第01讲 函数及其性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)(学生版)-2025版高中数学一轮复习考点帮

第01讲函数及其性质
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
（12类核心考点精讲精练）
1.5年真题考点分布
2020年新Ⅱ卷，第8题,5分函数奇偶性的应用函数的单调性解不等式
2.命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6分
【备考策略】1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法
2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值
3.能够利用函数的单调性解决有关问题
4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题
6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数
定义
一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值
x 1，x 2
当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数
当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．(3)函数的最值
前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足
条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M
(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M
结论
M 为最大值
M 为最小值
2.单调性的常见运算（1）单调性的运算
①增函数（↗）+增函数（↗）=增函数↗②减函数（↘）+减函数（↘）=减函数↘③)(x f 为↗，则)(x f -为↘，
)
(1
x f 为↘④增函数（↗）-减函数（↘）=增函数↗⑤减函数（↘）-增函数（↗）=减函数↘⑥增函数（↗）+减函数（↘）=未知（导数）
（2）复合函数的单调性
()()()()()()结论：同增异减复合函数，
，外函数内函数复合函数，
，外函数内函数复合函数，
，外函数内函数复合函数，，外函数内函数叫做外函数，叫做内函数，则设函数⇒⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧↓⇒↑↓↓⇒↓↑↑⇒↓↓↑⇒↑↑===u h x f x g u x g h x f ,,3.奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）②奇偶性的定义：
奇函数：())(x f x f -=-，图象关于原点对称
偶函数：()()x f x f =-，图象关于y 轴对称③奇偶性的运算
4.周期性（差为常数有周期）
①若()()x f a x f =+，则()x f 的周期为：a T =②若()()b x f a x f +=+，则()x f 的周期为：b
a T -=③若()()x f a x f -=+，则()x f 的周期为：a T 2=（周期扩倍问题）④若()()
x f a x f 1
±
=+，则()x f 的周期为：a T 2=（周期扩倍问题）5.对称性（和为常数有对称轴）轴对称
①若()()x f a x f -=+，则()x f 的对称轴为2a x =
②若()()b x f a x f +-=+，则()x f 的对称轴为2
b a x +=点对称
①若()()x f a x f --=+，则()x f 的对称中心为⎪⎭
⎫
⎝⎛0,2a ②若()()c b x f a x f =+-++，则()x f 的对称中心为⎪⎭⎫
⎝
⎛+2,2c b a 6.周期性对称性综合问题
①若()()x a f x a f -=+，()()x b f x b f -=+，其中b a ≠，则()x f 的周期为：b a T -=2②若()()x a f x a f --=+，()()x b f x b f --=+，其中b a ≠，则()x f 的周期为：
b
a T -=2③若()()x a f x a f -=+，()()x
b f x b f --=+，其中b a ≠，则()x f 的周期为：
b
a T -=47.奇偶性对称性综合问题
①已知()x f 为偶函数，()a x f +为奇函数，则()x f 的周期为：a T 4=②已知()x f 为奇函数，()a x f +为偶函数，则()x f 的周期为：a
T 4=考点一、根据函数解析式判断函数单调性
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（）
A ．()f x x
=-B ．()23x
f x ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
C ．()2
f x x
=D ．()3f x x
=2．（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在()0,∞+上单调递减的是（）
A ．()2x
f x =B ．()3
f x x
=C ．()1f x x x
=
-D ．()()ln ,0,
ln ,0
x x f x x x >⎧=⎨
--<⎩1．（2024·全国·一模）下列函数中在区间(0,)+∞上单调递减的是（）
A ．cos y x
=B ．2x
y =C ．2
y x -=D ．21
y x =-2．（2024·吉林·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,∞+上单调递增的是（）
A ．()2
3
f x x
-=B ．()tan =f x x C ．()31f x x x
=-
D ．()ln f x x
=考点二、根据函数的单调性（含分段函数）求参数值
