【全国百强校】安徽省池州市第一中学2021届高三5月月考数学(文)试题
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21．设 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，均有 成立，求实数 的取值范围.
22．在直角坐标系 中，直线 ： ，圆 ： ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求 ， 的极坐标方程；
（2）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 ， 与 的交点为 ，求 的面积.
23．已知函数 .
16．在 中, 是角 所对的边长,若 ,则 __________．
三、解答题
17．已知 是等差数列， 是各项为正数的等比数列，且 ， ， .
⑴求数列 和 的通项公式；
⑵若 ，求数列 的前 项和 .
18．某市为制定合理的节电方案,对居民用电情况进行了调查,通过抽样,获得了如图所示的频率分布直方图：
4．C
【解析】
分析：先判断 ， 在双曲线上，则 一定不在双曲线上，则 在双曲线上，则可得 ，求出 ，再根据离心率公式计算即可．
详解：根据双曲线的性质可得 ， 在双曲线上，则 一定不在双曲线上，则 在双曲线上， 解得
故选C．
点睛：本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法，属于基础题
5．C
【解析】
分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件，可得 .
详解：初始化数值
执行第一次循环： 成立， ；
执行第二次循环： 成立， ；
执行第三次循环： 成立， ；
判断 不成立，输出 .
故选C.
点睛：程序框图问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，解题时只要按照循环结构，注意判断条件的成立与否完成解答即可.
6．D
【解析】
分析：根据题意画出图形，结合图形得出四边形 是菱形，且一内角为 ，由此求出 的值.
19．如图，在几何体 中，平面 底面 ，四边形 是正方形， ， 是 的中点，且 ， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求几何体 的体积.
20．如图已知抛物线 的焦点为 ，圆 ，直线 ： 与抛物线和圆从下至上顺次交于四点 ， ， ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若直线 于点 ，直线 与抛物线交于点 ， ，设 ， 的中点分别为 ，求证：直线 过定点.
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（2）若不等式 对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求模即可．
详解：∵复数
．．
故选A.
点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．B
【解析】
分析：根据已知得 ，代入求解 的值，验证互异性可得 .
【全国百强校】安徽省池州市第一中学2018届高三5月月考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．2
2．已知集合 ,若 ,则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 的图象如图所示，则 的大小关系为（）
A． B．
C． D．
4．已知双曲线 ,四点 ， 中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知输入实数 ，执行如图所示的流程图，则输出的 是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 为圆 上的三点，若 ，圆 的半径为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．2021年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结束,一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆 经过原点 且圆心在 轴正半轴上，经过点 且倾斜角为 的直线 与圆 相切于点 ，点 在 轴上的射影为点 ，设点 为圆 上的任意一点，则 （ ）
A． B． C． D．
12．设函数 ( 为自然对数的底数），当 时 恒成立，则实数 的最大值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
A． B． C． D．
8．已知定义在 上的函数 在 上单调递减，且 是偶函数，不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，其中每个单位正方体的边长为 ，则该几何体的体积
A． B． C． D．
10．已知 是函数 · 的一个极小值点，则 的一个单调递增区间是（ ）
13．已知 ， 满足条件 ，则点 到点 的距离的最小值是__________．
14．已知 是长轴长为 的_____．
15．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地，去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子原高一丈( 丈 尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为__________尺．
详解：如图所示：
，
四边形 是菱形，且 ，
又圆O的半径为2，
，
故选D.
点睛：本题考查了平面向量的数量积应用问题.
7．C
【解析】
分析：由市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食知这是一个几何概型，由题可知事件总数包含的时间长度是121，而他等待的时间不多于30分钟的事件包含的时间长度是55，两值一比即可求出所求．
详解： 或 ，
解得 或 ，
由集合中元素的互异性知 ，
故选B.
点睛：本题主要考察集合的交集运算，解题时注意验证集合中元素的互异性.
3．A
【分析】
由图可得：函数 图象过点 ，即可求得： ，同理可得： ，问题得解.
【详解】
由图像可知， ，得 ，
故选A..
【点睛】
本题主要考查了幂函数及指数函数的图象，还考查了读图能力及观察能力、转化能力，属于中档题．
(I)求直方图中 的值;
56789月均用电量百厦
（Ⅱ)设该市有100万户居说明理由;用户奖励20元/月,月均用电量在 内的用户奖励10元/月,月均用电量在 内的用户奖励2元/月.若该市共有400万户居民,试估计政府执行此计划的年度预算.
