辽宁省辽阳市第九中学2024-2025学年数学九上开学质量跟踪监视试题【含答案】

辽宁省辽阳市第九中学2024-2025学年数学九上开学质量跟踪监视试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）从某市5000名初一学生中，随机抽取100名学生，测得他们的身高数据，得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，服装厂最感兴趣的是（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差2、（4分）如图，在ABC ∆中，4AC =，3BC =，5AB =，D 为AB 上的动点，连接CD ，以AD 、CD 为边作平行四边形ADCE ，则DE 长的最小值为（）A ．3B ．4C ．165D ．1253、（4分）如图,在ABC ∆中，5AB AC ==，D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于点E ，DF ∥AC 交AB 于点F ，那么四边形AFDE 的周长是（）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
4、（4分）已知点P （1，-3）在反比例函数k
y (k 0)x =≠的图象上，则k 的值是
A ．3
B ．-3
C ．
D ．5、（4分）己知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是()A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形6、（4分）如图，∠ABC=∠ADC=Rt ∠，
E 是AC 的中点，则（）A ．∠1＞∠2B ．∠1=∠2C ．∠1＜∠2D ．∠1与∠2大小关系不能确定7、（4分）已知点(-2,1y )，(-1,2y )，(1,3y )都在直线y=-3x+b 上，则1y 、2y 、3y 的值大小关系是（）A ．3y >1y >2y B ．1y >2y >3y C ．1y <2y <3y D ．3y <1y <2y 8、（4分）直角三角形两条直角边分别是5和12，则斜边上的中线等于（）A ．132B ．13C ．6D ．52二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）若a 4·a y =a 19，则y=_____________．10、（4分）不等式组x-10
420x ≥⎧⎨-<⎩的解集是_________.
11、（4分）定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的逆命题是________
12、（4分）已知关于x 的一元二次方程（a 2﹣1）x 2+3ax ﹣3＝0的一个解是x ＝1，则a 的值是_____．
13、（4分）有5张正面分别标有数字-2,0,2,4,6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，先将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为m ,则使关于x 的
学校_____
_____
___
__
_班级__
___
__
__
___姓名_
__
__
_____
__考场_
_____
___
__
_准考证号…
…
………
…
…
…
……
密…
…
…
…
封…
……
…
线
…
…
…
…内
…
…
…
…不
…
…
…
…
要
……
……
答
…
…
…
…
题
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
分式方程2322x m m x x ++=--有正实数解的概率为________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）若x 、y 都是实数，且y ＝2x -+x -2+2，求x 2y +xy 2的值．15、（8分）如图，正方形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，直角三角形EOF 绕点O 按逆时针旋转，90EOF ∠=︒（1）若直角三角形绕点O 逆时针转动过程中分别交,AD CD 两边于,M N 两点①求证：OM ON =；②连接CM BN 、，那么,CM BN 有什么样的关系？试说明理由（2）若正方形的边长为2，则正方形ABCD 与Rt EOF 两个图形重叠部分的面积为多少？（不需写过程直接写出结果）16、（8分）有这样一个问题：探究函数|3|12x x y --+=的图象与性质.
小东根据学习函数的经验，对函数|3|1
2x x y --+=的图象与性质进行了探究.
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）填表
x …1-0123456...y …321-1-...
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数|3|12x x y --+=的图象；（3）结合函数图象，请写出该函数的一条性质.17、（10分）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分.前3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分），现得知1号选手的综合成绩为87分.序号123笔试成绩/分909284面试成绩/分858886（1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比：（2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定这三名选手的名次。

18、（10分）解不等式组：3(1)1922x x x x +>-⎧⎪⎨+>⎪⎩①②（要求：利用数轴解不等式组）B 卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，直线y =kx +b 与直线y =2x 交于点P(1，m )，则不等式2x <kx +b 的解集为______.