1．（2023·全国·高考真题）设函数()()
2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（
）
A ．(],2-∞-
B ．[)2,0-
C ．(]
0,2D ．[)
2,+∞
2．（2024·全国·高考真题）已知函数22,0
()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩
在R 上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A ．(,0]
-∞B ．[1,0]
-C ．[1,1]
-D ．[0,)
+∞1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数()()
e x x t
f x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（
）
A ．[)6,+∞
B ．(],6-∞
C ．(]
,4∞-D ．[)
4,+∞2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2log ,1
216,1a x x f x x a x a x ≥⎧=⎨-+-+-<⎩
（0a >且1a ≠）在定义域内是增函
数，则a 的取值范围是（）
A ．()
2,3B ．()
2,+∞C ．[]
2,3D ．()
1,4考点三、根据函数单调性解不等式
1．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数()f x 在R 上单调递增，且()21f =，则不等式()10f x +<的解集为（）
A ．()
1,1-B ．()
2,2-C ．()
2,-+∞D ．()
,2-∞-2．（2020·山东·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（
）
A ．[)1,1][3,-+∞
B ．3,1][,[01]--
C ．[1,0][1,)
-⋃+∞D ．[1,0][1,3]
-⋃3．（2024·四川南充·二模）设函数()sin e e 3x x
f x x x -=+--+，则满足()(32)6f x f x +-<的x 的取值范围是
（）A ．()
,1-∞B ．()
1,+∞C ．()
3,+∞D ．()
,3-∞1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数()f x x x =，则关于x 的不等式()()21f x f x >-的解集为（）
A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭
B ．1,3⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭C ．1,13⎛⎫
⎪
⎝⎭D ．11,3⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数()33x x
f x -=-，则不等式()()210f x f x -->的解集为（）
A ．()
1,1,3∞∞⎛
⎫-⋃+ ⎪⎝⎭B ．1,3∞⎛
⎫- ⎪
⎝⎭C ．113⎛⎫
⎪⎝⎭
，D ．()1+∞，3．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2233x x
f x --=-，则满足()()830f x f x +->的x 的取值范围是（
）
A ．(),4-∞
B ．(),2-∞
C ．()2,+∞
D ．()
2,2-考点四、根据函数单调性比较函数值大小关系
1．（2024·全国·高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）
A ．(10)100f >
B ．(20)1000f >
C ．(10)1000
f <D ．(20)10000
f <2．（2023·全国·高考真题）已知函数()2
(1)e x f x --=．记236,,222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则（
）
A ．b c a
>>B ．b a c
>>C ．c b a
>>D ．c a b
>>3．（2024·宁夏银川·二模）定义域为R 的函数()f x 满足(2)f x +为偶函数，且当122x x <<时，
2121[()()]()0f x f x x x -->恒成立，若(1)a f =，(ln10)b f =，5
4(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．b a c <<
D ．c a b
<<1．（2024·辽宁丹东·二模）已知函数()3
f x x x =-，33a f ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，2(log 3)b f =，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．c b a <<
D ．b
c a <<2．（2024·北京·模拟预测）函数()211f x x =+，记()
0.5
511,3,log 22a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则（
）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c<a<b
D ．c b a
<<3．（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，则()
21ln ,
2,33e f f f -⎛⎫
⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
的大小关系为（）A ．()
2ln 31e 23f f f -⎛⎫⎛⎫
>
-> ⎪ ⎝⎭
⎝⎭
B ．()2
ln e 3213f f f -⎛⎫⎛⎫>>
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()