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，均有 成立，求实数 的取值范围.
22．在直角坐标系 中，直线 ： ，圆 ： ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求 ， 的极坐标方程；
（2）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 ， 与 的交点为 ，求 的面积.
23．已知函数 .
16．在 中, 是角 所对的边长,若 ,则 __________．
三、解答题
17．已知 是等差数列， 是各项为正数的等比数列，且 ， ， .
⑴求数列 和 的通项公式；
⑵若 ，求数列 的前 项和 .
18．某市为制定合理的节电方案,对居民用电情况进行了调查,通过抽样,获得了如图所示的频率分布直方图：
4．C
【解析】
分析：先判断 ， 在双曲线上，则 一定不在双曲线上，则 在双曲线上，则可得 ，求出 ，再根据离心率公式计算即可．
详解：根据双曲线的性质可得 ， 在双曲线上，则 一定不在双曲线上，则 在双曲线上， 解得
故选C．
点睛：本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法，属于基础题
5．C
【解析】
分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件，可得 .
详解：初始化数值
执行第一次循环： 成立， ；
执行第二次循环： 成立， ；
执行第三次循环： 成立， ；
判断 不成立，输出 .
故选C.
点睛：程序框图问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，解题时只要按照循环结构，注意判断条件的成立与否完成解答即可.
6．D
【解析】
分析：根据题意画出图形，结合图形得出四边形 是菱形，且一内角为 ，由此求出 的值.
19．如图，在几何体 中，平面 底面 ，四边形 是正方形， ， 是 的中点，且 ， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求几何体 的体积.
20．如图已知抛物线 的焦点为 ，圆 ，直线 ： 与抛物线和圆从下至上顺次交于四点 ， ， ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若直线 于点 ，直线 与抛物线交于点 ， ，设 ， 的中点分别为 ，求证：直线 过定点.
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（2）若不等式 对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求模即可．
详解：∵复数
．．
故选A.
点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．B
【解析】
分析：根据已知得 ，代入求解 的值，验证互异性可得 .
【全国百强校】安徽省池州市第一中学2018届高三5月月考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．2
2．已知集合 ,若 ,则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 的图象如图所示，则 的大小关系为（）
A． B．
C． D．
4．已知双曲线 ,四点 ， 中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知输入实数 ，执行如图所示的流程图，则输出的 是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 为圆 上的三点，若 ，圆 的半径为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．2021年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结束,一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆 经过原点 且圆心在 轴正半轴上，经过点 且倾斜角为 的直线 与圆 相切于点 ，点 在 轴上的射影为点 ，设点 为圆 上的任意一点，则 （ ）
A． B． C． D．
12．设函数 ( 为自然对数的底数），当 时 恒成立，则实数 的最大值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
A． B． C． D．
8．已知定义在 上的函数 在 上单调递减，且 是偶函数，不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，其中每个单位正方体的边长为 ，则该几何体的体积
A． B． C． D．
10．已知 是函数 · 的一个极小值点，则 的一个单调递增区间是（ ）
13．已知 ， 满足条件 ，则点 到点 的距离的最小值是__________．
14．已知 是长轴长为 的_____．
15．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地，去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子原高一丈( 丈 尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为__________尺．
详解：如图所示：
，
四边形 是菱形，且 ，
又圆O的半径为2，
，
故选D.
点睛：本题考查了平面向量的数量积应用问题.
7．C
【解析】
分析：由市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食知这是一个几何概型，由题可知事件总数包含的时间长度是121，而他等待的时间不多于30分钟的事件包含的时间长度是55，两值一比即可求出所求．
详解： 或 ，
解得 或 ，
由集合中元素的互异性知 ，
故选B.
点睛：本题主要考察集合的交集运算，解题时注意验证集合中元素的互异性.
3．A
【分析】
由图可得：函数 图象过点 ，即可求得： ，同理可得： ，问题得解.
【详解】
由图像可知， ，得 ，
故选A..
【点睛】
本题主要考查了幂函数及指数函数的图象，还考查了读图能力及观察能力、转化能力，属于中档题．
(I)求直方图中 的值;
56789月均用电量百厦
（Ⅱ)设该市有100万户居说明理由;用户奖励20元/月,月均用电量在 内的用户奖励10元/月,月均用电量在 内的用户奖励2元/月.若该市共有400万户居民,试估计政府执行此计划的年度预算.