20、（4分）若直线y =kx +b 与直线y =2x 平行，且与y 轴相交于点（0，–3），则直线的函数表达式是__________．21、（4分）已知一次函数y ＝﹣2x +4，完成下列问题：（1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象；（2）根据函数图象回答：方程﹣2x +4＝0的解是______________；当x_____________时，y ＞2；当﹣4≤y ≤0时，相应x 的取值范围是_______________．22、（4分）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为_____度．
23、（4分）抛物线2y ax bx c =++与x 轴的公共点是()()4,0,6,0-，则这条抛物线的对称轴是__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）数形结合是一种重要的数学思想，我们不但可以用数来解决图形问题，同样也可以用借助图形来解决数量问题，往往能出奇制胜，数轴和勾股定理是数形结合的典范.数
轴上的两点A 和B 所表示的数分别是1x 和2x ，则A ，B 两点之间的距离12AB x x =-；坐标平面内两点()11,A x y ，()22,B x y ，它们之间的距离AB =.如点(3,1)C -，(1,4)D -，则CD ==41表示点(, )x y 与点(4,3)-表示点(, )x y 与点(4,3)-和(2,5)-的距离之和.（1）已知点(3,1)M -， (1,2)N ，MN =________；（2(,____)A a 和点(____,____)B 之间的距离；（3+的最小值.25、（10分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ．过点C 作BD 的平行线，过点D 作AC 的平行线，两直线相交于点E ．（1）求证：四边形OCED 是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD 的面积是．26、（12分）如图1，在正方形ABCD 和正方形AEFG 中，边AE 在边AB 上， 2, 1.AB AE ==正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转()090αα︒︒≤≤（1）如图2，当0α︒>时，求证： DAG BAE ∆∆≌；（2）在旋转的过程中，设BE 的延长线交直线DG 于点P ．①如果存在某一时刻使得BF BC =，请求出此时DP 的长；②若正方形 AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转了60︒，求
旋转过程中，点P 运动的路径长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C 【解析】服装厂最感兴趣的是哪种尺码的服装售量较多，也就是需要参照指标众数．【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故服装厂最感兴趣的指标是众数．故选(C)本题考查统计量的选择，解题的关键是区分平均数、中位数、众数和方差的概念与意义进行解答；2、D 【解析】由勾股定理可知ABC ∆是直角三角形，由垂线段最短可知当DE ⊥AB 时，DE 有最小值，此时DE 与ABC ∆斜边上的高相等，可求得答案．【详解】如图：∵四边形ADCE 是平行四边形，∴CE ∥AB ，∵点D 在线段AB 上运动，
∴当DE ⊥AB 时，DE 最短，
在ABC ∆中，4AC =，3BC =，5AB =，
∴AC 2+BC 2=AB 2，
∴ABC ∆是直角三角形，
过C 作CF ⊥AB 于点F ，
∴DE=CF=
4312
55 AC BC
AB
⋅⨯
==，
故选：D．
本题主要考查平行四边形的性质和直角三角形的性质，确定出DE最短时D点的位置是解题的关键.
3、B
【解析】
由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明□AFDE的周长等于AB＋A C．
【详解】
∵DE∥AB，DF∥AC，
则四边形AFDE是平行四边形，
∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDF
∴BF＝FD，DE＝EC，
所以：□AFDE的周长等于AB＋AC＝10.
故答案为B.
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键.
4、B
【解析】
根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（1，-1）代入
k
y
x
=，得
k
3
1
-=，解得
k=－1．故选B．
5、A
【解析】
根据多边形的内角和公式即可求解.【详解】
设边数为n，则(n-2)×180°=360°，
解得n=4
故选A.
此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知公式的运用.