2
1ln 2e 33f f f -⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()2
3132e ln f f f -⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
1．（2023·全国·高考真题）已知e ()e 1
x
ax x f x =-是偶函数，则=a （
）A ．2
-B ．1
-C ．1
D ．2
2．（2023·全国·高考真题）若()()21
ln 21
x f x x a x -=++为偶函数，则=a （）．
A ．1
-B ．0
C ．1
2
D ．1
3．（2023·全国·高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛
⎫=-+++ ⎪⎝
⎭为偶函数，则=
a ．
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()(()3ln f x x x x x =-++∈R 为奇函数，则=a （
）
A ．1-
B ．0
C ．1
D
2．（2024·山东·模拟预测）已知函数()sin 11e x m f x x ⎛
⎫=+ ⎪-⎝⎭
是偶函数，则m 的值是（）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
3．（2024·上海奉贤·三模）若函数22e 1,0
1,0x a x x x y x bx c x ⎧⋅-+->=⎨++-<⎩
为奇函数，则a b c ++=
．
1．（2021·全国·高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（
）
A ．94
-
B ．32
-
C ．
74
D ．
52
2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知()11y f x =++为奇函数，则
()()()()()()()2101234f f f f f f f -+-+++++=（
）
A ．14
-B ．14
C ．7
-D ．7
3．（2024·河南·三模）（多选）定义在R 上的函数()f x 满足(1)()()()f xy f x f y f y x +=++，则（
）
A ．(0)0f =
B ．(1)0f =
C ．(1)f x +为奇函数
D ．()f x 单调递增
1．（2024·广东茂名·模拟预测）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()3322f x y f x y f x f y ⎛
⎫⎛
⎫+--=++ ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭，
()00f ≠，则（
）
A ．30
2f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
B ．函数()f x 是奇函数
C ．()02
f =-D ．()f x 的一个周期为3
2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，且对任意的()12,1,2x x ∈，12x x ≠，都有()()1212
0f x f x x x ->-，则（
）
A ．()f x 是奇函数
B ．()20230f =
C ．()f x 的图象关于()1,0对称
D ．()()
πe f f >考点七、函数周期性的综合应用
1．（2021·全国·高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（）
A ．10
2f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
B ．()10f -=
C ．()20f =
D ．()40
f =2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知函数()f x 对任意的x ，y ∈R ，都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且()00f ≠，()21f =-，则（）A ．()01
f =B ．()f x 是奇函数
C ．()f x 的周期为4
D ．()100
2
15100n n f n ==∑，*
n ∈N 3．（2024·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知可导函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()f x 是奇函数，()()210f f =-≠，且对任意,x y ∈R ，恒有()()()()()f x y f x f y f x f y ''+=+，则一定有（）
A ．()1
12
f '=-
B ．()90f =
C ．242
1
()1
k f k ==∑D ．242
1()1
k f k ='=-∑
1．（2024·重庆·三模）已知()f x 是定义域为R 的奇函数且满足()()20f x f x +-=，则()20f =（）
A ．1
-B ．0
C ．1
D ．1
±2．（2024·河南·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()()()11f x y f x f y f x f y -=+++，且
()()02f f ≠，则102
1
()n f n ==
∑.
3．（2024·广东深圳·模拟预测）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()f x 是奇函数，(2)(1)0f f =-≠，且对任意,R x y ∈，()()()()()f x y f x f y f x f y ''+=+，则（
）
A ．1
(1)2
'=-
f B ．(9)1f =C ．()f x '
是周期为3的函数
D ．20
1()1
k f k ='=-∑考点八、函数对称性的综合应用
