2022-2023学年辽宁省阜新市细河区八年级(上)期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年辽宁省阜新市细河区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若分式x2―1
x―1
的值为0，则x的值为( )
A. 1或―1
B. 0
C. ―1
D. 1
2. 如图垃圾分类标识的图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，
对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为( )
A. 30×10―3
B. 3×10―6
C. 3×10―5
D. 0.3×10―4
4. 下列计算正确的是( )
A. a2+a3=2a5
B. a2⋅a3=a6
C. a3÷a=a2
D. (a3)2=a5
5. 已知三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是( )
A. 11
B. 10
C. 9
D. 7
6. 若关于x的分式方程x―1
x―3=5+m
x―3
有增根，则m的值为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7.
如图，△ABC≌△DBE，点E在线段AC上，∠C=70°，则∠ABD的度数
为( )
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
8.
如图，在△ABC中，∠A=∠ACB=30°，分别以点B，A为圆心，BC，AC长为半径作弧，两弧交于点D，连接CD，交AB的延长线于点E.有下列结论：①∠CBE=60°；②S△ABC=BE⋅CE；③AC=CD；④AE垂直平分线段CD.其中，正确结论是( )
A. ①④
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若分式1
有意义，则实数x的取值范围是．
x+1
10. 在平面直角坐标系xOy中，点A(2,3)与点B关于y轴对称，则点B的坐标是．
11. 若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是______边形．
12. 在〇处填入一个整式，使关于x的多项式x2+〇+1可以因式分解，则〇可以为.(写出一个即可)
13. 一个等腰三角形有一个角为80°，则它的顶角度数为______．
14. 如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是．
15. 我们知道，三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么n边形有条对角线．
16.
如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线交
CD于点E，EF//BC交AB于点F，连接EF.有下列结论：①∠ACD=∠B；
②AF=AC；③CF平分∠BCD；④BF=EF．
其中，所有正确结论的序号是．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算：(―π)0+(1
)―1―210÷27；
2
(2)因式分解：ax2+2a2x+a3．
18. (本小题8.0分)
解分式方程：
(1)
12x =2x +3；(2)2x x +3
+1=72x +6．19. (本小题10.0分)
如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DF ，AC =DE ，BE =FC ．
(1)求证：△ABC≌△DFE ；
(2)求证：AB//DF ．
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(a +1―2a ―1)÷a 2―3a 2―2a +1
，其中a =―5．21. (本小题9.0分)
在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示，A(―3,―2)，B(―1,1)，C(―2,3)，平行于y 轴的直线l 经过点(1,0)，△A 1B 1C 1与△ABC 关于直线l 对称．
(1)画出△A 1B 1C 1，并写出△A 1B 1C 1三个顶点的坐标；
(2)观察图中对应点坐标之间的关系，写出点Q(a,b)关于直线l 的对称点Q 1的坐标 ．
(3)在直线l 上找一点P ，使PA +PB 最小，写出此时点P 的坐标．
22. (本小题9.0分)
我县计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
(1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室；
(2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
23. (本小题10.0分)
发现规律：
我们发现，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq．
运用规律
(1)如果(x+3)(x―5)=x2+mx+n，那么m的值是，n的值是；
(2)如果(x+a)(x+b)=x2+3x―2，①求(a―3)(b―3)的值；②求1
a2+1
b2
+5的值．
24. (本小题10.0分)
在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
(1)如图1，当∠BAC=40°时，则∠AED=°；
(2)当∠BAC=60°时，
①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并说明理由；
②如图3，F是△CDE内一点，连接CF，DF，EF.若△CDF是等边三角形，试猜想EF与AB之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵x2―1
x―1
=0，
∴x 2―1=0
x―1≠0，
解得，x=―1．
故选C．
根据分式的值为零的条件列出方程组，求出x的值即可．
解答此题的关键是熟知分式的值为零应同时具备两个条件：
(1)分子为0；
(2)分母不为0．
这两个条件缺一不可．
2.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C的图案不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】解：0.000003=3×10―6．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B、a2⋅a3=a2+3=a5，故本选项不合题意；
C、应为a3÷a=a3―1=a2，故本选项符合题意；
D、应为(a3)2=a3×2=a6，故本选项不合题意．
故选：C．
根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法及除法法则作答．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法以及合并同类项，需要注意不是同类项的一定不能合并．
5.【答案】C
【解析】解：∵三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，
∴5―5<m<5+5，