6、B
【解析】
试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以证明DE=BE，再根据等腰三角形的性质即可解答．
解：∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴DE=1
2AC，BE=
1
2AC，
∴DE=BE，
∴∠1=∠1．
故选B．
考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
7、B
【解析】
先根据直线y=-1x+b判断出函数的图象特征，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．【详解】
∵直线y=-1x+b，k=-1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵-2＜-1＜1，
∴y1＞y2＞y1．
故选B．
本题考查的是一次函数的图像与性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．
8、A
【解析】
根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】
解：∵直角三角形两直角边长为5和12，＝13，∴此直角三角形斜边上的中线等于132．故选：A ．此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质；熟练掌握勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】利用同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，再根据指数相同列式求解即可．【详解】解：a 4•a y =a 4+y =a 19，∴4+y=19，解得y=1故答案为：1．本题主要考查同底数幂相乘，底数不变指数相加的性质，熟练掌握性质是解题的关键．10、x>1【解析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可.【详解】∵解不等式x-1≥0得：x≥1，解不等式4-1x ＜0得：x ＞1，∴不等式组的解集为x ＞1，故答案是：x ＞1．考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解
集找出不等式组的解集．
11、平行四边形的对角线互相平分
【解析】
题设：四边形的对角线互相平分，结论：四边形是平行四边形．把题设和结论互换即得其逆命题．
【详解】
逆命题是：平行四边形的对角线互相平分．
故答案为：平行四边形的对角线互相平分．
命题的逆命题是把原命题的题设和结论互换．原命题正确但逆命题不一定正确，所以并不是所有的定理都有逆定理．
12、﹣1．
【解析】
直接把x＝1代入进而方程，再结合a2﹣1≠2，进而得出答案．
【详解】
∵关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+3ax﹣3＝2有一个根为x＝1，
∴（a2﹣1）×1+3a×1﹣3＝2，且a2﹣1≠2，
整理，得（a+1）（a﹣1）＝2且（a+1）（a﹣1）≠2．
则a的值为：a＝﹣1．
故答案是：﹣1．
本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键.
13、3 5.
【解析】
解分式方程
23
22
x m m
x x
+
+=
--
，得到解，并让解大于零，然后根据概率公式求解.
【详解】
解：解分式方程
23 22
x m m
x x
+
+= --
得：
6
2
m
x-
=且x≠2
令6
2
m
-
＞0且不等于2，则符合题意得卡片上的数字有：-2,0,4；
∴方程的解为正实数的概率为：3
5，故答案为
3
5.
本题考查了概率公式和分式方程的求解，其关键是确定满足题意卡片上的数字..
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、+1．
【解析】
根据二次根式有意义的条件可得x ＝2，进而可得y 的值，然后代入求值即可．【详解】由题意得：2020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：x ＝2，则y ，x 2y+xy 2＝xy （x+y ）＝（）＝+1．此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．15、（1）①见解析；②,CM BN 垂直且相等，理由见解析；（2）面积为1。

【解析】（1）①证出△DOM≌∠CON,证出OM ON =；②证明△MDC≌△BCN 得CM=BN，证明△GCN∽△MDC 得BN⊥CM;（2）因为△DOM≌∠CON，所以正方形ABCD 与Rt EOF 两个图形重叠部分为△DOC 的面积.【详解】（1）①∵正方形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ∴∠ADO=∠ACD OD=OC ∠DOC=90°②∵90EOF ∠=︒∠DOC=90°∴∠MOD+∠DON=90°，∠NOD+∠CON=90°∴∠DOM=∠CON ∵∠DOM=∠CON ∠ADO=∠ACD OD=OC ∴△DOM≌∠CON
∴OM ON
=②
设BN 交CM 于点G ∵正方形ABCD ∴DC=BC∠ADC=∠DCB ∵△DOM≌∠CON ∴DM=CN ∴△MDC≌△BCN ∴CM=BN ∠CMD=∠BNC ∵∠CMD=∠BNC ∠MCD=∠MCD ∴△GCN∽△MDC ∴∠NGC=∠ADC ∴BN⊥CM ∴,CM BN 垂直且相等（2）面积为1.
本题考查的是图形的旋转和全等，熟练掌握全等三角形和相似三角形是解题的关键.
16、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
(1)将x 的值代入函数|3|12x x y --+=中，再求得y 的值即可；(2)根据（1）中x 、y 的值描点，连线即可;(3)根据（2）中函数的图象写出一条性质即可，如：不等式|3|10x x --+>成立的x 的取值范围是2x <.【详解】（1）填表如下：x ...1-0123456...y ...32101-1-1-1-...（2）根据（1）中的结果作图如下：（3）根据（2）中的图象，不等式|3|10x x --+>成立的x 的取值范围是2x <.考查了画函数的图象、性质，解题关键是由列表得到图象，由图象得到性质.17、（1）笔试占40%，面试占60%；（2）第一名：2号，第二名：1号，第三名：3号.【解析】（1）设笔试成绩占百分比为x ，则面试成绩占比为1x -，根据题意列出方程，求解即可；
（2）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，分别求出其余两名选手的综合成绩，即可得出答案.