1．（2022·全国·高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()22
1k f k ==∑（
）
A ．21-
B ．22-
C ．23
-D ．24
-2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数()()2e sin πe 1
x x f x x =++在[](),0x a a a ∈->存在最大值与最小值分别
为M 和m ，则函数()()()1
1g x M m x M m x =++++，函数()g x
图像的对称中心是（
）
A ．()
1,1--B ．21,3⎛
⎫-- ⎪
⎝
⎭C ．1,12⎛⎫-- ⎪
⎝⎭
D ．12,23⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭
1．（2024·宁夏银川·三模）已知函数()1221
x
x f x -=+，则下列说法不正确的是（
）
A ．函数()f x 单调递增
B ．函数()f x 值域为()0,2
C ．函数()f x 的图象关于()0,1对称
D ．函数()f x 的图象关于()1,1对称
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知()f x 的定义域为R ，函数()f x 满足()()()122023
46,48
x f x f x g x x ++-==
-，
()(),f x g x 图象的交点分别是()()()()11223344,,,,,,,,x y x y x y x y ，(),n n x y ，则12n y y y +++ 可能值为
（
）
A ．2
B ．14
C ．18
D ．25
考点九、周期性对称性的综合应用
2．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若
322f x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，(2)g x +均为偶函数，则（）
A ．(0)0
f =B ．10
2g ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
C ．(1)(4)
f f -=D ．(1)(2)
g g -=3．（2024·河南·一模）（多选）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其导函数分别为()f x '，()g x '，
()()161f x g x '-=--，()()116f x g x -'-+=，且()()4g x g x +-=，则（
）
A ．()g x '
的图象关于点()0,1中心对称B ．()()g x g x ''+=4C ．()()
62f f '='D ．()()1312
f f +=1．（2024·陕西榆林·一模）定义在R 上的函数()f x ，()
g x 满足(0)0f <，(3)(1)f x f x -=+，(2)()2g x g x -+=，1
((2)12
g x f x +=+，则下列说法中错误．．的是（）A ．6x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．2是()g x 的一个周期
C ．函数()f x 图象的一个对称中心为()
3,0D ．若*n ∈N 且2023n <，()(1)(2023)0f n f n f ++++= ，则n 的最小值为2
2．（2024·河南新乡·三模）（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()262f x f x +=-，且()()()112f x f x f -++=-，若5
()12
f =，则（
）
A ．()20241f =
B ．()f x 的图象关于直线3x =-对称
C ．()f x 是周期函数
D ．2025
1
1(1)()2025
2k
k kf k =--=∑3．（2024·河北邢台·二模）（多选）已知函数()y f x =，()y g x =的定义域均为R ，且()()13f x g x +-=，
()()35g x f x --=，若()()11g x g x +=-，且()12g =，则下列结论正确的是（
）
A ．()f x 是奇函数
B ．()2,4是()g x 的对称中心
C ．2是()f x 的周期
D ．()2024
18096
k g k ==∑
1．（2024·重庆·模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的函数，若函数()1f x +为偶函数，函数()2f x +为奇函数，则2023
1()k f k ==∑（
）A ．0
B ．1
C ．2
D ．-1
2．（2024·四川南充·三模）已知函数()()f x g x 、的定义域均为R ，函数(21)1f x -+的图象关于原点对称，函数(1)g x +的图象关于y 轴对称，(2)(1)1,(4)0f x g x f +++=--=，则(2030)(2017)f g -=（）
A ．4
-B ．3
-C ．3
D ．4
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的函数，且(21)f x -为偶函数，(2)f x -为奇函数，当
[0,1]x ∈时，1
()12x
f x =
-，则(11)f =（）A ．1
-B ．12
-
C ．
12
D ．1
2．（2024·江苏南通·三模）已知函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为偶函数，()21f x +-为奇函数．若
()10f =，则26
1
()k f k ==∑（
）
A ．23
B ．24
C ．25
D ．26
3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()22f x +-为奇函数，()31f x +为偶函数，()10f =，则2024
1()k f k ==
∑.