∴0<m<10，
∴整数m的最大值是9．
故选：C．
根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：x―1
x―3=5+m
x―3
，
去分母，得x―1=5(x―3)+m．去括号，得x―1=5x―15+m．移项，得x―5x=―15+m+1．合并同类项，得―4x=―14+m．
x的系数化为1，得x=7
2―m
4
．
∵关于x的分式方程x―1
x―3=5+m
x―3
有增根，
∴7 2―m
4
=3．
∴m=2．
故选：A．
根据分式方程的增根的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，∠ABC=∠DBE，
∴∠C=∠BEC，∠EBC=∠ABD，
∵∠C=70°，
∴∠BEC=70°，
∴∠EBC=180°―70°―70°=40°，
∴∠ABD=40°，
故选：B．
根据全等三角形的性质求解即可．
此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应角相等、对应边相等”是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：连接AD，BD，
∵∠CAB=∠ACB=30°，
∴BA=BC，
∵∠CBE是△ABC的一个外角，
∴∠CBE=∠CAB+∠ACB=60°，
由题意得：BC=BD，AD=AC，
∴AE是CD的垂直平分线，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°―∠CAB=60°，∠BCE=90°―∠CBE=30°，
∴BC=2BE，
AB⋅CE
∴S△ABC=1
2
=1
BC⋅CE
2
⋅2BE⋅CE
=1
2
=BE⋅CE，
∵AC=AD，∠ACE=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，
所以，上列结论，其中正确的是①②③④，
故选：D．
连接AD，BD，根据等角对等边可得BA=BC，再利用三角形的外角性质可得∠CBE=60°，然后根据题意可得：BC=BD，AD=AC，从而可得AE是CD的垂直平分线，进而可得∠AEC=90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ACE=60°，∠BCE=30°，从而在Rt△BCE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BC=2BE，进而利用三角形的面积公式，进行计算可得S△ABC=BE⋅CE，最后再根据等边三角形的判定可得△ACD是等边三角形，从而可得AC=CD，即可解答．本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9.【答案】x≠―1
【解析】解：根据题意，得
x+1≠0，
解得x≠―1；
故答案是：x≠―1．
根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
10.【答案】(―2,3)
【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点A(2,3)关于y轴对称的点B的坐标是(―2,3)，
故答案为：(―2,3)．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
本题主要考查了关于y轴对称点的性质，掌握点的坐标特点是解题关键．
11.【答案】七
【解析】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
(n―2)⋅180°=900°，
解得n=7．
故答案为：七．
根据多边形的外角和公式(n―2)⋅180°，列式求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
12.【答案】2x(答案不唯一)
【解析】解：在〇处填入一个整式，使关于x的多项式x2+〇+1可以因式分解，则〇可以为：2x，
x2+2x+1=(x+1)2．
故答案为：2x(答案不唯一)．
根据完全平方公式的特征即可解答．
本题考查了因式分解―运用公式法，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
13.【答案】80°或20°
【解析】解：(1)当80°角为顶角，顶角度数即为80°；
(2)当80°为底角时，顶角=180°―2×80°=20°．
故答案为：80°或20°．
等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
14.【答案】x2―1=(x+1)(x―1)
【解析】解：图1的面积为：x2―1，拼成的图2的面积为：(x+1)(x―1)，
所以x2―1=(x+1)(x―1)，
故答案为：x2―1=(x+1)(x―1)．
根据图1、图2的面积相等可得答案．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是正确解答的关键．
15.【答案】n(n―3)
2
【解析】解：∵三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，
∴n边形有n(n―3)
条对角线．
2
．
故答案为：n(n―3)
2
条对角线，根据以上关系由于n边形从一个顶点出发可画(n―3)条对角线，所以n边形共有n(n―3)
2
直接计算即可．
本题考查了多边形对角线的定义及计算公式，熟记多边形的边数与对角线的关系式是解决此类问题的关键．
16.【答案】①②③
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°=∠B+∠BCD，
∴∠ACD=∠B，故①正确；
∵EF//BC，
∴∠B=∠AFE，
∴∠AFE=∠ACD，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEC(AAS)，
∴AF=AC，EF=CE，故②正确；
∵CE=EF，
∴∠ECF=∠EFC，
∵EF//BC，
∴∠EFC=∠FCB，
∴∠ECF=∠BCF，
∴CF平分∠BCD，故③正确；
如图，过点F作FH//DC交BC与H，
∵EF//BC，EC//FH，
∴EC=FH，∠DCB=∠FHB，
∵△ABC不一定是等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴∠DCB不一定等于∠B，
∴∠FHB不一定等于∠B，
∴FH不一定等于FB，
即EF与BF不一定相等，故④不正确，
故答案为：①②③．
由余角的性质可得∠ACD=∠B，故①正确；由“AAS”可证△AEF≌△AEC，可得AF=AC，EF=CE，故②正确；由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠ECF=∠BCF，可证CF平分∠BCD，故③正确；即可求解．
本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，
平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(―π)0+(1
)―1―210÷27
2
=1+2―23
=1+2―8
=―5；
(2)ax2+2a2x+a3
=a(x2+2ax+a2)
=a(x+a)2．
【解析】(1)先计算零次幂和负整数指数幂，再利用同底数幂的除法法则，最后算加减；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式．
