900＝118；
∴估计乙在2018年年度体检的血压值为118．
【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．
20．（12分）在直角坐标系xOy中直线y＝x+4与抛物线C：x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB．
（1）求C的方程；
（2）若D为直线y＝x+4外一点，且△ABD的外心M在C上，求M的坐标．
【分析】（1）联立方程组，根据韦达定理和向量的数量积即可求出，
（2）先求出线段AB的中垂线方程为y＝﹣x+8，再联立方程组，解得即可．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得x2﹣2px﹣8p＝0，
则x1+x2＝2p，x1x2＝﹣8p，
从而y1y2＝（x1+4）（x2+4）＝x1x2+4（x1+x2）+16＝﹣8p+8p+16＝16，
∵OA⊥OB，
∴⊥＝x1x2+y1y2＝﹣8p+16＝0，解得p＝2，
故C的方程为x2＝4y，
（2）设线段AB的中点N（x0，y0），
由（1）可知x0＝（x1+x2）＝2，y0＝x0+4＝6，
则线段AB的中垂线方程为y﹣6＝﹣（x﹣2），即y＝﹣x+8，
联立，解得或，
M的坐标为（4，4）或（﹣8，16）．
【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档题
21．（12分）已知函数f（x）＝﹣（a+1）x+alnx．
（1）当a＞1时，求f（x）的单调区间；
（2）当a＜1且a≠0时，若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，结合函数的零点个数求出a的范围即可．
【解答】解：（1）f′（x）＝x﹣（a+1）+＝（x＞0），
当a＞1时，由f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞a；
由f′（x）＜0，得1＜x＜a；
故f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减．
（2）①当a＜0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
则f（x）min＝f（1）＝﹣a﹣，
因为∃m∈（0，1），f（m）＞0，且f（2）＝a（﹣2+ln2）＞0，
所以f（1）＝﹣a﹣＜0，即﹣＜a＜0；
②当0＜a＜1时，f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减，
f（x）在x＝a时取得极大值，且f（a）＝﹣a2+（﹣1+lna），
因为0＜a＜1，所以﹣1+lna＜0，则f（a）＜0，
所以f（x）在（0，+∞）只有一个零点．
综上，a的取值范围为（﹣，0）．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为
（θ为参数）．
（1）求l和C的直角坐标方程；
（2）讨论l和C的位置关系．
【分析】（1）由直线l的参数方程能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的参数方程能求出曲线C 的直角坐标方程．
（2）曲线C是以（a，2）为圆心，1为半径的圆，圆心C（a，2）到直线l的距离d＝，由此利用分类讨论思想能判断l和C的位置关系．
【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴直线l的直角坐标方程为2x﹣y﹣3＝0．
∵曲线C的参数方程为（θ为参数），
∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣a）2+（y﹣2）2＝1．
（2）曲线C是以（a，2）为圆心，1为半径的圆，
圆心C（a，2）到直线l的距离d＝，
当a＝时，d＝＝1，l和C相切；
当＜a＜时，d＝＜1，l和C相交；
当a＜或a＞时，d＝＞1，l和C相离．
【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线与圆的位置关系的判断，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
[选修4-5：不等式选]
23．设函数f（x）＝|x﹣a|+3x．
（1）当a＝1时，求不等f（x）≥3x+2；
（2）若∃x0∈R，f（x0）≤0，求a的取值范围．
【分析】（1）a＝1时，分两段去绝对值解不等式组可得；
（1）因为f（x）＝|x﹣a|+3x的值域为R，所以对任意实数a，均存在x0使f（x0）≤0．
【解答】解：（1）a＝1时，f（x）≥3x+2，
a＝1时，|x﹣1|≥3x+2，
x≥1时，x﹣1≥3x+2，解得：x≤﹣，不合题意，
x＜1时，1﹣x≥3x+2，解得：x≤﹣，
故不等式的解集是{x|x≤﹣}；
（2）因为f（x）＝|x﹣a|+3x的值域为R，所以对任意实数a，均存在x0使f（x0）≤0．
故a的取值范围为R．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。