【详解】
解：（1）设笔试成绩占百分比为x ，则面试成绩占比为1x -.
由题意，得()9085187
x x +-=0.4
x =
∴笔试成绩占40%，面试成绩占60%.
（2）2号选手的综合成绩：9240%8860%89.640%60%⨯+⨯=+3号选手的综合成绩：8440%86
60%85.240%60%⨯+⨯=+∴三位选手按综合成绩排名为：第一名：2号，第二名：1号，第三名：3号.本题考查了加权平均数和一元一次方程的应用，熟知加权平均数的计算公式是解题的关键.18、23x -<<【解析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在数轴上表示即可求解．【详解】解：()311922x x x x ⎧+>-⎪⎨+>⎪⎩①②由①解得2x >-，由②解得3x <，在数轴上表示如图所示，则不等式组的解集为23x -<<．此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、x<1【解析】根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案．【详解】∵直线y 1=kx+b 与直线y 2=2x 交于点P （1，m ），
∴不等式2x ＜kx+b 的解集是x ＜1，
故答案是：x ＜1．
考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
20、y =2x –1
根据两条直线平行问题得到k=2，然后把点（0，-1）代入y=2x+b可求出b的值，从而可确定所求直线解析式．
【详解】
∵直线y=kx+b与直线y=2x平行，
∴k=2，
把点（0，–1）代入y=2x+b得b=–1，
∴所求直线解析式为y=2x–1．
故答案为y=2x–1．
本题考查了待定系数法求函数解析式以及两条直线相交或平行问题，解题时注意：若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2．
21、（1）见解析；（2）x＝2，＜1，2≤x≤1
【解析】
（1）列表，描点，连线即可；
（2）利用函数图象得出y=0时，x的值；观察y＞2时，函数图象对应的x的取值；观察函数图象，即可确定当﹣1≤y≤0时，x对应的取值范围．
【详解】
（1）列表：
x20
y＝﹣2x+101
描点，连线可得：
（2）根据函数图象可得：当y=0时，x=2，故方程﹣2x+1＝0的解是x=2；当x ＜1时，y ＞2；当﹣1≤y≤0时，相应x 的取值范围是2≤x≤1．故答案为：x=2；＜1；2≤x≤1．本题考查的是作一次函数的图象及一次函数与不等式的关系，能把式子与图象结合起来是关键．22、1【解析】根据圆心角=360°×百分比计算即可；【详解】解：“世界之窗”对应扇形的圆心角=360°×（1-10%-30%-20%-15%）=1°，故答案为1．本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23、1
x =【解析】
根据二次函数的抛物线的对称性，可得二次函数与x 轴的交点是关于抛物线的对称轴对称的，已知两个交点的坐标，求出中点，即可求出对称轴.
【详解】
解：根据抛物线的对称性可得：()()4,0,6,0-的中心坐标为（1，0）因此可得抛物线的对
称轴为1x =故答案为1x =本题主要考查抛物线的对称性，关键在于求出抛物线与x 轴的交点坐标的中点.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）；（2）b ，6-，1；（3）最小值是.【解析】（1）根据两点之间的距离公式即可得到答案；（2表示点(, )x y 与点(4,3)-之间的距离，可以得到A、B 两点的坐标；（3）根据两点之间的距离公式，再结合图形，通过化简可以得到答案；【详解】解：（1）根据两点之间的距离公式得：MN ==.（2表示点(, )x y 与点(4,3)-之间的距离，表示点(, )A a b 和点(6,1)B -之间的距离，∴(, )A a b (6,1)B -故答案为：b ，-6，1.（3+=如图1+表示DC EC +的长，
根据两点之间线段最短知DC EC DE
+ 如图2，
DE ==.本题考查了坐标平面内两点之间的距离公式，以及平面内两点之间的最短距离，解题的关键是注意审题，会用数形结合的解题方法.25、（1）证明见解析；（2）1．【解析】【分析】（1）欲证明四边形OCED 是矩形，只需推知四边形OCED 是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠COD=90°．∵CE ∥OD ，DE ∥OC ，∴四边形OCED 是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED 是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED 是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC=2OC=1，BD=2OD=2，
∴菱形ABCD 的面积为：12AC•BD=1
2×1×2=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解题的关键.