1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知()11y f x =++为奇函数，则()()()()()10123f f f f f -++++=（）
A ．6
B ．5
C ．6
-D ．5
-2．（2024·黑龙江·三模）已知函数()()
e e sin 2x x
f x x -=+-在[]22-,
上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M N +=（）
A ．4-
B ．0
C ．2
D ．4
1．（2024·河北·二模）已知函数()1y f x =-为奇函数，则函数()1y f x =+的图象（）
A ．关于点()1,1对称
B ．关于点()1,1-对称
C ．关于点()1,1-对称
D ．关于点()1,1--对称
2．（2024·江西南昌·三模）（多选）已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，若|()2|y f x =-的图象关于直线
1x =对称，则下列说法正确的是（）
A ．|()|y f x =的图象也关于直线1x =对称
B ．()y f x =的图象关于(1,2)中心对称
C ．2
a b c d +++=D ．30
a b +=
1．（2024·山东·模拟预测）（多选）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()2f x f x x -=+，()02f =，且
()11y f x =+-为奇函数，则（
）
A ．()13f -=-
B ．函数()y f x x =+的一个周期为4
C ．()20242022
f =-D ．()19
1150
i f i ==-∑2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()21f xy xf y yf x x y =+++-，()f x 的导函数为()f x '，则（）
A ．()12
f -=-B ．()f x 是单调函数C ．()()20
180
i f i f i =⎡⎤-+=-⎣⎦∑D ．()f x '为偶函数
3．（2024·广东广州·模拟预测）（多选）已知函数()f x ，
()g x 及导函数()f x '，()g x '的定义域均为R .若()1g x +是奇函数，且()()1f x g x ''=+，()()142g x f x ---=，则（）
A ．()02f =
B ．()f x 是偶函数
C ．()2024
10
n g n ==∑D ．()2024
14048
n f n ==-∑
1．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，若,x y ∀∈R ，有()()2()(),(1)0f x y f x y f x f y f ++-==，(0)0f ≠，则（
）
A ．(0)1f =
B ．1222
f ⎛
⎫
=
⎪⎝⎭C ．()f x 为偶函数
D ．4为函数()f x 的一个周期
2．（2024·河南郑州·二模）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()2
2
f x y f x y f x f y +-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
()()11,21f f x =+为偶函数，则（
）
A ．()00
f =B ．()f x 为偶函数C ．()()
22f x f x +=--D ．()2024
10
k f k ==∑3．（2024·山东临沂·二模）（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()132024f x f x f +++=，()()2f x f x -=+，且11
24
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（
）
A ．()f x 的最小正周期为4
B ．()20
f =C ．函数()1f x -是奇函数
D ．2024
1
12024
2k k f k =⎛
⎫⋅-=- ⎪⎝⎭∑一、单选题
1．（2024·江苏南通·模拟预测）若函数()(1)1e x
m
f x x =+
-是偶函数，则m =（）
A ．2
-B ．1
-C ．1D ．2
2．（2024·陕西·模拟预测）已知函数()2e e log x x
f x m -=-+，若()(),1f a M f a M =-=-，则m 的值为（
）
A ．
1
2
B 2
C ．2
D ．4
3．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，当
()32f -=-时，则()2023f 等于（）
A ．2
B ．2
-C ．0
D ．4
-4．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，a ∀，R b ∈，均满足
()()()f a b f a f b ab +=+-．若()13f -=，则()3f =（
）
A ．0
B ．9
-C ．12
-D ．15
-5．（2024·四川·三模）定义在R 上的函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线1x =对称，且函数
()211y g x =-+为奇函数，则函数()y f x =图象的对称中心是（
）A ．()
1,1--B ．()
1,1-C ．()
3,1D ．()
3,1-6．（2024·山西·三模）设函数22()log ||f x x x -=-，则不等式(2)(22)f x f x -≥+的解集为（
）
A ．[4,0]-
B ．[4,0)-
C ．[4,1)(1,0]--⋃-
D ．[4,1)(1,0)
--⋃-7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且当(2,0)x ∈-时，
2()log (3)f x x =+，则(2021)(2024)f f -=（
）A ．1
B ．1
-C ．21log 3
-D ．21log 3
--8．（2024·陕西铜川·三模）若函数()312,1,
log ,1a
a x a x y x x ⎧-+<=⎨
≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）
A ．10,3⎛⎫
⎪
⎝⎭
B ．10,5⎛⎤ ⎥
⎝⎦
C ．11,53⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
D ．1,15⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
二、多选题9．（2024·江苏泰州·模拟预测）定义在R 上的函数()f x 满足()()()()1f xy f x f y f y x +=++，则（）
A ．()00f =
B ．()10f =
C ．()1f x +为奇函数
D ．()f x 单调递增
10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足2()()()()f x y f x y f x f y +-=+，且(0)0f ≠，则（
）
A ．(0)1
f =B ．()y f x =为奇函数C ．()y f x =不存在零点
D ．(2)()
