代数余子式与行列式

代数余⼦式与⾏列式
⾏列式(记为|A |)
定义
⼀个矩阵的⾏列式我们定义为∑p is permutaion (−1)σ(p )×∏n i =1a i ,p i
其中σ(p )表⽰p 的逆序对个数
性质求法
⾼斯消元
余⼦式(记为m i ,j )
定义
m i ,j 表⽰远矩阵去除第i ⾏和第j 列之后剩下矩阵的⾏列式
代数余⼦式(记为M i ,j )
定义
我们称M i ,j =m i ,j ×(−1)i +j 为代数余⼦式
与⾏列式的关系
任意⼀个n 阶矩阵的⾏列式可以⽤某⼀⾏或者某⼀列的代数余⼦式展开，即
|A |=n
∑
i =1M x ,i ×A x ,i
证明
⾸先考虑有⼀个n 阶矩阵
A =
A 1,1A 1,2A 1,3…
A 1,n A 2,1A 2,2A 2,3…
A 2,n …
A n ,1A n ,2A n ,3…
A n ,n
考虑|A |可以⽤某⼀⾏按照以下⽅式展开
A 1,1A 1,2A 1,3…A 1,n A 2,1A 2,2A 2,3…
A 2,n …
A x ,1
0…
0…
A n ,1A n ,2A n ,3…
A n ,n
+
A 1,1A 1,2A 1,3…A 1,n A 2,1A 2,2A 2,3…
A 2,n …
A x ,2
0…
0…
A n ,1A n ,2A n ,3…
A n ,n
+…+
A 1,1A 1,2A 1,3…A 1,n A 2,1A 2,2A 2,3…
A 2,n
…
0…
A x ,n …
A n ,1A n ,2A n ,3…
A n ,n 这个直接根据⾏列式的定义我们可以得到|A |的某种展开式
(
)
|
||
|||
|A |=n
∑
i =1A x ,i ×m x ,i ×(−1)y
其中y 是⼀个未知变量，接下来我们考虑y 的取值应该是什么⾸先考虑⼀个这样矩阵的⾏列式
A 0B
C
明显这样的矩阵的⾏列式就是|A |×|C |
然后考虑⾏列式有个性质:交换矩阵中任意两⾏或者两列，⾏列式取反。

那么我们考虑将(3)中矩阵进⾏交换变成类似(5)中的矩阵，即变成
A x ,i
00…0A 1,1A 1,2A 1,3…A 1,n A 2,1A 2,2A 2,3…
A 2,n …
A n ,1A n ,2A n ,3…
A n ,n
显然他的⾏列式就是A x ,i ×m x ,i ，发现我们⼀共会进⾏x +i −2次交换，那么对应会原来的矩阵他的⾏列式就是A x ,i ×m x ,i ×(−1)x +i −2，因为m x ,i ×(−1)x +i −2=m x ,i ×(−1)x +i =M x ,i ，所以我们就证明了(1)式
性质
对于⼀个矩阵的代数余⼦式，如果我们将矩阵的某⼀⾏i 与代数余⼦式的某⾏j 相乘，当i =j 时，结果为|A |，否则结果为0
证明
考虑任意⼀个n 阶矩阵
A =
A 1,1A 1,2A 1,3…A 1,n A 2,1A 2,2A 2,3…
A 2,n …
A n ,1A n ,2A n ,3…
A n ,n
考虑他的⾏列式的展开式|A |=∑n i =1M x ,i ×A x ,i ，如果我们将矩阵中除第x ⾏之外的任意⼀⾏复制下来替换成第x ⾏，那么⾏列式为0，并且这⼀⾏的代数余⼦式不变，所以就有∑n i =1M x ,i A y ,i =0
伴随矩阵
定义
对于⼀个矩阵A ，我们设他的代数余⼦式矩阵为M ，那么代数余⼦式M 构成如下矩阵
M 1,1M 2,1M 3,1…M n ,1M 1,2M 2,2M 3,2…
M n ,2…
M 1,n M 2,n M 3,n …
M n ,n
那么我们记A ∗表⽰A 的伴随矩阵，即代数余⼦式矩阵的转置
性质
对于⼀个矩阵A ，如果A 可逆，那么存在下⾯等式
AA ∗=|A |I
()
(
)
(
)(
)
证明
考虑代数余⼦式的性质：对于⼀个矩阵的代数余⼦式，如果我们将矩阵的某⼀⾏i与代数余⼦式的某⾏j相乘，当i=j时，结果为|A|，否则结果为0
因为A∗实际上就是代数余⼦式矩阵的转置，那么当我们⽤A去右乘A∗得到的矩阵，只有在i=j时才会有值，且值为|A|，其他位置都是0 Processing math: 100%。