26、（1）见详解;(2)1422;22π3.【解析】（1）由正方形的性质得出AD ＝AB ，AG ＝AE ，∠BAD ＝∠EAG ＝90°，由∠BAE ＋∠EAD ＝∠BAD ，∠DAG ＋∠EAD ＝∠EAG ，推出∠BAE ＝∠DAG ，由SAS 即可证得△DAG ≌△BAE ；（2）①由AB ＝2，AE ＝1，由勾股定理得AF AE ，易证△ABF 是等腰三角形，由AE ＝EF ，则直线BE 是AF 的垂直平分线，设BE 的延长线交AF 于点O ，交AD 于点H ，则OE ＝OA 2=，由勾股定理得OB=2=，由cos ∠ABO ＝144OB AB =，cos ∠ABH ＝2AB BH BH =，求得BH ＝4147，由勾股定理得AH ＝277，则DH ＝AD−AH ＝2−277，由∠DHP ＝∠BHA ，∠BAH ＝∠DPH ＝90°，证得△BAH ∽△DPH ，得出AB BH DP DH =，即可求得DP ；②由△DAG ≌△BAE ，得出∠ABE ＝∠ADG ，由∠BPD ＝∠BAD ＝90°，则点P 的运动轨迹为以BD 为直径的AP ，由正方形的性质得出BD AB ＝，由正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转了60°，得出∠BAE ＝60°，由AB ＝2AE ，得出∠BEA ＝90°，∠ABE ＝30°，B 、E 、F 三点共线，同理D 、F 、G 三点共线，则P 与F 重合，得出∠ABP ＝30°，则AP 所对的圆心角为60°，由弧长公式即可得出结果．【详解】
解答：（1）证明：在正方形ABCD 和正方形AEFG 中，AD ＝AB ，AG ＝AE ，∠BAD ＝∠EAG ＝90°，
∵∠BAE ＋∠EAD ＝∠BAD ，∠DAG ＋∠EAD ＝∠EAG ，
∴∠BAE ＝∠DAG ，
在△DAG 和△BAE 中，
AD AB DAG BAE AG AE =⎧⎪∠=∠
⎨⎪=⎩，∴△DAG ≌△BAE （SAS ）；∴BE ＝DG ；（2）解：①∵AB ＝2AE ＝2，∴AE ＝1，由勾股定理得，AF
AE ，∵BF ＝BC ＝2
，∴AB ＝
BF ＝2，∴△ABF 是等腰三角形，∵AE ＝EF ，∴直线BE 是AF 的垂直平分线，设BE 的延长线交
AF 于点O ，交AD 于点H ，如图3所示：则OE ＝OA
2=，∴2=，
∵cos ∠ABO ＝4OB AB =，cos ∠ABH ＝2
AB BH BH =，
24
BH =
∴BH ＝7，AH 7，∴DH ＝AD−AH ＝2−7，∵∠DHP ＝∠BHA ，∠BAH ＝∠
DPH ＝90°，∴△BAH ∽△DPH ，∴AB BH DP DH =，即41427DP =∴DP ＝1422；②
∵△DAG ≌△BAE ，
∴∠ABE ＝∠ADG ，
∵∠BPD ＝∠BAD ＝90°，
∴点P 的运动轨迹为以BD 为直径的AP ，
BD AB ＝，∵正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转了60°，∴∠BAE ＝60°，∵AB ＝2AE ，∴∠BEA ＝90°，∠ABE ＝30°，∴B 、E 、F 三点共线，同理D 、F 、G 三点共线，∴P 与F 重合，∴∠ABP ＝30°，∴AP 所对的圆心角为60°，∴旋转过程中点P 运动的路线长为：601803π⨯⨯=.本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识，综合性强，难度大，知识面广．。