本题考查了实数的混合运算和整式的因式分解，掌握零指数幂、负整数指数幂的意义，同底数幂的除法法则，因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)去分母得：x+3=2×2x，
x+3=4x，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解；
(2)去分母得：4x+2x+6=7，
移项合并得：6x=1，
解得：x=1
，
6
是分式方程的解．
经检验x=1
6
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是关键．
19.【答案】证明：(1)∵BE=FC，
∴BE+CE=FC+CE，
即BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
AB=DF
AC=DE
BC=FE
，
∴△ABC≌△DFE(SSS)；
(2)由(1)知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB//DF．
【解析】(1)由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
(2)由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，再由平行线的判定即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：原式=2
a+1―a―2
(a+1)(a―1)
⋅(a―1)2
a(a―2)
=2
a+1―a―1
a(a+1)
=2a―a+1
a(a+1)
=1
a
；
当a=―5时，原式=―1
5
．
【解析】本题直接把字母的值代入求值是非常麻烦的．本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
本题主要考查分式的混合运算，要特别注意运算顺序及符号的处理．
21.【答案】(2―a,b)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
点A1(5,―2)，B1(3,1)，C1(4,3)．
(2)由题意可知，点Q1的纵坐标与点Q的纵坐标相等，
横坐标为2―a，
∴Q1的坐标为(2―a,b)．
故答案为：(2―a,b)．
(3)如图，点P即为所求．
设直线A 1B 的解析式为y =kx +b ，
将A 1(5,―2)，B(―1,1)代入，得5k +b =―2―k +b =1，解得k =―
12b =12，
∴直线A 1B 的解析式为y =―12x +12
，
令x =1，得y =0，
∴点P 的坐标为(1,0)．
(1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
(2)由题意可知，点Q 1的纵坐标与点Q 的纵坐标相等，横坐标为2―a ，即可得出答案．
(3)连接A 1B ，交直线l 于点P ，连接AP ，此时PA +PB 最小，利用待定系数法求出直线A 1B 的解析式，令x =1，求出y ，即可得出答案．
本题考查作图―轴对称变换、轴对称―最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．22.【答案】解：(1)设乙公司每天安装x 间教室，则甲公司每天安装1.5x 间教室，
根据题意得：36x ―361.5x
=3，解得：x =4，
经检验，x =4是所列方程的解，且符合题意，
则1.5x =1.5×4=6，
答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；
(2)设安排甲公司工作y 天，则乙公司工作
120―6y 4天，根据题意得：1000y +
120―6y 4
×500≤18000，解得：y ≤12，
答：最多安排甲公司工作12天．
【解析】(1)设乙公司每天安装x 间教室，则甲公司每天安装1.5x 间教室，由题意：乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．列出分式方程，解方程即可；
(2)设安排甲公司工作y 天，则乙公司工作120―6y 4天，由题意：甲公司安装费每天1000元，乙公司
安装费每天500元，想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，列出分式方程；(2)找出不等关系，列出一元一次不等式．
23.【答案】―2―15
【解析】解：(1)(x+3)(x―5)=x2+mx+n，
m=3+(―5)=―2，n=3×(―5)=―15．
故答案为：―2，―15；
(2)∵(x+a)(x+b)=x2+3x―2，
∴a+b=3，ab=―2，
①(a―3)(b―3)
=ab―3a―3b+9
=ab―3(a+b)+9
=―2―3×3+9
=―2―9+9
=―2；
②1
a2+1
b2
+5
=b2+a2
a2b2
+5
=(a+b)2―2ab
(ab)2
+5
=32―2×(―2)
(―2)2
+5
=13
4
+5
=81
4
．
(1)根据运用规律得出m=3+(―5)，n=3×(―5)，再求出m、n即可；
(2)根据(x+a)(x+b)=x2+3x―2求出a+b=3，ab=―2，①根据多项式乘多项式进行计算，再变形，最后代入求出答案即可；②通分后变形，再代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值和整式的运算法则，能正确根据分式和整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
24.【答案】100
【解析】解：(1)如图1中，∵∠B=90°，∠BAC=40°，
∴∠ACB=90°―40°=50°，
∴∠ACD=180°―50°=130°，
∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠D，
∴∠EAC+∠D=∠ACD=130°，
∴∠AEC=360°―∠ACD―∠EAC=360°―130°―130°=100°．
故答案为：100；
(2)①结论：△ADE是等边三角形．
理由：如图2中，，∵∠B=90°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=90°―60°=30°，
∴∠ACD=180°―30°=150°，
∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠D，
∴∠EAC+∠D=∠ACD=150°，
∴∠AEC=360°―∠ACD―∠EAC=360°―150°―150°=60°，
∵EA=ED，
∴△AED是等边三角形；
②结论：EF=2AB．
理由：如图3中，连接AD．
∵△ADE，△CDF是等边三角形，
∴DA=DE，DC=DF，∠CDF=∠ADE=60°，
∴∠CDA=∠FDE，
∴△CDA≌△FDE(SAS)，
∴AC=EF，
∵∠B=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴EF=2AB．
(1)利用等腰三角形的性质，四边形内角和定理求解即可；
(2)①证明∠AED=60°，可得结论；
②结论；EF=2AB.连接AD，证明EF=AC，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。