f x f x =一、单选题1．（2024·江西·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x f x f x +=-=-，当01x <≤时，
()()2log 1f x x =+.若()()1f a f a +>，则实数a 的取值范围是（）
A ．534,422k k ⎛⎫
-+-+ ⎪⎝⎭，Z
k ∈B ．()14,4k k -+，Z
k ∈C ．114,422k k ⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭
，Z
k ∈D ．314,422k k ⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭
，Z
k ∈
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()13,444
3log (4)1,4a
x x f x x x ⎧-≤⎪⎪-=⎨
⎪->
⎪⎩
是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（）
A ．()
0,1B
．(
C
．(D ．()
1,3二、多选题
3．（2024·河北·模拟预测）已知定义在R 上的连续函数()f x 满足,x y ∀∈R ，()()()()f x y f x y f x f y ++-=，
()10f =，当[)0,1x ∈时，()0f x >恒成立，则下列说法正确的是（
）
A ．()01f =
B ．()f x 是偶函数
C
．13f ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．()f x 的图象关于2x =对称
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，对()()()(),,21x y f x y f x y f x f y ∀∈+--=-R ，且()()11,f f x ='为()f x 的导函数，则（）
A ．()f x 为偶函数
B ．()20240
f =C ．()()()1220250
f f f +++'''= D ．()()2
2
11
f x f x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+5．（2024·河南信阳·模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足：①()00,0x f x ∃∈≠R ；
②()
()()()22
,,2x y f x xy y x y f x f y ⎡⎤∀∈++=++⎣⎦R ，则（
）
A ．()00
f =B ．()f x 为奇函数
C ．()f x 在()1,+∞上单调递增
D ．()f x 在0x =处取得极小值
6．（2024·湖北荆州·三模）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()++-=f x y f x y f x f y ，()11f =，则（
）
A ．()02f =
B ．()f x 关于(3,0)中心对称
C ．()f x 是周期函数
D ．()f x 的解析式可能为()π
2cos 3
f x x
=7．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()4f x g x '+=，()()44f x g x '--=，若()g x 为偶函数，则（
）
A ．()43f =
B ．()20g '=
C ．()()138
f f +=D ．()()
13f f =-8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +-=-，()11f =，
()20f =，则下列说法中正确的是（
）
A ．()f x 为偶函数
B ．()31
f =-
C ．()()
15f f -=-D ．()2026
1
k f x ==∑9．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数()f x 及其导函数()f x '，且()()g x f x '=，若
()()()()R,6,44x f x f x g x g x ∀∈=-+=-，则（
）
A ．()()28f f -=
B ．()()132g g -+=
C ．2025
1()0
i g i ==∑D ．()()042
f f +=三、填空题
10．（2024·山东·模拟预测）已知函数()21
12ππe e sin 124x x f x x --⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭
，则不等式()()2122f x f x ++-≥的
解集为
.
1．（2024·上海·高考真题）已知()3
f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=
a ．
2．（2024·上海·高考真题）已知(
)0
,1,0x f x x >=≤⎪⎩
则()3f =．
3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（）
A ．2
2
e 1x x y x -=+B ．2
2cos 1x x y x +=
+C ．e 1
x x
y x -=
+D ．||
sin 4e x x x y +=
4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）
A ．()ln f x x =-
B ．1()2x
f x =
C ．1
()f x x
=-
D ．|1|
()3x f x -=5．（2023·全国·高考真题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22
f xy y f x x f y =+，则（
）．
A ．()00f =
B ．()10
f =C ．()f x 是偶函数
D ．0x =为()f x 的极小值点
6．（2022·全国·高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()22
1k f k ==∑（
）
A ．21-
B ．22-
C ．23
-D ．24
-7．（2022·浙江·高考真题）已知函数()22,1,
1
1,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪
=⎨+->⎪
⎩则12f f ⎛
⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
；若当[,]x a b ∈时，
1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是
．
8．（2022·全国·高考真题）若()1
ln 1f x a b x
+
+-=是奇函数，则=a ，b =．
9．（2021·全国·高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（
）
A ．94
-
B ．32
-
C ．
74
D ．
52
10．（2021·全国·高考真题）设函数1()1x
f x x
-=+，则下列函数中为奇函数的是（）
A ．()11
f x --B ．()11
f x -+C ．()11
f x +-D ．()11
f x ++。